Dik Üçgen: Pisagor ve Öklid Teoremleri

3.3. Dik Üçgen: Pisagor ve Öklid Teoremleri

 🎯 Kazanımlar

1. Dik Üçgenin Tanımı ve Temel Elemanları: Bir dik üçgende $90^\circ$'lik açıyı oluşturan dik kenarlar ile $90^\circ$'nin karşısındaki en uzun kenar olan hipotenüs kavramlarını doğru ayırt edebileceksin.

2. Pisagor Bağıntısı ve Uzunluk Hesabı: Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu ($a^2 = b^2 + c^2$) kavrayıp kenar uzunluklarını Pisagor teoremi ile hesaplayabileceksin.

3. Kenarlarına ve Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler: $3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, k-2k-k\sqrt{5}$ kalıpları ile $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ ve $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ üçgenlerinin kenar oranlarını tanıyarak soruları işlem yapmadan pratik yoldan çözebileceksin.

4. Öklid (Dikten Dik İnme) Teoremleri: Bir dik üçgende $90^\circ$'lik köşeden hipotenüse dik inildiğinde devreye giren Yükseklik ($h^2 = p \cdot k$), Yanal Kenar ($c^2 = p \cdot a$, $b^2 = k \cdot a$) ve Alan ($a \cdot h = b \cdot c$) bağıntılarını kurgulayabileceksin.

5. Ortak Kenarlı ve Basamaklı Dik Üçgen Zincirleri: Sırt sırta, uç uca veya iç içe verilmiş dik üçgenlerde Pisagor ve Öklid bağıntılarını basamaklı olarak birbirine bağlayıp bilinmeyen kenar ve yükseklikleri bulabileceksin.

📖 Konu Anlatımı

 1. Dik Üçgenin Tanımı ve Temel Elemanları

İç açılarından biri $90^\circ$ (dik açı) olan üçgene dik üçgen denir.

Dik Kenarlar: Birbirine dik olan, yani aralarında $90^\circ$'lik açı bulunan iki kenara dik kenar denir.

 Hipotenüs: $90^\circ$'lik dik açının tam karşısında bulunan kenara Hipotenüs denir.

 En Uzun Kenar Özelliği: Bir dik üçgende en büyük iç açı $90^\circ$ olduğundan (diğer iki dar açının toplamı $90^\circ$'dir), hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır.

 Duruş / Konum: Dik üçgenin duruşu nasıl olursa olsun (dik açı solda, sağda veya tepe noktasında olsa bile), $90^\circ$'nin karşısındaki kenar her zaman hipotenüstür.

 💡 ÖSYM Taktiği: Şekil ne kadar döndürülürse döndürülsün dik kenarları ve hipotenüsü asla karıştırmayın. İlk adımınız daima $90^\circ$'lik köşe sembolünün karşısındaki kenarı "Hipotenüs" olarak belirlemek olsun.

 2. Pisagor Bağıntısı (Pisagor Teoremi)

Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Bu evrensel bağıntıya Pisagor Teoremi denir.

 Görseldeki $ABC$ dik üçgeninde tepe açısı $m(\widehat{A}) = 90^\circ$, dik kenarlar $b$ ve $c$, hipotenüs ise $a$'dır:

  $$a^2 = b^2 + c^2$$

 Dik Kenarlardan Birini Bulma: Hipotenüs ve dik kenarlardan biri bilindiğinde, diğer dik kenar çıkarma yoluyla hesaplanır:

  $$b^2 = a^2 - c^2 \quad \text{veya} \quad c^2 = a^2 - b^2$$

 💡 Önemli Hatırlatma: Pisagor teoreminde eşitliğin tek başına duran tarafına daima hipotenüsün karesi yazılır. Dik kenarları $3$ ve $5$ olan bir üçgende hipotenüs kesinlikle $4$ olamaz; hipotenüs $\sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$ olur!

 3. Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ve Katları

Geometri sorularında sıkça karşılaşılan, kenar uzunlukları tam sayı veya özel oranlı olan dik üçgen kalıplarını tanımak, uzun Pisagor işlemlerinden kurtararak hız kazandırır.

1. $3k - 4k - 5k$ Üçgeni:

    Dik kenarlar $3k$ ve $4k$ iken hipotenüs $5k$'dir ($3^2 + 4^2 = 5^2 \implies 9 + 16 = 25$).

    En Sık Kullanılan Tam Katları:

      $k = 2 \implies 6 - 8 - 10$

      $k = 3 \implies 9 - 12 - 15$

      $k = 4 \implies 12 - 16 - 20$

      $k = 5 \implies 15 - 20 - 25$

2. $5k - 12k - 13k$ Üçgeni:

    Dik kenarlar $5k$ ve $12k$ iken hipotenüs $13k$'dir ($5^2 + 12^2 = 13^2 \implies 25 + 144 = 169$).

    En Sık Kullanılan Tam Katları:

      $k = 2 \implies 10 - 24 - 26$

      $k = 3 \implies 15 - 36 - 39$

3. $8k - 15k - 17k$ Üçgeni:

    Dik kenarlar $8k$ ve $15k$ iken hipotenüs $17k$'dir ($8^2 + 15^2 = 17^2 \implies 64 + 225 = 289$).

    En Sık Kullanılan Katı:

      $k = 2 \implies 16 - 30 - 34$

4. $7k - 24k - 25k$ Üçgeni:

    Dik kenarlar $7k$ ve $24k$ iken hipotenüs $25k$'dir ($7^2 + 24^2 = 25^2 \implies 49 + 576 = 625$).

    En Sık Kullanılan Katı:

      $k = 2 \implies 14 - 48 - 50$

5. $k - 2k - k\sqrt{5}$ Üçgeni (Biri Diğerinin 2 Katı Kuralı):

    Bir dik üçgende dik kenarlardan biri diğerinin tam 2 katı ise, hipotenüs küçük dik kenarın $\sqrt{5}$ katıdır.

    Örnekler:

      $3 - 6 \implies \text{Hipotenüs} = 3\sqrt{5}$

      $4 - 8 \implies \text{Hipotenüs} = 4\sqrt{5}$

      $5 - 10 \implies \text{Hipotenüs} = 5\sqrt{5}$

 💡 ÖSYM Taktiği: Büyük sayılar içeren sorularda doğrudan kare almak yerine sayıların ortak bölenini (EBOB) arayın. Örneğin dik kenarları $21$ ve $72$ olan bir üçgende ortak çarpan $3$'tür ($3 \times 7$ ve $3 \times 24$). Bu durumda üçgen $7-24-25$ üçgeninin $3$ katıdır ve hipotenüs doğrudan $3 \times 25 = 75$ olur.

 Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler ($30^\circ-60^\circ-90^\circ$ ve $45^\circ-45^\circ-90^\circ$)

Kenar uzunluklarının yanı sıra, dar açıları $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ olan özel dik üçgenlerin kenar oranlarını bilmek soruları Pisagor işlemine girmeden saniyeler içinde çözmenizi sağlar (Bkz. Konu başındaki özet infografik kart 2):

1. $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$ Dik Üçgeni:

    $30^\circ$'lik açının karşısındaki kenar $x$ ise;

    $90^\circ$'lik açının karşısındaki hipotenüs $2x$ (2 katı),

    $60^\circ$'lik açının karşısındaki kenar $x\sqrt{3}$ ($\sqrt{3}$ katı) olur:

     $$a_{30^\circ} = x \implies \text{Hipotenüs} = 2x, \quad a_{60^\circ} = x\sqrt{3}$$

2. $45^\circ - 45^\circ - 90^\circ$ İkizkenar Dik Üçgeni:

    Dik kenarlar birbirine eşittir ($x$ ve $x$).

    Hipotenüs, dik kenarların $\sqrt{2}$ katıdır:

     $$\text{Dik Kenarlar} = x \implies \text{Hipotenüs} = x\sqrt{2}$$

 💡 ÖSYM Taktiği (Geniş Açılı Üçgende Dıştan Dik İnme): Bir üçgende $120^\circ, 135^\circ$ veya $150^\circ$ gibi geniş açılar gördüğünüzde açıyı içeriden bölmeyin! Geniş açının kollarından birini dışarı doğru uzatıp karşı köşeden dikme indirdiğinizde; dışarıda $60^\circ, 45^\circ$ veya $30^\circ$'lik bir özel dik üçgen kendiliğinden ortaya çıkar.

 4. Öklid Bağıntıları (Dikten Dik İnme)

Bir dik üçgende, $90^\circ$'lik dik köşeden hipotenüse bir dikme ($h$) indirildiğinde Öklid Teoremleri devreye girer. Hipotenüse inen yükseklik hipotenüsü $p$ ve $k$ olmak üzere iki parçaya ayırır ($a = p + k$).

1. Yükseklik Bağıntısı (Hamburger Kuralı - $h^2 = p \cdot k$):

    Hipotenüse inen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir:

     $$h^2 = p \cdot k$$

2. Yanal Kenar Bağıntıları ($c^2 = p \cdot a$ ve $b^2 = k \cdot a$):

    Bir dik kenarın karesi, o dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşüm parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir:

     $$c^2 = p \cdot a = p \cdot (p + k)$$

     $$b^2 = k \cdot a = k \cdot (p + k)$$

3. Öklid Alan Bağıntısı ($a \cdot h = b \cdot c$):

    Bir dik üçgenin alanı iki farklı şekilde yazılabilir: $\frac{a \cdot h}{2} = \frac{b \cdot c}{2}$. Bu eşitlik sadeleştirildiğinde:

     $$a \cdot h = b \cdot c$$

    Yani: $\text{Hipotenüs} \times \text{Yükseklik} = \text{Dik Kenar} \times \text{Dik Kenar}$.

4. Ters Kareler Bağıntısı:

    Dik kenarlar ile hipotenüse inen yükseklik arasında şu harmonik ilişki geçerlidir:

     $$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$$

 💡 ÖSYM Taktiği: "Dikten dik iniyorsa orada kesinlikle Öklid vardır!" Soruda dik köşeden hipotenüse dikme indiğini gördüğünüz an, aranan değişkene göre şu stratejiyi izleyin:

• Taban parçaları verilip yükseklik soruluyorsa $\to h^2 = p \cdot k$
• Dik kenarlardan biri veya taban parçası soruluyorsa $\to c^2 = p \cdot a$
• Bütün kenarlar verilip yükseklik soruluyorsa $\to a \cdot h = b \cdot c$

 ✏️ Çözümlü Örnekler

 Örnek 1 (🟢 Temel Düzey - Özel Kenarlı Dik Üçgenler Zinciri)

 Verilenler:

   $ABC$ dik üçgeninde $m(\widehat{B}) = 90^\circ$, $|AB| = 9\text{ cm}$, $|BC| = 12\text{ cm}$.

   $ACD$ dik üçgeninde $m(\widehat{ACD}) = 90^\circ$, $|CD| = 8\text{ cm}$.

 Soru: $|AD| = x$ kaç cm'dir?

 Çözüm:

   1. Adım: $ABC$ dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanır ($3-4-5$ üçgeninin $3$ katı):

    $$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \implies |AC| = \mathbf{15}\text{ cm}$$

   2. Adım: $ACD$ dik üçgeninde hipotenüs $x$'tir ve dik kenarlar $|AC| = 15\text{ cm}$, $|CD| = 8\text{ cm}$'dir:

    $$x^2 = |AC|^2 + |CD|^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$$

   3. Adım: $289 = 17^2$ olduğundan ($8-15-17$ özel dik üçgeni):

    $$x = \sqrt{289} = \mathbf{17}\text{ cm}$$

  💡 ÖSYM Taktiği: İki dik üçgenin sırt sırta veya uç uca bağlandığı sorularda ortak kenarı tespit edip özel üçgen kalıplarını ($3-4-5 \to 8-15-17$) doğrudan işletin.

 Cevap: $17$

 Örnek 2 (🟢 Temel Düzey - $45^\circ$ ve $30^\circ$ Çift Açılı Üçgen Çözümü)

 Verilenler:

   $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{B}) = 45^\circ$ ve $m(\widehat{C}) = 30^\circ$.

   $|AB| = 6\sqrt{2}\text{ cm}$.

 Soru: $|AC| = x$ kaç cm'dir?

 Çözüm:

   1. Adım: $A$ köşesinden $[BC]$ tabanına bir dikme $[AH] \perp [BC]$ indirelim. Böylece iki adet özel dik üçgen elde edilir.

   2. Adım: Sol taraftaki $ABH$ üçgeni bir $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ ikizkenar dik üçgenidir:

    $$\text{Hipotenüs} = |AB| = 6\sqrt{2}\text{ cm} \implies |AH| = |BH| = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \mathbf{6}\text{ cm}$$

   3. Adım: Sağ taraftaki $AHC$ üçgeni bir $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ dik üçgenidir:

    $$30^\circ\text{'nin karşısı } |AH| = 6\text{ cm'dir.}$$

   4. Adım: $30-60-90$ kuralına göre $90^\circ$'nin karşısındaki hipotenüs $30^\circ$'nin gördüğünün 2 katıdır:

    $$|AC| = x = 2 \times |AH| = 2 \times 6 = \mathbf{12}\text{ cm}$$

  💡 ÖSYM Taktiği: Bir üçgende $30^\circ, 45^\circ$ veya $60^\circ$ açılarından ikisini birden görüyorsanız, üçüncü köşeden dik inerek soruyu iki bağımsız özel dik üçgene ayırın.

 Cevap: $12$

 Örnek 3 (🟢 Temel Düzey - Öklid Yükseklik Bağıntısı ($h^2 = p \cdot k$))

 Verilenler:

   $ABC$ dik üçgeninde $m(\widehat{A}) = 90^\circ$.

   $[AH] \perp [BC]$ ($H \in [BC]$).

   $|BH| = 4\text{ cm}$, $|HC| = 9\text{ cm}$.

 Soru: Yükseklik $|AH| = h$ kaç cm'dir?

 Çözüm:

   1. Adım: Dik açıdan hipotenüse dik inildiğinde Öklid Yükseklik Teoremi geçerlidir:

    $$h^2 = |BH| \cdot |HC|$$

   2. Adım: Verilen değerleri yerine yazalım:

    $$h^2 = 4 \times 9 = 36$$

   3. Adım: Karekök alalım:

    $$h = \sqrt{36} = \mathbf{6}\text{ cm}$$

 > 💡 ÖSYM Taktiği: "Dikten dik iniyorsa Öklid vardır." Yüksekliğin karesi tabanda ayırdığı parçaların çarpımına eşittir ($h^2 = p \cdot k$).

 Cevap: $6$

 Örnek 4 (🟡 Orta Düzey - Öklid Yanal Kenar ve Alan Bağıntısı)

 Verilenler:

   $ABC$ dik üçgeninde $m(\widehat{A}) = 90^\circ$ ve $[AH] \perp [BC]$.

   Dik kenar $|AB| = 15\text{ cm}$, hipotenüs $|BC| = 25\text{ cm}$.

 Soru: Yükseklik $|AH| = h$ kaç cm'dir?

 Çözüm:

   1. Adım: Öklid Yanal Kenar Teoremine göre bir dik kenarın karesi, kendi tarafındaki taban parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir:

    $$|AB|^2 = |BH| \cdot |BC| \implies 15^2 = |BH| \times 25$$

    $$225 = 25 \cdot |BH| \implies |BH| = \frac{225}{25} = \mathbf{9}\text{ cm}$$

   2. Adım: Hipotenüs üzerindeki diğer parça:

    $$|HC| = |BC| - |BH| = 25 - 9 = \mathbf{16}\text{ cm}$$

   3. Adım: Yükseklik bağıntısı ($h^2 = p \cdot k$) ile:

    $$h^2 = 9 \times 16 = 144 \implies h = \sqrt{144} = \mathbf{12}\text{ cm}$$

   Alternatif Yol (Alan Kuralı): Büyük üçgen $15 - 20 - 25$ ($3-4-5$'in 5 katı) üçgenidir. $|AC| = 20\text{ cm}$ olur. $a \cdot h = b \cdot c \implies 25 \cdot h = 15 \times 20 = 300 \implies h = \mathbf{12}\text{ cm}$.

  💡 ÖSYM Taktiği: $15-20-25$ üçgeninde hipotenüse inen yükseklik her zaman $12$'dir ($9-12-15$ ve $12-16-20$ ayrışması). Bu kalıbı doğrudan ezberlemek sınavda 1 dakika kazandırır.

 Cevap: $12$

 Örnek 5 (🟡 Orta Düzey - Geniş Açılı Üçgende Dıştan Dik İnme)

 Verilenler:

   $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$.

   $|AB| = 3\sqrt{2}\text{ cm}$, $|BC| = 1\text{ cm}$.

 Soru: $|AC| = x$ kaç cm'dir?

 Çözüm:

   1. Adım: $135^\circ$'lik geniş açıyı içeriden bölmek yerine, $CB$ kenarını $B$ yönünde dışarı doğru uzatıp $A$'dan bu uzantıya $[AH] \perp [CH]$ dikmesi inelim.

   2. Adım: Dışarıda oluşan bütünler açı:

    $$m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$

   3. Adım: $AHB$ üçgeni bir $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ ikizkenar dik üçgenidir. Hipotenüs $|AB| = 3\sqrt{2}\text{ cm}$ olduğundan:

    $$|AH| = |BH| = \mathbf{3}\text{ cm}$$

   4. Adım: Şimdi büyük $AHC$ dik üçgenine bakalım ($m(\widehat{H}) = 90^\circ$):

     Düşey kenar: $|AH| = 3\text{ cm}$

     Yatay taban: $|HC| = |HB| + |BC| = 3 + 1 = \mathbf{4}\text{ cm}$

   5. Adım: $AHC$ dik üçgeninde Pisagor bağıntısı ($3-4-5$ özel dik üçgeni):

    $$x^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \implies x = \mathbf{5}\text{ cm}$$

 > 💡 ÖSYM Taktiği: $135^\circ$'lik açının komşusunda köklü kenar ($3\sqrt{2}$) varsa, dışarı inilen dikme kökten kurtularak tam sayı ($3$) üretir. Tabanla birleştiğinde $3-4-5$ üçgeni saniyeler içinde çözülür.

 Cevap: $5$

 Örnek 6 (🟡 Orta Düzey - Merdiven Tipi En Kısa Yol Problemi)

 Verilenler:

   $A$ noktasından $B$ noktasına basamaklı kırık bir hat çizilmiştir.

   Yatay parçaların uzunlukları $3\text{ birim}$ ve $5\text{ birim}$'dir.

   Düşey parçaların uzunlukları $2\text{ birim}$ ve $4\text{ birim}$'dir.

 Soru: $A$ ile $B$ noktaları arasındaki en kısa kuş uçuşu mesafe ($|AB| = x$) kaç birimdir?

 Çözüm:

   1. Adım: İki nokta arasındaki en kısa yol, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır. Kırık çizgileri dışarıdan bir $C$ köşesi ekleyerek büyük bir dikdörtgene tamamlayalım.

   2. Adım: Büyük dik üçgenin yatay dik kenarı, tüm yatay parçaların toplamına eşittir:

    $$\text{Yatay Kenar} = 3 + 5 = \mathbf{8}\text{ birim}$$

   3. Adım: Büyük dik üçgenin düşey dik kenarı, tüm düşey parçaların toplamına eşittir:

    $$\text{Düşey Kenar} = 2 + 4 = \mathbf{6}\text{ birim}$$

   4. Adım: Oluşan $ACB$ dik üçgeninde ($6-8-10$ özel üçgeni) Pisagor Teoremi uygulanır:

    $$x^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \implies x = \sqrt{100} = \mathbf{10}\text{ birim}$$

 💡 ÖSYM Taktiği: Merdiven, zikzak veya kutu yüzeyinde yürüyen karınca sorularında parçaları tek tek hesaplamayın. Yatayları kendi arasında, düşeyleri kendi arasında toplayıp dev bir Pisagor kurun.

 Cevap: $10$

 Örnek 7 (🔴 İleri Düzey - İç İçe Çift Öklid Teoremi)

 Verilenler:

   $ABC$ dik üçgeninde $m(\widehat{A}) = 90^\circ$ ve $[AH] \perp [BC]$'dir.

   $AHC$ dik üçgeninde $[HD] \perp [AC]$'dir ($D \in [AC]$).

   $|AD| = 4\text{ cm}$, $|DC| = 16\text{ cm}$.

 Soru: $|HD| = x$ kaç cm'dir?

 Çözüm:

   1. Adım: $AHC$ üçgenini inceleyelim. $A$ köşesinden inen $[AH]$ doğrusu $BC$'ye dik olduğundan $m(\widehat{AHC}) = 90^\circ$'dir (yani $AHC$ bir dik üçgendir).

   2. Adım: Bu dik üçgenin $H$ dik köşesinden karşıdaki $[AC]$ kenarına $[HD]$ dikmesi inilmiştir (Dikten dik inme = Öklid).

   3. Adım: $AHC$ dik üçgeninde Öklid Yükseklik Teoremini uygulayalım:

    $$|HD|^2 = |AD| \cdot |DC|$$

   4. Adım: Verilen değerleri yerine yazalım:

    $$x^2 = 4 \times 16 = 64$$

   5. Adım: Karekök aldığımızda:

    $$x = \sqrt{64} = \mathbf{8}\text{ cm}$$

 > 💡 ÖSYM Taktiği: İç içe dikliklerde her dik üçgeni kendi içinde bağımsız bir Öklid alanı olarak görün. Burada $AHC$ üçgeninin $H$ köşesindeki dikliği görmek soruyu tek adımda çözer.

 Cevap: $8$

 Örnek 8 (🔴 İleri Düzey / Yeni Nesil - Duvardan Kayan Merdiven Modellemesi)

 Verilenler:

   Uzunluğu $10\text{ m}$ olan bir merdiven, zeminle $90^\circ$ açı yapan düşey bir duvara yaslanmıştır.

   Başlangıçta merdivenin alt ucu ($A_1$) duvardan $6\text{ m}$ uzaklıkta, üst ucu ($B_1$) ise duvarda $8\text{ m}$ yüksekliktedir ($6-8-10$ dik üçgeni).

   Merdivenin alt ucu zemin üzerinde duvardan $2\text{ m}$ daha sağa doğru kaydırılarak $A_2$ konumuna getiriliyor.

 Soru: Merdivenin üst ucu duvarda kaç metre aşağı kaymıştır ($x$)?

 Çözüm:

   1. Adım: Merdivenin alt ucu $2\text{ m}$ kaydırıldığında, yeni konumda duvara olan uzaklığı:

    $$|OA_2| = 6 + 2 = \mathbf{8}\text{ m}$$

   2. Adım: Merdivenin boyu kayma esnasında değişmez; dolayısıyla hipotenüs daima $10\text{ m}$'dir.

   3. Adım: İkinci durumdaki $OA_2B_2$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi ($6-8-10$ üçgeni) uygulanır:

    $$|OB_2|^2 + |OA_2|^2 = 10^2 \implies |OB_2|^2 + 8^2 = 100$$

    $$|OB_2|^2 = 100 - 64 = 36 \implies |OB_2| = \mathbf{6}\text{ m}$$

   4. Adım: Merdivenin üst ucunun duvarda aşağı doğru kayma miktarı ($x$):

    $$x = |OB_1| - |OB_2| = 8 - 6 = \mathbf{2}\text{ m}$$

  💡 ÖSYM Taktiği: Kayan merdiven veya kapı açılma sorularında değişmeyen tek şey çubuğun/merdivenin kendi boyudur (hipotenüs sabit). Bir dik kenar $6$'dan $8$'e çıkıyorsa, diğeri simetrik olarak $8$'den $6$'ya düşer!

 Cevap: $2$

 ⚠️ Sık Yapılan Hatalar

 🔴 Özel Dik Üçgen Sayılarında Hipotenüs Kontrolü Yapmamak:

  Öğrencilerin en çok düştüğü tuzak; dik kenarları $3$ ve $5$ olan bir üçgende hipotenüse otomatikman $4$ yazmaktır. $3-4-5$ üçgeninde $5$ kesinlikle hipotenüs ($90^\circ$ karşısı) olmak zorundadır! Dik kenarlar $3$ ve $5$ ise hipotenüs $\sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$ olur.

 🔴 Öklid Teoremini Dik Olmayan Köşeden Çizilen Çizgiye Uygulamak:

  Öklid bağıntılarının ($h^2 = p \cdot k$) geçerli olabilmesi için yüksekliğin kesinlikle $90^\circ$'lik bir köşeden çıkması şarttır. Tepe açısı $90^\circ$ değilse Öklid uygulanamaz.

 🔴 Öklid Yanal Kenar Bağıntısında Hipotenüsün Tamamı Yerine Taban Parçasını Çarpmak:

  Öğrencilerin en sık yaptığı işlem hatası, $c^2 = p \cdot a$ formülü yerine yanlışlıkla taban parçalarını birbiriyle çarparak $c^2 = p \cdot k$ yazmaktır. Dik kenarın karesi, kendi izdüşüm parçası ile hipotenüsün tamamının ($a = p + k$) çarpımıdır; parçaların çarpımı ($p \cdot k$) ise yüksekliğin karesini ($h^2$) verir!

 🔴 Merdiven ve Çubuk Problemlerinde Hipotenüsün Sabitliğini Unutmak:

  Yeni nesil hareket veya kayma sorularında merdivenin boyunun değişmediği ($10\text{ m}$) gerçeği gözden kaçırıldığında denklem kurulamaz. Şekil değişse de hipotenüs sabittir.