Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler

 2.3. Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında;

- İki doğrusal fonksiyonun karşılaştırılmasıyla oluşan $f(x) = g(x)$ birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerini ve $f(x) < g(x), \ f(x) \ge g(x)$ birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerini cebirsel, grafiksel ve işaret tablosu yöntemleriyle çözebileceksin,

- Maliyet-gelir (başabaş noktası) ve tarife karşılaştırma problemlerini doğrusal fonksiyon denklem ve eşitsizlikleriyle modelleyerek yorumlayabileceksin,

- $\lvert f(x) \rvert = k$, $\lvert f(x) \rvert \le k$ ve $\lvert f(x) \rvert > k$ biçimindeki mutlak değerli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini grafik ve cebirsel temsillerle bulabileceksin,

- Mutlak değerli ifadelerin doğrusal fonksiyonlarla karşılaştırıldığı $\lvert f(x) \rvert = g(x)$ ve $\lvert f(x) \rvert < g(x)$ problemlerini parçalı fonksiyon gösterimiyle çözüp çözüm kümesi kontrolü (sağlama) yapabileceksin.

🧩 Başlamadan Önce: Doğrusal fonksiyonların işaret tablosunu, eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma/bölme kuralını ve mutlak değer fonksiyonunun parçalı gösterimini hatırlamalısın.

 📖Konu Anlatımı

 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlikler

Bir bulut depolama sunucusunda kalan boş alanın zamana bağlı değişimi $f(x) = ax + b$ doğrusal fonksiyonuyla modellensin. "Boş alan ne zaman sıfırlanır?" sorusu $f(x) = 0$ denklemini, "Boş alan hangi zaman aralığında $50\text{ GB}$'ın altına düşer?" sorusu ise $f(x) < 50$ eşitsizliğini doğurur.

Tanım: Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = ax + b$ ve $g(x) = cx + d$ doğrusal fonksiyonları için ($a \neq c$):

• $f(x) = g(x)$ eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem,
• $f(x) < g(x), \ f(x) \le g(x), \ f(x) > g(x), \ f(x) \ge g(x)$ ifadelerine ise birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.

İfadelerin sağ tarafındaki terimler sola taşınıp $a - c = m \neq 0$ ve $b - d = n$ denildiğinde tüm durumlar $h(x) = mx + n$ standart formuna indirgenir. $mx + n = 0$ denkleminin tek kökü (fonksiyonun sıfırı) $x = -\dfrac{n}{m}$'dir.

 $mx + n$ Standart Eşitsizliklerinin Çözüm Aralıkları ($m \neq 0$)

 🔥Kritik Kural: Bir eşitsizliği çözerken üç farklı yöntemi birbirini doğrulamak için kullanabilirsin:

 1. Cebirsel Çözüm: Bilinmeyeni yalnız bırak ($m < 0$ ise bölerken eşitsizliğin yönünü çevir!).

 2. Grafiksel Çözüm: İki doğrunun kesişim apsisini ($x_0$) bul; hangi doğrunun daha üstte/altta olduğuna bak.

 3. İşaret Tablosu: $h(x) = f(x) - g(x)$ fark fonksiyonunun sıfırını tabloya yerleştirip $+$ ve $-$ bölgelerini belirle.

🔎 Hemen Dene: Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = 2x - 5$ ve $g(x) = 5x + 7$ fonksiyonları için $f(x) \ge g(x)$ eşitsizliğinin çözüm aralığını bul.

Cevap:

2x - 5 \ge 5x + 7 \implies -3x \ge 12$. Her iki tarafı $-3$'e böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir: $x \le -4$. Çözüm aralığı: $(-\infty, -4]$.

 Doğrusal Denklem ve Eşitsizlik Problemleri (Maliyet-Gelir ve Başabaş Noktası)

Bir üretim tesisinde sabit kurulum maliyetine birim üretim maliyeti eklenerek Toplam Maliyet Fonksiyonu $M(x)$, satılan ürün adedine bağlı olarak da Toplam Gelir Fonksiyonu $G(x)$ oluşturulur:

• Başabaş Noktası ($G(x) = M(x)$): Gelirin maliyete tam eşit olduğu (ne kâr ne zarar edilen) üretim adedidir. Grafikte iki doğrunun kesişim noktasıdır.
• Zarar Bölgesi ($G(x) < M(x)$): Maliyet doğrusunun gelir doğrusunun üstünde kaldığı aralıktır.

• Kâr Bölgesi ($G(x) > M(x)$): Gelir doğrusunun maliyet doğrusunun üstüne çıktığı (net kâr fonksiyonu $K(x) = G(x) - M(x) > 0$) aralıktır.

   

 📌Pratik Tüyo: İki farklı abonelik tarifesi veya iki farklı enerji sistemi karşılaştırılırken, kurulum (başlangıç) ücreti yüksek ama birim kullanım ücreti (eğimi) düşük olan sistem; kesişim noktasından ($x_0$) önceki kısa süreli kullanımlarda pahalı, kesişim noktasından ($x_0$) sonraki uzun süreli kullanımlarda ise daha ekonomiktir!

🔎 Hemen Dene: Bir atölyenin aylık sabit gideri $45{.}000\text{ TL}$, ürettiği her bir ürünün maliyeti $300\text{ TL}$ ve satış fiyatı $800\text{ TL}$'dir. Atölyenin kâra geçebilmesi için ayda en az kaç ürün satması gerekir?

Cevap:

M(x) = 45000 + 300x$ ve $G(x) = 800x$'tir. Kâra geçmek için $G(x) > M(x) \implies 800x > 45000 + 300x \implies 500x > 45000 \implies x > 90$. ($90.$ üründe başabaş olur, en az $91$ ürün satmalıdır).

 Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler ($\lvert f(x) \rvert = k$, $\lvert f(x) \rvert \le k$, $\lvert f(x) \rvert > k$)

$f(x) = ax + b$ ($a \neq 0$) doğrusal fonksiyon ve $k > 0$ pozitif bir gerçek sayı olmak üzere, mutlak değer fonksiyonuyla sabit $g(x) = k$ fonksiyonunun karşılaştırılmasıyla oluşan denklem ve eşitsizlikler şöyle çözülür:

 🧊Unutma! Mutlak değer hiçbir zaman negatif olamayacağı için ($\forall x \in \mathbb{R}, \ \lvert f(x) \rvert \ge 0$), eğer sağdaki $k$ sayısı negatifse ($k < 0$):

•  - $\lvert f(x) \rvert = k$ ve $\lvert f(x) \rvert < k$ ifadelerinin çözüm kümesi doğrudan boş kümedir ($\emptyset$)!
• - $\lvert f(x) \rvert > k$ eşitsizliği ise tüm gerçek sayılar için daima doğru olduğundan çözüm kümesi $\mathbb{R}$'dir!

🔎 Hemen Dene: $\lvert 3x - 7 \rvert \le 8$ eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm aralığını bul.

Cevap:

8 \le 3x - 7 \le 8 \implies$ her tarafa $7$ eklersek $-1 \le 3x \le 15 \implies$ $3$'e bölersek $-\dfrac{1}{3} \le x \le 5$. Çözüm aralığı: $\left[-\dfrac{1}{3}, \ 5\right]$.

 Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizliklerde Parçalı Çözüm ve Çözüm Kümesi Kontrolü ($\lvert f(x) \rvert = g(x)$ ve $\lvert f(x) \rvert < g(x)$)

Eşitliğin veya eşitsizliğin bir tarafında mutlak değerli $\lvert f(x) \rvert$, diğer tarafında ise dışarıda değişken içeren doğrusal bir $g(x) = cx + d$ fonksiyonu bulunduğunda çok dikkatli olunmalıdır!

 Parçalı Fonksiyon ve Kök Kontrolü (Yabancı Kök Elemesi)

1. Kritik Noktaya Göre Parçalama: Mutlak değerin içini sıfırlayan $f(x) = 0 \implies x = x_0$ kritik noktası bulunur.

   - 1. Durum ($x < x_0$ aralığı): Mutlak değer içi negatiftir; $-f(x) = g(x)$ (veya $-f(x) < g(x)$) çözülür. Bulunan $x$ değerlerinin $x < x_0$ aralığına düşüp düşmediği kontrol edilir!

   - 2. Durum ($x \ge x_0$ aralığı): Mutlak değer içi pozitiftir; $f(x) = g(x)$ (veya $f(x) < g(x)$) çözülür. Bulunan $x$ değerlerinin $x \ge x_0$ aralığına düşüp düşmediği kontrol edilir!

2. Pratik Sağlama Yolu ($\lvert f(x) \rvert = g(x)$ için): $f(x) = g(x)$ ve $f(x) = -g(x)$ denklemlerinden bulunan kökler, sağ taraftaki $g(x)$ ifadesinde yerine yazılır; $g(x) \ge 0$ şartını sağlamayan (sağ tarafı negatif yapan) kök "yabancı köktür" ve çözüm kümesinden atılır!

 ⚠️Çok Önemli Yabancı Kök Uyarısı:  

 $\lvert 2x + 2 \rvert = 3x - 5$ gibi bir denklemde kontrol yapmadan her iki kökü de çözüm kümesine yazmak sınavlarda en çok puan kaybettiren hatadır! Örneğin $2x + 2 = -(3x - 5) \implies 5x = 3 \implies x = \dfrac{3}{5}$ kökünü sağ tarafta yerine yazarsan $3\left(\dfrac{3}{5}\right) - 5 = -\dfrac{16}{5} < 0$ çıkar. Mutlak değer negatif bir sayıya eşit olamayacağı için $x = \dfrac{3}{5}$ sahte (yabancı) köktür ve reddedilir!

🔎 Hemen Dene: $\lvert x + 4 \rvert = 2x - 1$ denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bul.

Cevap:

1) $x + 4 = 2x - 1 \implies x = 5$. Kontrol: Sağ taraf $2(5) - 1 = 9 \ge 0$ (Sağlar ✅).  2) $x + 4 = -2x + 1 \implies 3x = -3 \implies x = -1$. Kontrol: Sağ taraf $2(-1) - 1 = -3 < 0$ (Sağlamaz ❌).  Çözüm kümesi tek elemanlıdır: $\{5\}$.

 📋 Hızlı Bakış (Formül ve Kural Özeti)

 ✏️Örnekler (Özgün ve Detaylı Çözümler)

Örnek 1 [🟢 Temel - Kavrama]: Gerçek sayılarda tanımlı

$$f(x) = -4\left(\frac{x}{2} - 3\right)$$

doğrusal fonksiyonu veriliyor. Buna göre $f(x) \le 0$ eşitsizliğinin çözüm aralığını:

a) Cebirsel işlemlerle,

b) İşaret tablosuyla,

c) Grafik yorumuyla bulunuz.

Çözüm:

- Ne verilmiş? $f(x) = -4\left(\dfrac{x}{2} - 3\right) = -2x + 12$ doğrusal fonksiyonu.

- Ne isteniyor? $f(x) \le 0$ eşitsizliğinin üç farklı yolla çözüm aralığı.

- Hangi kural/yöntem? Önce parantez dağıtılır, fonksiyonun sıfırı bulunur; $a = -2 < 0$ (azalan) olduğuna dikkat edilir.

1. a) Cebirsel Çözüm:

   $$f(x) = -2x + 12 \le 0 \implies -2x \le -12$$

   Eşitsizliğin her iki tarafını negatif olan $-2$'ye böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir:

   $$x \ge \frac{-12}{-2} \implies x \ge 6 \implies \text{Çözüm Aralığı: } [6, \infty)$$

2. b) İşaret Tablosuyla Çözüm:

   Fonksiyonun sıfırı $-2x + 12 = 0 \implies x = 6$'dır. Eğim $a = -2 < 0$ (negatif) olduğu için tablo soldan $(+)$ ile başlar, $6$'dan sonra $(-)$ olur:

   $$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & 6 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & 0 & - & \end{array}$$

   $f(x) \le 0$ (negatif veya sıfır) olan bölge $[6, \infty)$ aralığıdır.

3. c) Grafik Yorumuyla Çözüm:

   $y = -2x + 12$ doğrusu $(0, 12)$ ve $(6, 0)$ noktalarından geçen sola yatık (azalan) bir doğrudur. Grafik $x = 6$ noktasında $x$ eksenini keser ve $x > 6$ için $x$ ekseninin altında kalır. Dolayısıyla $f(x) \le 0$ şartını sağlayan apsisler $[6, \infty)$ aralığıdır.

Kontrol: $x = 8 \in [6, \infty)$ için $f(8) = -2(8) + 12 = -4 \le 0$ eşitsizliği sağlamaktadır.

Sonuç: $[6, \infty)$

Örnek 2 [🟢 Temel - Kavrama]: Bir yazılım şirketi müşterilerine iki farklı bulut sunucu kiralama paketi sunmaktadır:

- Kurumsal Paket ($K$): Tek seferlik $36{.}000\text{ TL}$ altyapı kurulum ücreti ve kullanılan her ay için $2{.}000\text{ TL}$ bakım ücreti.

- Esnek Paket ($E$): Tek seferlik $12{.}000\text{ TL}$ altyapı kurulum ücreti ve kullanılan her ay için $5{.}000\text{ TL}$ bakım ücreti.

Sunucuların kullanım süresi $x\text{ ay}$ olmak üzere:

a) İki paketin toplam maliyetlerini ($\text{TL}$) gösteren $K(x)$ ve $E(x)$ doğrusal fonksiyonlarını yazınız.

b) Kaçıncı ayın sonunda iki paketin toplam maliyetinin birbirine eşitleneceğini bulunuz.

c) Şirketin Kurumsal Paketi tercih etmesinin hangi kullanım sürelerinde daha ekonomik olacağını eşitsizlik kurarak belirleyiniz.

Çözüm:

- Ne verilmiş? Kurumsal paket: $36{.}000\text{ TL}$ sabit + $2{.}000\text{ TL/ay}$; Esnek paket: $12{.}000\text{ TL}$ sabit + $5{.}000\text{ TL/ay}$.

- Ne isteniyor? Maliyet fonksiyonları, eşitlenme ayı ($K(x) = E(x)$) ve Kurumsal paketin daha ucuz olduğu aralık ($K(x) < E(x)$).

- Hangi kural/yöntem? Sabit ücret $+ \ (\text{Aylık ücret}) \cdot x$ doğrusal modeli.

1. a) Cebirsel Temsiller:

   $$K(x) = 36000 + 2000x \qquad \text{ve} \qquad E(x) = 12000 + 5000x$$

2. b) Eşitlenme Süresi ($K(x) = E(x)$):

   $$36000 + 2000x = 12000 + 5000x \implies 24000 = 3000x \implies x = \frac{24000}{3000} = 8\text{ ay}$$

   $8.$ ayın sonunda her iki paketin toplam maliyeti de $36000 + 2000(8) = 52{.}000\text{ TL}$ olur.

3. c) Kurumsal Paketin Daha Ekonomik Olduğu Aralık ($K(x) < E(x)$):

   $$36000 + 2000x < 12000 + 5000x \implies 24000 < 3000x \implies x > 8$$

   Kullanım süresi $8\text{ aydan}$ fazla olduğunda ($(8, \infty)$ aralığında) Kurumsal Paket daha ekonomiktir.

Kontrol: $x = 10.$ ayda $K(10) = 56{.}000\text{ TL}$ iken $E(10) = 62{.}000\text{ TL}$ olup Kurumsal Paket $6{.}000\text{ TL}$ daha avantajlıdır.

Sonuç: a) $K(x) = 36000 + 2000x, \ E(x) = 12000 + 5000x$, b) $8.$ ay, c) $8$ aydan uzun kullanımlarda ($(8, \infty)$)

Örnek 3 [🟡 Orta - İşlemsel]: Bir yüksek hızlı tren hattında kullanılan çelik rayların standart uzunluğu $25\text{ metre}$ olarak üretilmektedir. Kalite kontrol standartlarına göre, üretilen bir rayın uzunluğunun ($x\text{ metre}$) standart uzunluktan sapma miktarı $0{,}015\text{ metreyi}$ aşmamalıdır. Bu sınırı aşan raylar hatalı kabul edilip geri dönüşüme gönderilmektedir.  

Buna göre:

a) Üretilen bir rayın uzunluğuna ($x$) bağlı hata (sapma) miktarını veren $f(x)$ fonksiyonunu yazınız.

b) Rayın kabul edilebilir uzunluk aralığını mutlak değerli eşitsizlik kurarak bulunuz.

c) Rayın geri dönüşüme gönderileceği uzunluk aralıklarını eşitsizlik ve aralık birleşimi olarak ifade ediniz.

Çözüm:

- Ne verilmiş? Standart uzunluk $25\text{ m}$ ve maksimum izin verilen sapma $0{,}015\text{ m}$.

- Ne isteniyor? Sapma fonksiyonu $f(x)$, kabul aralığı ($\lvert x - 25 \rvert \le 0{,}015$) ve ret aralığı ($\lvert x - 25 \rvert > 0{,}015$).

- Hangi kural/yöntem? Mutlak değerli küçük eşittir (iç aralık) ve büyüktür (dış aralıklar) kuralları.

1. a) Sapma Fonksiyonu:

   $$f(x) = \lvert x - 25 \rvert$$

2. b) Kabul Edilebilir Uzunluk Aralığı ($f(x) \le 0{,}015$):

   $$\lvert x - 25 \rvert \le 0{,}015 \implies -0{,}015 \le x - 25 \le 0{,}015$$

   $$25 - 0{,}015 \le x \le 25 + 0{,}015 \implies 24{,}985 \le x \le 25{,}015$$

   Kabul aralığı: $[24{,}985 \ ; \ 25{,}015]\text{ metre}$.

3. c) Geri Dönüşüm (Hatalı Ürün) Aralığı ($f(x) > 0{,}015$):

   $$\lvert x - 25 \rvert > 0{,}015 \implies x - 25 < -0{,}015 \quad \text{veya} \quad x - 25 > 0{,}015$$

   $$x < 24{,}985 \quad \text{veya} \quad x > 25{,}015$$

   Uzunluk negatif olamayacağı için ($x > 0$) geri dönüşüme gönderilecek rayların uzunluk aralığı:

   $(0 \ ; \ 24{,}985) \cup (25{,}015 \ ; \ \infty)$

Kontrol: $x = 25{,}02\text{ m}$ için sapma $\lvert 25{,}02 - 25 \rvert = 0{,}02 > 0{,}015$ olup sağdaki ret aralığına düşmektedir.

Sonuç: a) $f(x) = \lvert x - 25 \rvert$, b) $[24{,}985 \ ; \ 25{,}015]$, c) $(0 \ ; \ 24{,}985) \cup (25{,}015 \ ; \ \infty)$

Örnek 4 [🟡 Orta - İşlemsel]: $x > \dfrac{5}{4}$ olmak üzere, alanı $(9x^2 - 12x + 4)\text{ cm}^2$ olan kare biçimindeki bir güneş hücresinin bir kenar uzunluğu $(4x - 5)\text{ cm}$'dir.  

Buna göre:

a) Güneş hücresinin bir kenar uzunluğunu bulmak için gerekli mutlak değerli denklemi kurunuz.

b) Denklemi parçalı gösterim yöntemiyle çözerek karenin bir kenar uzunluğunun kaç $\text{cm}$ olduğunu bulunuz.

Çözüm:

- Ne verilmiş? Karenin alanı $9x^2 - 12x + 4$ ve bir kenarı $4x - 5$ ($x > \dfrac{5}{4}$).

- Ne isteniyor? Mutlak değerli denklemin kurulması, parçalı çözümü ve karenin kenar uzunluğu.

- Hangi kural/yöntem? Alanı $A$ olan karenin bir kenarı $\sqrt{A}$'dır; tam kare özdeşliğinden $\sqrt{(3x - 2)^2} = \lvert 3x - 2 \rvert$ elde edilir ve $4x - 5$'e eşitlenir.

1. a) Mutlak Değerli Denklemin Kurulması:

   $9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2$ tam kare özdeşliğidir. Karenin bir kenar uzunluğu alanının kareköküne eşittir:

   $$\sqrt{9x^2 - 12x + 4} = \sqrt{(3x - 2)^2} = \lvert 3x - 2 \rvert\text{ cm}$$

   Soruda bir kenar uzunluğu $(4x - 5)\text{ cm}$ olarak verildiğine göre:

   $$\lvert 3x - 2 \rvert = 4x - 5$$

2. b) Parçalı Çözüm ve Kök Kontrolü:

   Kritik nokta $3x - 2 = 0 \implies x = \dfrac{2}{3}$'tür.

   - 1. Durum ($x < \dfrac{2}{3}$ için):

     $$-(3x - 2) = 4x - 5 \implies -3x + 2 = 4x - 5 \implies 7x = 7 \implies x = 1$$

     Kontrol: Bulunan $x = 1$ değeri, içinde çözüldüğü $x < \dfrac{2}{3}$ koşulunu (ve sorudaki $x > \dfrac{5}{4} = 1{,}25$ koşulunu) sağlamaz! ($x = 1$ için sağ taraf $4(1) - 5 = -1 < 0$ olur). Dolayısıyla $x = 1$ yabancı köktür, alınmaz.

   - 2. Durum ($x \ge \dfrac{2}{3}$ için):

     $$3x - 2 = 4x - 5 \implies x = 3$$

     Kontrol: $x = 3$ değeri hem $x \ge \dfrac{2}{3}$ hem de $x > \dfrac{5}{4}$ koşulunu sağlar ✅.

3. Karenin Kenar Uzunluğu:

   $x = 3$ değerini kenar uzunluğunda yerine yazalım:

   $$4x - 5 = 4(3) - 5 = 12 - 5 = 7\text{ cm}$$

Kontrol: $x = 3$ için karenin alanı $9(3)^2 - 12(3) + 4 = 81 - 36 + 4 = 49\text{ cm}^2$ ve bir kenarı $\sqrt{49} = 7\text{ cm}$ olarak tam doğrulanır.

Sonuç: a) $\lvert 3x - 2 \rvert = 4x - 5$, b) $x = 3$ için karenin bir kenarı $7\text{ cm}$'dir.

Örnek 5 [🔴 İleri - Yorum ve Analiz]: Gerçek sayılarda tanımlı

$$f(x) = \lvert 2x - 4 \rvert \qquad \text{ve} \qquad g(x) = x + 1$$

fonksiyonları veriliyor. Buna göre:

a) $f(x) = g(x)$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

b) $f(x) < g(x)$ eşitsizliğinin çözüm aralığını hem cebirsel olarak (parçalı incelemeyle) hem de iki fonksiyonun grafiklerini karşılaştırarak belirleyiniz.

Çözüm:

- Ne verilmiş? $f(x) = \lvert 2x - 4 \rvert$ mutlak değer fonksiyonu ve $g(x) = x + 1$ doğrusal fonksiyonu.

- Ne isteniyor? $f(x) = g(x)$ kökleri ve $f(x) < g(x)$ eşitsizliğinin çözüm aralığı.

- Hangi kural/yöntem? Kritik nokta $2x - 4 = 0 \implies x = 2$'ye göre $(-\infty, 2)$ ve $[2, \infty)$ aralıklarında parçalı çözüm yapılır.

1. a) $f(x) = g(x) \iff \lvert 2x - 4 \rvert = x + 1$ Denkleminin Çözümü:

   - $x < 2$ için: $-2x + 4 = x + 1 \implies 3x = 3 \implies x = 1$. ($1 < 2$ şartını sağlar ✅, kesişim noktası: $A(1, 2)$).

   - $x \ge 2$ için: $2x - 4 = x + 1 \implies x = 5$. ($5 \ge 2$ şartını sağlar ✅, kesişim noktası: $B(5, 6)$).

   Denklemin çözüm kümesi $\{1, 5\}$'tir.

2. b) $f(x) < g(x) \iff \lvert 2x - 4 \rvert < x + 1$ Eşitsizliğinin Çözümü:

   - 1. Aralık ($x < 2$):

     $$-2x + 4 < x + 1 \implies 3 < 3x \implies x > 1$$

     $x < 2$ koşuluyla kesiştirirsek: $1 < x < 2 \implies (1, 2)$.

   - 2. Aralık ($x \ge 2$):

     $$2x - 4 < x + 1 \implies x < 5$$

     $x \ge 2$ koşuluyla kesiştirirsek: $2 \le x < 5 \implies [2, 5)$.

   - İki alt aralığın birleşimi: $(1, 2) \cup [2, 5) = \mathbf{(1, 5)}$.

3. Grafiksel Yorum:

   $y = \lvert 2x - 4 \rvert$ ("V" grafiği) ile $y = x + 1$ doğrusu $x = 1$ ve $x = 5$ apsisli noktalarda kesişir. $1$ ile $5$ arasında "V" grafiğinin tepe çukuru $(2, 0)$, $y = x + 1$ doğrusunun altında kalmaktadır. Dolayısıyla $f(x) < g(x)$ şartını sağlayan bölge $(1, 5)$ açık aralığıdır.

Kontrol: $x = 2 \in (1, 5)$ için $f(2) = 0 < g(2) = 3$ (sağlar ✅); $x = 0 \notin (1, 5)$ için $f(0) = 4 \nless g(0) = 1$ (sağlamaz).

Sonuç: a) $\{1, 5\}$, b) $(1, 5)$ açık aralığı

Örnek 6 [🔴 İleri - Yeni Nesil]: Bir otonom kargo dronu, ana üsten ($A$) havalanarak $3{,}6\text{ km}$ uzaklıktaki teslimat noktasına ($B$) sabit hızla $12\text{ dakikada}$ uçmuş ve paketi bıraktıktan sonra beklemeden aynı sabit hızla aynı doğrusal rotadan ana üsse geri dönmüştür. Teslimat noktasının ($B$) merkezinde bulunduğu $900\text{ metre}$ ($0{,}9\text{ km}$) yarıçaplı dairesel bölge "Yüksek Frekanslı Radar Alanı" olarak tanımlanmıştır.

Dronun ana üsten havalandığı andan itibaren geçen süre $t\text{ dakika}$ ($0 \le t \le 24$) olmak üzere:

a) Dronun teslimat noktasına ($B$) olan uzaklığını ($\text{km}$) zamana bağlı veren $U(t)$ mutlak değer fonksiyonunu yazınız.

b) Dronun Radar Alanı içinde ($\le 0{,}9\text{ km}$) bulunduğu zaman aralığını mutlak değerli eşitsizlik kurarak bulunuz ve dronun bu alanda toplam kaç dakika kaldığını hesaplayınız.

Çözüm:

- Ne verilmiş? $A-B$ mesafesi $3{,}6\text{ km}$, gidiş süresi $12\text{ dk}$ (toplam uçuş $24\text{ dk}$) ve $B$ merkezli radar yarıçapı $r = 900\text{ m} = 0{,}9\text{ km}$.

- Ne isteniyor? $B$'ye uzaklık fonksiyonu $U(t)$, $U(t) \le 0{,}9$ eşitsizliğinin çözüm aralığı ve toplam süre.

- Hangi kural/yöntem? Hız $v = \dfrac{3{,}6}{12} = 0{,}3\text{ km/dk}$'dır. $t = 12$'de $B$'ye varıldığı için $U(t) = \lvert 0{,}3t - 3{,}6 \rvert$ modeli kurulur.

1. a) Dronun Hızı ve $U(t)$ Uzaklık Fonksiyonu:

   Dron $12\text{ dakikada}$ $3{,}6\text{ km}$ uçtuğuna göre dakikadaki hızı:

   $$v = \frac{3{,}6}{12} = 0{,}3\text{ km/dk}$$

   $t = 12.$ dakikada $B$ noktasında ($U(12) = 0$) olduğundan $B$'ye olan uzaklığı:

   $$U: [0, 24] \to [0, \ 3{,}6], \qquad U(t) = \lvert 0{,}3t - 3{,}6 \rvert$$

2. b) Radar Alanı İçinde Bulunduğu Zaman Aralığı ($U(t) \le 0{,}9\text{ km}$):

   $$\lvert 0{,}3t - 3{,}6 \rvert \le 0{,}9$$

   Mutlak değerli eşitsizliği açalım:

   $$-0{,}9 \le 0{,}3t - 3{,}6 \le 0{,}9$$

   Her tarafa $3{,}6$ ekleyelim:

   $$2{,}7 \le 0{,}3t \le 4{,}5$$

   Her tarafı pozitif $0{,}3$ sayısına bölelim:

   $$\frac{2{,}7}{0{,}3} \le t \le \frac{4{,}5}{0{,}3} \implies 9 \le t \le 15$$

3. Radar Alanında Kalma Süresi:

   Dron $9.$ dakikada radar alanına girer, $12.$ dakikada paketi bırakır ve $15.$ dakikada radar alanından çıkar.

   $$\text{Toplam Süre} = 15 - 9 = 6\text{ dakika}$$

Kontrol: Dronun hızı $0{,}3\text{ km/dk} = 300\text{ m/dk}$'dır. $900\text{ m}$ giriş + $900\text{ m}$ çıkış $= 1800\text{ m}$ radar içi yol demektir; $\dfrac{1800\text{ m}}{300\text{ m/dk}} = 6\text{ dakika}$ ile sonuç bağımsız yoldan doğrulanır.

Sonuç: a) $U(t) = \lvert 0{,}3t - 3{,}6 \rvert$, b) $[9, 15]$ dakika aralığında toplam $6\text{ dakika}$

 ⚠️Sık Yapılan Hatalar ve Uyarılar

- 🔴 $\lvert f(x) \rvert = g(x)$ Denkleminde Yabancı Kökü Elememek: Bulunan kökleri sağ taraftaki $g(x)$ ifadesinde yerine koyup $g(x) \ge 0$ olup olmadığını kontrol etmemek en yaygın sınav hatasıdır. ❌ Sağ tarafı negatif yapan kökler çözüm kümesine asla dahil edilmemelidir (✅ Yalnızca $g(x) \ge 0$ yapan kökler alınır).

- 🔴 Eşitsizlikte Negatif Katsayıya Bölerken Yön Değiştirmeyi Unutmak: $-4x + 12 < 0 \implies -4x < -12$ adımından sonra her iki tarafı $-4$'e bölerken ❌ $x < 3$ yerine ✅ $x > 3$ yapılmalıdır.

- 🔴 Negatif Sayıdan Küçük Mutlak Değer Eşitsizliğini Çözmeye Çalışmak: $\lvert 2x - 5 \rvert \le -3$ eşitsizliğini ❌ $3 \le 2x - 5 \le -3$ diye açmaya çalışmak yanlıştır. Mutlak değer negatif olamayacağı için işlem yapmadan doğrudan ✅ $\text{ÇK} = \emptyset$ denmelidir.

- 🟡 Karekök İçindeki Tam Kareyi Mutlak Değersiz Çıkarmak: $\sqrt{(2x - 6)^2} = x + 1$ denkleminde kareyle karekökü sadeleştirip doğrudan $2x - 6 = x + 1$ yazmak kök kaybına veya hatalı köke yol açar. Çift dereceli kökten ifade daima mutlak değerle ($\lvert 2x - 6 \rvert = x + 1$) çıkarılmalıdır.

- 🟡 Gerçek Yaşam Problemlerinde Tanım Kümesi Sınırını İhmal Etmek: Süre ($t \ge 0$), uzunluk ($x > 0$) veya ürün adedi ($n \in \mathbb{N}$) içeren bir eşitsizlikte cebirsel çözüm $(-\infty, 8)$ çıksa bile, gerçek yaşam kısıtı nedeniyle çözüm aralığı $[0, 8)$ olarak sınırlandırılmalıdır.