Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

 2.1. Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

 🎯 Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında;

•  Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = x$ birim fonksiyonunun (doğrusal referans fonksiyonunun) nitel özelliklerini (tanım/görüntü kümesi, sıfırı, işareti, artanlığı/azalanlığı, maksimum/minimum değerleri ve bire birliği) analiz edebileceksin,
• Birim (referans) fonksiyondan türetilen $g(x) = ax$ (orijinden geçen doğrusal fonksiyon) ile $g(x) = a \cdot f(x \pm r) \pm k$ ve $g(x) = ax + b$ biçimindeki doğrusal fonksiyonların grafiklerini dönüşümler yardımıyla çizebilecek ve doğrunun eğimini yorumlayabileceksin,
• Sabit fonksiyonun ($g(x) = k$) doğrusal fonksiyonun özel bir durumu olduğunu fark ederek nitel özelliklerini açıklayabileceksin,
• Farklı alt aralıklarda farklı doğrusal kurallarla hareket eden gerçek yaşam durumlarını parçalı fonksiyon (parçalı gösterimli fonksiyon) olarak modelleyebileceksin.

🧩 Başlamadan Önce: Dik koordinat sisteminde nokta gösterimini $(x, y)$, gerçek sayı aralıklarını ($[a, b]$, $(-\infty, \infty)$) ve birinci dereceden basit denklem çözme adımlarını hatırlamalısın.

 📖Konu Anlatımı

 Fonksiyonların Nitel Özellikleri ve Birim Fonksiyon (Doğrusal Referans Fonksiyon: $f(x) = x$)

Bir güneş panelinin ürettiği elektrik enerjisi güneşlenme süresine, bir 3B (3D) yazıcıda kalan filament miktarı ise baskı süresine bağlı olarak sabit bir hızla değişir. İki nicelik arasındaki bu tür sabit hızlı değişimleri doğrusal fonksiyonlarla modelleriz.

Bir $y = f(x)$ fonksiyonunu incelerken kullandığımız 7 temel nitel özellik şunlardır:

 Birim Fonksiyon (Doğrusal Referans Fonksiyon): $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ f(x) = x$

Tanım kümesindeki her gerçek sayıyı yine kendisiyle eşleyen $f(x) = x$ (veya $I(x) = x$) fonksiyonuna evrensel matematik dilinde birim (özdeşlik) fonksiyon, tüm doğrusal fonksiyonların türetildiği temel karşılaştırma ölçütü olduğu için de doğrusal referans fonksiyon denir. Grafiği orijinden $(0, 0)$ geçen ve eksenlerle $45^\circ$'lik açı yapan (eğimi $1$ olan) birinci açıortay doğrusudur.

- Tanım ve Görüntü Kümesi: En geniş tanım kümesi $\mathbb{R}$, görüntü kümesi $\mathbb{R}$'dir.

- Sıfırı ve İşareti: $f(x) = 0 \implies x = 0$'dır. $\forall x \in (-\infty, 0)$ için negatif ($-$), $\forall x \in (0, \infty)$ için pozitiftir ($+$).

- Artanlık ve Bire Birlik: Gerçek sayılarda daima artandır ve bire bir fonksiyondur.

- Maksimum / Minimum: Tanım kümesi $\mathbb{R}$ (sınırsız) olduğunda maksimum veya minimum noktası yoktur.

- Cebirsel Kuralı: Birim fonksiyonda parantez içindeki ifade ne ise sonuç da odur ($f(x) = x$). Örneğin $f(x) = (a - 2)x^2 + (b + 1)x + c - 4$ ifadesi birim fonksiyon belirtiyorsa $x$'in katsayısı $1$, diğer terimlerin katsayıları $0$ olmalıdır ($a - 2 = 0, \ b + 1 = 1, \ c - 4 = 0$).

 🧊Unutma! Bir doğrusal fonksiyonun maksimum veya minimum değerinin olup olmaması tanım kümesinin sınırlarına bağlıdır:

•   Tanım kümesi $[a, b]$ kapalı aralığı ise: Hem minimum hem maksimum değeri vardır (uç noktalarda alır).
•   Tanım kümesi $(a, b)$ açık aralığı veya $\mathbb{R}$ ise: Uç noktalar kümeye dahil olmadığı için maksimum ve minimum değeri yoktur!

🔎 Hemen Dene: $h: [-3, 5) \to \mathbb{R}, \ h(x) = x$ birim (doğrusal referans) fonksiyonunun minimum ve maksimum değerlerini belirle.

Cevap:

Fonksiyon artandır. Sol sınır $-3$ tanım kümesine dahil olduğu için minimum değeri $h(-3) = -3$'tür. Sağ sınır $5$ açık parantez (dahil değil) olduğu için fonksiyon $5$'e çok yaklaşır ama ulaşamaz; dolayısıyla maksimum değeri yoktur.

 Doğrunun Eğimi, Orijinden Geçen Doğrusal Fonksiyonlar ($g(x) = ax$) ve Genel Doğrusal Fonksiyonlar ($g(x) = ax + b$)

Birim (doğrusal referans) fonksiyon $f(x) = x$ üzerinde dikey ölçekleme (eğim değişimi) ve eksenler boyunca öteleme işlemleri yapılarak $g(x) = a \cdot f(x \pm r) \pm k$ veya düzenlenmiş hâliyle $g(x) = ax + b$ ($a, b \in \mathbb{R}, \ a \neq 0$) doğrusal fonksiyonları elde edilir.

 1. Doğrunun Eğimi ve Orijinden Geçen Doğrusal Fonksiyonlar: $g(x) = ax$

Birim fonksiyonun $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ katsayısıyla çarpılmasıyla elde edilen $g(x) = ax$ fonksiyonlarının grafikleri daima orijinden $(0, 0)$ geçen doğrulardır. Burada $a$ katsayısı doğrunun eğimini (dikliğini ve yönünü) belirler. Bir doğrunun eğimi, dikey değişimin yatay değişime oranıdır ($m = a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$):

•  $a > 0$ ise: Eğim pozitiftir, grafik sağa yatıktır ($\nearrow$, I. ve III. bölgelerden geçer) ve fonksiyon gerçek sayılarda artandır. $\lvert a \rvert$ büyüdükçe doğru dikleşir ($y$ eksenine yaklaşır).
• $a < 0$ ise: Eğim negatiftir, grafik sola yatıktır ($\searrow$, II. ve IV. bölgelerden geçer) ve fonksiyon gerçek sayılarda azalandır.

 2. Genel Doğrusal Fonksiyonlar ($g(x) = ax + b$) ve Grafik Ötelemeleri

Orijinden geçen $g(x) = ax$ doğrusuna $b$ sabit terimi eklendiğinde doğrunun eğimi ($a$) değişmez; grafik $y$ ekseni boyunca paralel olarak ötelenir:

•  $b > 0$ ise: Grafik $y$ ekseni boyunca pozitif yönde (yukarı) $b$ birim ötelenir.
• $b < 0$ ise: Grafik $y$ ekseni boyunca negatif yönde (aşağı) $\lvert b \rvert$ birim ötelenir.
• Grafiğin $y$ eksenini kestiği nokta $x = 0$ için $(0, b)$ noktasıdır.
• Grafiğin $x$ eksenini kestiği nokta (fonksiyonun sıfırı) $g(x) = ax + b = 0 \implies \mathbf{x = -\dfrac{b}{a}}$'dır.

 Doğrusal Fonksiyonun ($g(x) = ax + b$) İşaret Tablosu ($n = -\dfrac{b}{a}$ sıfırı olmak üzere)

 📌Pratik Tüyo (Yatay ve Dikey Öteleme İlişkisi):  

 $f(x) = x$ referans fonksiyonunda $g(x) = a \cdot f(x - r) + k = a(x - r) + k$ dönüşümü; grafiği yatayda $r$ birim sağa ($x - r$), dikeyde $k$ birim yukarı ($+k$) taşır ve eğimini $a$ katına çıkarır.

🔎 Hemen Dene: $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ g(x) = -3x + 12$ fonksiyonunun eğimini, sıfırını ve pozitif değer aldığı en geniş aralığı bul.

Cevap:

$x$'in katsayısı $a = -3$ olduğu için eğimi $-3$'tür (azalandır). Sıfırı: $-3x + 12 = 0 \implies x = 4$'tür. Fonksiyon azalan olduğu için sıfırından önceki değerlerde pozitiftir: $(-\infty, 4)$.

 Sabit Fonksiyon ($g(x) = k$) ve Nitel Özellikleri

$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ g(x) = ax + b$ doğrusal fonksiyonunda eğim katsayısı $a = 0$ olduğunda, bağımsız değişken $x$ yok olur ve geriye $g(x) = b = k$ ($k \in \mathbb{R}$) biçiminde sabit fonksiyon kalır. Sabit fonksiyon da doğrusal fonksiyon ailesinin özel bir üyesidir.

- Grafiği ve Eğimi: Grafiği $x$ eksenine paralel, $y$ eksenini $(0, k)$ noktasında dik kesen yatay bir doğrudur. Dikey değişim sıfır olduğu için eğimi $0$'dır.

- Tanım ve Görüntü Kümesi: Tanım kümesi $\mathbb{R}$, görüntü kümesi ise tek elemanlı $\{k\}$ kümesidir.

- Sıfırı ve İşareti:

•    $k \neq 0$ ise grafik $x$ eksenini hiç kesmez, sıfırı yoktur ($k > 0$ ise daima pozitif, $k < 0$ ise daima negatiftir).
• $k = 0$ ise ($g(x) = 0$) grafik $x$ ekseninin tam üstündedir; tüm gerçek sayılar fonksiyonun sıfırıdır ve fonksiyon işaretsizdir.

- Artanlık ve Bire Birlik: Değer hiç değişmediği için artan veya azalan değildir (sabittir). Tüm $x$ değerleri aynı $k$ sayısına gittiği için bire bir değildir.

 🔥Kritik Kural: $g(x) = (m - 3)x + 2m + 1$ fonksiyonunun sabit fonksiyon olduğu söylenirse, $x$'li terimin bulunmaması gerektiği için $x$'in katsayısını hemen sıfıra eşitlemelisin: $m - 3 = 0 \implies m = 3$ ve buradan $g(x) = 2(3) + 1 = 7$ bulunur.

🔎 Hemen Dene: Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = (2a + 6)x + a - 4$ fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre $f(2026)$ kaçtır?

Cevap:

Sabit fonksiyonda $x$'in katsayısı sıfırdır: $2a + 6 = 0 \implies a = -3$. Yerine yazarsak $f(x) = -3 - 4 = -7$ olur. Sabit fonksiyonda sonuç değişmeyeceği için $f(2026) = -7$'dir.

 Parçalı Fonksiyonlar (Doğrusal Fonksiyonların Parçalı Gösterimi)

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda ilk $30$ dakika boyunca batarya dakikada $2\text{ kWh}$ hızla hızlı şarj olurken, batarya ısısını korumak amacıyla $30.$ dakikadan sonra şarj hızı dakikada $0{,}8\text{ kWh}$'e düşürülmektedir. Bu süreci tek bir doğrusal denklemle yazamayız; çünkü $30.$ dakikada doğrunun eğimi kırılmaktadır!

Tanım: Tanım kümesinin ayrık alt aralıklarında birbirinden farklı cebirsel kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyon (parçalı tanımlı fonksiyon / parçalı gösterimli fonksiyon) denir:

$$f(x) = \begin{cases} g(x), & a \le x < c \\ h(x), & c \le x \le b \end{cases}$$

Burada $x = c$ noktasına parçalı fonksiyonun kritik (kırılma / geçiş) noktası denir.

 ⚠️Çok Önemli Parçalı Fonksiyon Yazım Uyarısı:  

 $x = c$ kırılma noktasından sonraki $(x \ge c)$ ikinci kuralı yazarken, $x$'in başlangıçtan itibaren değil $c$ sınırını aştıktan sonraki fazlalık miktarını temsil eden $(x - c)$ çarpanını kullanmak sana büyük işlem kolaylığı sağlar:

 $$h(x) = f(c) + m_2 \cdot (x - c)$$

 Burada $f(c)$ birinci parçanın bittiği sınır değeri, $m_2$ ise yeni aralığın birim değişim hızıdır (eğimidir).

🔎 Hemen Dene: Bir kargo firması $0 < x \le 5\text{ kg}$ arasındaki paketler için sabit $80\text{ TL}$, $5\text{ kg}$'ı aşan her $1\text{ kg}$ için ise ek olarak $12\text{ TL}$ ücret almaktadır. Kargo ücretini ($TL$) kütleye ($x\text{ kg}$) bağlı parçalı fonksiyon olarak yaz.

Cevap:

$5\text{ kg}$'ı aşan fazlalık kütle $(x - 5)\text{ kg}$'dır. Parçalı fonksiyon: $f(x) = \begin{cases} 80, & 0 < x \le 5 \\ 80 + 12(x - 5), & x > 5 \end{cases}$ (veya düzenlenirse $x > 5$ için $12x + 20$).

 📋Hızlı Bakış (Formül ve Kural Özeti)

 ✏️Örnekler (Özgün ve Detaylı Çözümler)

Örnek 1 [🟢 Temel - Kavrama]: Gerçek sayılarda tanımlı $g(x) = -2x + 8$ doğrusal fonksiyonu veriliyor. Buna göre:

a) $g$ fonksiyonunun grafiğini $f(x) = x$ doğrusal referans fonksiyonuna uygulanan dönüşüm adımlarını açıklayarak yorumlayınız ve eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

b) $g$ fonksiyonunun sıfırını, işaret tablosunu, artanlık/azalanlık durumunu ve bire birliğini belirleyiniz.

Çözüm:

- Ne verilmiş? $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ g(x) = -2x + 8$ doğrusal fonksiyonu.

- Ne isteniyor? Referans fonksiyondan dönüşüm adımları, eksen kesim noktaları ve nitel özellikleri.

- Hangi kural/yöntem? $f(x) = x \to -2x \to -2x + 8$ dönüşüm sırası ve $a = -2 < 0$ için nitel özellik kuralları.

1. a) Dönüşüm Adımları ve Eksen Kesimleri:

•     $f(x) = x$ referans fonksiyonunun her elemanı $-2$ ile çarpılarak $m(x) = -2x$ elde edilir (eğim $-2$ olur, grafik $x$ eksenine göre yansır ve dikleşir).
•  Ardından $m(x) = -2x$ grafiği $y$ ekseni boyunca pozitif yönde (yukarı) $8$ birim ötelenerek $g(x) = -2x + 8$ grafiğine ulaşılır.
•  $x = 0$ için $g(0) = 8 \implies y$ eksenini $(0, 8)$ noktasında keser.
•  $g(x) = 0 \implies -2x + 8 = 0 \implies x = 4 \implies x$ eksenini $(4, 0)$ noktasında keser.

2. b) Nitel Özellikler:

•     Sıfırı: $x = 4$'tür.
•  Eğimi ve Yönü: $a = -2 < 0$ olduğundan eğimi $-2$'dir ve gerçek sayılarda daima azalandır.
•  İşaret Tablosu: Fonksiyon azalan olduğu için sıfırı olan $4$'ten önce pozitif, $4$'ten sonra negatiftir:

     $$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & 4 & & +\infty \\ \hline g(x) & & + & 0 & - & \end{array}$$

     $\forall x \in (-\infty, 4)$ için pozitif, $\forall x \in (4, \infty)$ için negatiftir.

•     Bire Birlik ve Maks/Min: $a \neq 0$ olduğu için bire birdir. Tanım kümesi $\mathbb{R}$ olduğundan maksimum veya minimum noktası yoktur.

Kontrol: $x = 1 \in (-\infty, 4)$ için $g(1) = 6 > 0$ (pozitif) ve $x = 5 \in (4, \infty)$ için $g(5) = -2 < 0$ (negatif) olup işaret tablosu doğrulanır.

Sonuç: a) $(0, 8)$ ve $(4, 0)$, b) Sıfırı $x = 4$, $(-\infty, 4)$'te pozitif, $(4, \infty)$'da negatif, azalan ve bire birdir.

Örnek 2 [🟢 Temel - Kavrama]: $k: [-2, 6] \to \mathbb{R}, \ k(x) = 3x - 5$ şeklinde tanımlı $k$ doğrusal fonksiyonunun:

a) Görüntü kümesini bulunuz.

b) Maksimum ve minimum noktalarını (ve değerlerini) belirleyiniz.

c) Tanım kümesi $(-2, 6]$ yarı açık aralığı olsaydı maksimum ve minimum değerleri nasıl değişirdi?

Çözüm:

- Ne verilmiş? Sınırlı $[-2, 6]$ kapalı aralığında tanımlı, eğimi $a = 3 > 0$ (artan) olan $k(x) = 3x - 5$ fonksiyonu.

- Ne isteniyor? Görüntü kümesi, maksimum/minimum noktaları ve yarı açık aralıkta değişim durumu.

- Hangi kural/yöntem? Artan doğrusal fonksiyon kapalı bir aralıkta en küçük değerini sol uçta, en büyük değerini sağ uçta alır.

1. a) $a = 3 > 0$ olduğundan $k$ fonksiyonu artandır. Uç noktalardaki görüntüleri hesaplayalım:

   $$k(-2) = 3(-2) - 5 = -11$$

   $$k(6) = 3(6) - 5 = 13$$

   Dolayısıyla görüntü kümesi $[-11, 13]$ kapalı aralığıdır.

2. b) Tanım kümesinin her iki ucu da kapalı (dahil) olduğundan:

   - Minimum değeri: $-11$'dir ve bu değeri $(-2, -11)$ minimum noktasında alır.

   - Maksimum değeri: $13$'tür ve bu değeri $(6, 13)$ maksimum noktasında alır.

3. c) Tanım kümesi $(-2, 6]$ olsaydı, $x = -2$ kümeye dahil olmayacağı için görüntü kümesi $(-11, 13]$ olurdu. Bu durumda maksimum değeri yine $13$ olurdu ancak minimum değeri (ve noktası) bulunmazdı.

Kontrol: Sıfırı olan $x = \dfrac{5}{3} \in [-2, 6]$ için $k\left(\dfrac{5}{3}\right) = 0 \in [-11, 13]$ olup görüntü kümesi içinde yer almaktadır.

Sonuç: a) $[-11, 13]$, b) Min: $(-2, -11)$'de $-11$; Maks: $(6, 13)$'te $13$, c) Minimum değeri olmazdı, maksimum değeri $13$ kalırdı.

Örnek 3 [🟡 Orta - İşlemsel]: $m, n \in \mathbb{R}$ olmak üzere gerçek sayılarda tanımlı

$$f(x) = (2m - 8)x + m + 3 \qquad \text{ve} \qquad g(x) = 3x - n$$

doğrusal fonksiyonları veriliyor. $f$ fonksiyonunun grafiği $x$ eksenine paralel bir doğru belirttiğine ve $g$ fonksiyonunun grafiği $f$ fonksiyonunun grafiğini $x = 2$ apsisli noktada kestiğine göre $n$ gerçek sayısını ve $g$ fonksiyonunun sıfırını bulunuz.

Çözüm:

- Ne verilmiş? Grafiği $x$ eksenine paralel olan $f$ fonksiyonu ve onunla $x = 2$'de kesişen $g(x) = 3x - n$ fonksiyonu.

- Ne isteniyor? $n$ değeri ve $g(x) = 0$ denkleminin kökü (sıfırı).

- Hangi kural/yöntem? Grafiği $x$ eksenine paralel olan doğrusal fonksiyon sabit fonksiyondur ($x$'in katsayısı $0$'dır). Kesişim noktasında $f(2) = g(2)$ eşitliği sağlanır.

1. $f$ sabit fonksiyon olduğundan $x$'in katsayısını sıfıra eşitleyelim:

   $$2m - 8 = 0 \implies 2m = 8 \implies m = 4$$

   $m = 4$ değerini $f(x)$'te yerine yazalım:

   $$f(x) = 0 \cdot x + 4 + 3 \implies f(x) = 7$$

2. İki grafik $x = 2$ apsisli noktada kesiştiğine göre $g(2) = f(2) = 7$ olmalıdır:

   $$g(2) = 3(2) - n = 7 \implies 6 - n = 7 \implies n = -1$$

3. $n = -1$ için $g$ fonksiyonunun kuralı:

   $$g(x) = 3x - (-1) = 3x + 1$$

   $g$ fonksiyonunun sıfırını bulmak için $g(x) = 0$ yapalım:

   $$3x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{3}$$

Kontrol: $x = 2$ için $g(2) = 3(2) + 1 = 7 = f(2)$ kesişim şartını tam olarak sağlamaktadır.

Sonuç: $n = -1$ ve $g$'nin sıfırı $x = -\dfrac{1}{3}$

Örnek 4 [🟡 Orta - İşlemsel]: Tam dolu bataryayla ($\%100$) göreve başlayan bir otonom su altı keşif aracının (AUV) batarya doluluk oranı, geçen zamana ($t$ saat) bağlı olarak sabit hızla azalmaktadır. Araç $3.$ saatin sonunda $\%76$, $7.$ saatin sonunda ise $\%44$ batarya doluluğuna sahiptir.  

Buna göre:

a) Zamana ($t$) bağlı batarya doluluk yüzdesini veren $B(t)$ doğrusal fonksiyonunun cebirsel temsilini, tanım ve görüntü kümesini bulunuz.

b) Fonksiyonun eğimini ve sıfırını bularak bu değerlerin keşif aracı için ne anlama geldiğini yorumlayınız.

Çözüm:

- Ne verilmiş? $t = 0$'da $B(0) = 100$, $B(3) = 76$ ve $B(7) = 44$ değerleri.

- Ne isteniyor? $B(t)$ doğrusal fonksiyonunun kuralı, tanım/görüntü kümesi, eğimi ve sıfırının gerçek yaşam yorumu.

- Hangi kural/yöntem? Birim zamandaki değişim oranı eğimi verir: $a = \dfrac{B(t_2) - B(t_1)}{t_2 - t_1}$.

1. a) Eğim ve Cebirsel Temsil:

   $3.$ ve $7.$ saatler arasındaki $4$ saatte batarya $\%76$'dan $\%44$'e düşmüştür:

   $$\text{Eğim } (a) = \frac{44 - 76}{7 - 3} = \frac{-32}{4} = -8$$

   Başlangıçta ($t = 0$) batarya $\%100$ dolu olduğundan $b = 100$'dür:

   $$B(t) = -8t + 100$$

2. Sıfırı, Tanım ve Görüntü Kümesi:

   Bataryanın tamamen bittiği an ($B(t) = 0$):

   $$-8t + 100 = 0 \implies 8t = 100 \implies t = \frac{100}{8} = 12{,}5\text{ saat}$$

   Süre negatif olamayacağı ve batarya $12{,}5.$ saatte biteceği için:

   - Tanım kümesi: $[0, \ 12{,}5]$

   - Görüntü kümesi: $[0, \ 100]$

   $$B: [0, \ 12{,}5] \to [0, \ 100], \quad B(t) = -8t + 100$$

3. b) Yorumlama:

   - Eğim ($-8$): Keşif aracının bataryasının saatte $\%8$ oranında tükendiğini ifade eder.

   - Sıfırı ($t = 12{,}5$): Aracın tam dolu bataryayla kesintisiz görev yapabileceği maksimum sürenin $12{,}5\text{ saat}$ ($12\text{ saat } 30\text{ dakika}$) olduğunu gösterir.

Kontrol: $t = 3$ için $B(3) = -8(3) + 100 = 76$ ve $t = 7$ için $B(7) = -8(7) + 100 = 44$ değerleri sorudaki verilerle birebir örtüşmektedir.

Sonuç: a) $B: [0, 12{,}5] \to [0, 100], \ B(t) = -8t + 100$, b) Eğim $= -8$ (saatlik tüketim), Sıfırı $= 12{,}5$ (bataryanın bitiş süresi)

Örnek 5 [🔴 İleri - Yorum ve Analiz]: Aynı fiber optik hat üzerinden veri aktaran iki farklı yedekleme sunucusundan:

- I. Sunucu: Veri aktarımına hemen başlamış ve sabit hızla dakikada $15\text{ GB}$ veri aktarmıştır.

- II. Sunucu: Güvenlik taraması nedeniyle I. sunucudan $4\text{ dakika}$ sonra veri aktarımına başlamış ve sabit hızla dakikada $25\text{ GB}$ veri aktarmıştır.

I. sunucunun çalışmaya başladığı andan itibaren geçen süre $x\text{ dakika}$ ($x \ge 4$ için her ikisi de aktif) olmak üzere:

a) Sunucuların aktardığı toplam veri miktarlarını ($\text{GB}$) gösteren $f(x)$ ve $g(x)$ doğrusal fonksiyonlarının kurallarını yazınız ($g$ için $x \ge 4$).

b) $g$ fonksiyonunun sıfırını bularak bu değerin ne anlama geldiğini açıklayınız.

c) İki sunucunun kaçıncı dakikada eşit miktarda veri aktarmış olacağını ve $12.$ dakikanın sonunda aralarındaki veri farkını bulunuz.

Çözüm:

- Ne verilmiş? I. sunucu hızı $15\text{ GB/dk}$ ($t=0$'da başlar); II. sunucu hızı $25\text{ GB/dk}$ ($t=4$'te başlar).

- Ne isteniyor? $f(x)$ ve $g(x)$ cebirsel temsilleri, $g$'nin sıfırının anlamı, eşitlenme zamanı ve $x = 12$'deki fark.

- Hangi kural/yöntem? $4$ dakika gecikmeli başlayan hareket $x$ ekseninde $4$ birim sağa ötelemedir: $g(x) = 25(x - 4)$.

1. a) Cebirsel Temsiller:

   - I. Sunucu: $f(x) = 15x$ ($x \ge 0$)

   - II. Sunucu: $4$ dakika gecikmeli başladığı için aktif çalıştığı süre $(x - 4)$ dakikadır:

     $$g(x) = 25(x - 4) = 25x - 100 \quad (x \ge 4)$$

2. b) $g$ Fonksiyonunun Sıfırı:

   $$g(x) = 25x - 100 = 0 \implies x = 4$$

   Bu değer, II. sunucunun henüz veri aktarımına başladığı ($0\text{ GB}$ aktardığı) başlangıç anının $4.$ dakika olduğunu ifade eder.

3. c) Eşitlenme Anı ve $12.$ Dakika Analizi:

   İki sunucunun aktardığı veri miktarlarını birbirine eşitleyelim ($f(x) = g(x)$):

   $$15x = 25x - 100 \implies 10x = 100 \implies x = 10\text{ dakika}$$

   $10.$ dakikada her ikisi de $15 \cdot 10 = 150\text{ GB}$ veri aktarmış olur.

   $12.$ dakikanın sonunda ($x = 12$):

   $$f(12) = 15 \cdot 12 = 180\text{ GB}, \qquad g(12) = 25 \cdot 12 - 100 = 300 - 100 = 200\text{ GB}$$

   Aralarındaki fark: $200 - 180 = 20\text{ GB}$ (II. sunucu $20\text{ GB}$ öne geçmiştir).

Kontrol: $x = 12$'de II. sunucu $12 - 4 = 8$ dakika boyunca dakikada $25\text{ GB}$ aktarmıştır: $8 \cdot 25 = 200\text{ GB}$. Sonuç tam tutarlıdır.

Sonuç: a) $f(x) = 15x, \ g(x) = 25x - 100$, b) Sıfırı $x = 4$ (II. sunucunun devreye giriş anı), c) $10.$ dakikada eşitlenir; $12.$ dakikada fark $20\text{ GB}$'tır.

Örnek 6 [🔴 İleri - Yeni Nesil]: Bir metalürji laboratuvarında özel bir titanyum alaşımına uygulanan $50\text{ dakikalık}$ ısıl işlem sürecinde, fırın sıcaklığının ($T, \ ^\circ\text{C}$) zamana ($t, \text{ dakika}$) bağlı değişimi üç aşamadan oluşmaktadır:

1. Isıtma Evresi ($0 \le t < 15$): Başlangıçta $40^\circ\text{C}$ olan fırın sıcaklığı sabit hızla dakikada $24^\circ\text{C}$ artırılmaktadır.

2. Tavlamada Bekletme Evresi ($15 \le t < 35$): Sıcaklık $15.$ dakikada ulaştığı değerde sabit tutulmaktadır.

3. Kontrollü Soğutma Evresi ($35 \le t \le 50$): Sıcaklık sabit hızla dakikada $16^\circ\text{C}$ düşürülmektedir.

Buna göre:

a) Fırın sıcaklığını zamana bağlı modelleyen $T(t)$ fonksiyonunu parçalı gösterimli fonksiyon olarak yazınız.

b) $T(t)$ fonksiyonunun tanım kümesini, görüntü kümesini, artan/azalan/sabit olduğu aralıkları ve maksimum/minimum değerlerini bulunuz.

Çözüm:

- Ne verilmiş? $[0, 15)$, $[15, 35)$ ve $[35, 50]$ zaman aralıklarında sırasıyla $+24^\circ\text{C/dk}$, $0^\circ\text{C/dk}$ ve $-16^\circ\text{C/dk}$ değişim hızlarıyla çalışan üç evreli ısıl işlem.

- Ne isteniyor? $T(t)$ parçalı fonksiyon kuralı ve nitel özellikleri.

- Hangi kural/yöntem? Her evrenin bitiş sıcaklığı bir sonraki evrenin başlangıç sıcaklığıdır: $T(t) = T(c) + m(t - c)$.

1. 1. Evre ($0 \le t < 15$):

   Başlangıç sıcaklığı $40^\circ\text{C}$ ve artış hızı (eğim) $+24$:

   $$T_1(t) = 24t + 40$$

   $15.$ dakikanın sonundaki sıcaklık: $T(15) = 24(15) + 40 = 360 + 40 = 400^\circ\text{C}$.

2. 2. Evre ($15 \le t < 35$):

   Sıcaklık $400^\circ\text{C}$'ta sabit tutulmaktadır (eğim $= 0$):

   $$T_2(t) = 400$$

3. 3. Evre ($35 \le t \le 50$):

   $35.$ dakikadaki $400^\circ\text{C}$ değerinden itibaren geçen her $(t - 35)$ dakika için sıcaklık $16^\circ\text{C}$ düşmektedir (eğim $= -16$):

   $$T_3(t) = 400 - 16(t - 35) = 400 - 16t + 560 = -16t + 960$$

   $50.$ dakikanın sonundaki sıcaklık: $T(50) = 400 - 16(50 - 35) = 400 - 240 = 160^\circ\text{C}$.

4. a) Parçalı Gösterim:

   $$T(t) = \begin{cases} 24t + 40, & 0 \le t < 15 \\ 400, & 15 \le t < 35 \\ -16t + 960, & 35 \le t \le 50 \end{cases}$$

5. b) Nitel Özellikler:

   - Tanım Kümesi: $[0, 50]$

   - Görüntü Kümesi: En düşük sıcaklık $t = 0$'da $40^\circ\text{C}$, en yüksek sıcaklık $400^\circ\text{C}$ olduğundan $[40, 400]$ aralığıdır.

   - Artan / Sabit / Azalan Aralıklar: $[0, 15]$'te artan, $[15, 35]$'te sabit, $[35, 50]$'de azalandır.

   - Minimum ve Maksimum Değer: Minimum değeri $40^\circ\text{C}$ ($t = 0$'da), maksimum değeri $400^\circ\text{C}$'tur ($[15, 35]$ aralığındaki tüm noktalarda).

Kontrol: Kırılma noktası $t = 35$ için hem 2. kural ($400$) hem de 3. kural ($-16(35) + 960 = -560 + 960 = 400$) aynı değeri vermekte olup grafikte kopukluk yoktur.

Sonuç: a) $T(t)$ üç parçalı fonksiyonu, b) Tanım: $[0, 50]$, Görüntü: $[40, 400]$, Min: $40^\circ\text{C}$, Maks: $400^\circ\text{C}$

 ⚠️Sık Yapılan Hatalar ve Uyarılar

- 🔴 Parçalı Fonksiyonda Kırılma Noktasından Sonra $(x - c)$ Yerine Doğrudan $x$ Yazmak: İlk $100$ birimi sabit $300\text{ TL}$, sonraki her birimi $4\text{ TL}$ olan bir tarifede $x > 100$ için ❌ $f(x) = 300 + 4x$ yerine ✅ $f(x) = 300 + 4(x - 100)$ yazılmalıdır. Doğrudan $4x$ yazılırsa ilk $100$ birim iki kez ücretlendirilmiş olur!

- 🔴 Açık Aralıkta Tanımlı Fonksiyona Maksimum/Minimum Değer Atamak: $(1, 4)$ açık aralığında tanımlı $f(x) = 2x$ fonksiyonu için ❌ $" \text{Maksimum değeri } f(4) = 8\text{'dir} "$ yerine ✅ $" 4 \notin (1, 4) \text{ olduğundan maksimum değeri yoktur} "$ denmelidir.

- 🔴 Fonksiyonun Sıfırı İle $y$ Eksenini Kestiği Noktayı Karıştırmak: $g(x) = 3x - 12$ fonksiyonunun sıfırı ❌ $g(0) = -12$ değil, ✅ $g(x) = 0 \implies 3x - 12 = 0 \implies x = 4$'tür. Fonksiyonun sıfırı $y$ eksenini değil, $x$ eksenini kestiği noktanın apsisidir.

- 🟡 Sabit Fonksiyonu Bire Bir Sanmak: $a \neq 0$ olan tüm $g(x) = ax + b$ doğrusal fonksiyonları bire birdir; ancak $a = 0$ olduğunda elde edilen $g(x) = b$ sabit fonksiyonunda farklı tüm $x$ değerleri aynı $b$ görüntüsüne gittiği için ($g(1) = g(2) = b$) fonksiyon kesinlikle bire bir değildir.

- 🟡 Azalan Fonksiyonlarda İşaret Tablosunu Ters Doldurmak: $g(x) = -2x + 6$ gibi $a < 0$ (eğimi negatif) olan fonksiyonlarda grafik soldan sağa aşağı indiği için sıfırı olan $x = 3$'ün solunda pozitif ($+$), sağında negatif ($-$) değer alır. Ezbere her zaman solda $(-)$, sağda $(+)$ yazmak hatalıdır.