Dar Açı Trigonometrisi ve Birim Çember

 3.7. Dar Açı Trigonometrisi ve Birim Çember

 🎯 Kazanımlar

1. $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ Özel Dik Üçgenleri: $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ ($ADC$) ve $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ ($ABC$) dik üçgenlerinden trigonometrik oranları ($\sin, \cos, \tan, \cot$) geometrik olarak çıkarabilecek ve değer tablosunu inşa edebileceksin.

2. Tümler Açılar Bağıntısı: Birbirini $90^\circ$'ye tamamlayan açılarda $\sin(30^\circ) = \cos(60^\circ)$ ve $\tan(30^\circ) = \cot(60^\circ)$ eşitliklerini kavrayıp denklemlerde uygulayabileceksin.

3. Birim Çember ve Pisagor Bağıntısı: Merkezi orijin $O(0,0)$ ve yarıçapı $1$ birim olan çemberin denklemini ($x^2 + y^2 = 1$) koordinat dik üçgeninden modelleyebileceksin.

4. Bölgelere Göre İşaret Dağılımı: Analitik düzlemin 4 bölgesinde apsis ($x$), ordinat ($y$) ve trigonometrik fonksiyonların ($+ / -$) işaret dağılımını belirleyebileceksin.

5. Trigonometrik Eksenler: Birim çember üzerinde $x$ ekseninin kosinüs, $y$ ekseninin sinüs; $x = 1$ doğrusunun tanjant, $y = 1$ doğrusunun kotanjant ekseni olduğunu ve $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ özdeşliklerini uzamsal olarak kavrayacaksın.

 📖 Konu Anlatımı

 1. $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ Açılarının Trigonometrik Oranları

Bir dik üçgende dar açılardan birinin trigonometrik oranları, kenar uzunluklarının birbirine oranı ile tanımlanır:

$$\sin\alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}, \quad \cos\alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$$

$$\tan\alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}, \quad \cot\alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}}$$

ÖSYM sınavlarında en sık kullanılan açılar $30^\circ, 45^\circ$ ve $60^\circ$'dir. Bu oranlar iki temel dik üçgenden doğrudan elde edilir:

 A. $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$ Dik Üçgeni ($ADC$ Üçgeni)

Şekildeki $ADC$ dik üçgeninde $m(\widehat{D}) = 90^\circ$, $m(\widehat{A}) = 30^\circ$ ve $m(\widehat{C}) = 60^\circ$ olsun. Kenar uzunlukları:

$$|DC| = k, \quad |AD| = k\sqrt{3}, \quad |AC| = 2k$$

Bu üçgenden $30^\circ$ ve $60^\circ$'lik açıların trigonometrik değerleri ve tümler açı eşitlikleri okunur:

 $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{k}{2k} = \dfrac{1}{2}$

 $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{k\sqrt{3}}{2k} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

 $\tan 30^\circ = \cot 60^\circ = \dfrac{k}{k\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

 $\tan 60^\circ = \cot 30^\circ = \dfrac{k\sqrt{3}}{k} = \sqrt{3}$

 B. $45^\circ - 45^\circ - 90^\circ$ Dik Üçgeni ($ABC$ Üçgeni)

Şekildeki $ABC$ ikizkenar dik üçgeninde $m(\widehat{C}) = 90^\circ$, $m(\widehat{A}) = 45^\circ$ ve $m(\widehat{B}) = 45^\circ$ olsun. Kenar uzunlukları:

$$|BC| = k, \quad |AC| = k, \quad |AB| = k\sqrt{2}$$

Bu üçgenden $45^\circ$'lik açının trigonometrik oranları elde edilir:

 $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{k}{k\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

 $\tan 45^\circ = \cot 45^\circ = \dfrac{k}{k} = 1$

 $\sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

 C. Özel Açıların Değer Tablosu

D. Tümler Açılar Kuralı ($x + y = 90^\circ$)

Birbirini $90^\circ$'ye tamamlayan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir:

$$\sin(x) = \cos(90^\circ - x) = \cos(y)$$

$$\tan(x) = \cot(90^\circ - x) = \cot(y)$$

Örnekler: $\sin 20^\circ = \cos 70^\circ$, $\tan 15^\circ = \cot 75^\circ$, $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

 2. Birim Çember ve Trigonometrik Eksenler

 A. Birim Çember Tanımı ve Pisagor Bağıntısı

Merkezi başlangıç noktası (orijin $O(0,0)$) ve yarıçap uzunluğu $1$ birim olan çembere Birim Çember denir.

 Eksen Kesişim Noktaları: $A(1, 0)$, $B(0, 1)$, $C(-1, 0)$, $D(0, -1)$

Birim çember üzerindeki herhangi bir $K(x, y)$ noktası için koordinat eksenlerine inilen dikme ile $\widehat{KOT}$ dik üçgeni oluşturulursa Pisagor teoreminden çemberin denklemi elde edilir:

$$x^2 + y^2 = 1$$

Şekil 2: Merkezi orijin $O(0,0)$ ve yarıçapı $1$ birim olan birim çemberin Pisagor modeli ($x^2 + y^2 = 1$) ile koordinat düzleminin 4 bölgesindeki $(x, y)$ işaret dağılımı.

 B. Bölgelere Göre Koordinat ve Fonksiyon İşaretleri

Birim çember üzerindeki $K(x, y)$ noktasının bulunduğu bölgeye göre koordinatların ve trigonometrik fonksiyonların işaret dağılımı aşağıdaki gibidir:

 C. Sinüs ve Kosinüs Eksenleri

Başlangıç kolu pozitif $x$ ekseni olan ve pozitif yönde açılan $\alpha$ açısının bitim kolunun birim çemberi kestiği nokta $K(x, y)$ olsun:

Şekil 3: Birim çember üzerinde $\alpha$ açısının bitim kolundaki $K(\cos\alpha, \sin\alpha)$ noktası, kosinüs ($x$) ve sinüs ($y$) eksenleri ile $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ özdeşliği.

 Kosinüs Ekseni ($x$ ekseni): $K$ noktasının apsisi açının kosinüsüdür:

  $$x = \cos\alpha$$

 Sinüs Ekseni ($y$ ekseni): $K$ noktasının ordinatı açının sinüsüdür:

  $$y = \sin\alpha$$

 Temel Trigonometrik Özdeşlik ($\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$):

  $\widehat{KOT}$ dik üçgeninde Pisagor teoreminden:

  $$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$$

 Değer Sınırları: Sinüs ve kosinüs birim çemberin yarıçap sınırlarını aşamaz:

  $$-1 \le \cos\alpha \le 1 \quad \text{ve} \quad -1 \le \sin\alpha \le 1$$

 D. Tanjant ve Kotanjant Eksenleri

Şekil 4: $x = 1$ düşey tanjant ekseni ($p = \tan\alpha$), $y = 1$ yatay kotanjant ekseni ($r = \cot\alpha$) ve $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ çarpım bağıntısı.

 Tanjant Ekseni ($x = 1$ Doğrusu): Çembere $A(1,0)$ noktasında teğet olan düşey doğrudur. $\alpha$ açısının bitim kolunun bu ekseni kestiği $N(1, p)$ noktasının ordinatı tanjant değeridir:

  $$p = \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

 Kotanjant Ekseni ($y = 1$ Doğrusu): Çembere $B(0,1)$ noktasında teğet olan yatay doğrudur. $\alpha$ açısının bitim kolunun bu ekseni kestiği $R(r, 1)$ noktasının apsisi kotanjant değeridir:

  $$r = \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

 Çarpım Bağıntısı:

  $$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 \implies \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$$

 💡 ÖSYM Geometri & Trigonometri Sentezi:

  Bir geometrik problemde dar açının trigonometrik değeri verildiğinde veya sorulduğunda tepe noktasından tabana bir dikme indirilerek soru sırt sırta vermiş iki dik üçgene parçalanır.

  Birim çember üzerindeki her noktanın $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ olduğu ve $x^2 + y^2 = 1 \iff \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ özdeşliği ÖSYM'nin hem analitik hem trigonometri sorularındaki vazgeçilmez temelidir.

✏️ Çözümlü Örnekler (8 Seçkin ÖSYM Sorusu)

 Örnek 1 (🟢 Temel Düzey - Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Pisagor)

Verilenler:

 $ABC$ bir dik üçgendir ($[AB] \perp [BC]$).

 $m(\widehat{ACB}) = \alpha$

 $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$

Soru:

Buna göre, $\tan\alpha + \cos\alpha$ toplamının değeri kaçtır?

Çözüm:

1. Adım: Sinüs oranı karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır:

   $$\sin\alpha = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{5}{13}$$

   Buradan dik kenar $|AB| = 5k$, hipotenüs $|AC| = 13k$ alınabilir (hesap kolaylığı için $k = 1$ alınır).

2. Adım: $\triangle ABC$ dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak komşu dik kenar bulunur ($5-12-13$ özel üçgeni):

   $$|BC|^2 + 5^2 = 13^2 \implies |BC|^2 = 169 - 25 = 144 \implies |BC| = 12$$

3. Adım: İstenen trigonometrik oranlar üçgenden okunur:

   $$\tan\alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} = \frac{5}{12}$$

   $$\cos\alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{12}{13}$$

4. Adım: Toplam hesaplanır (paydalar $156$'da eşitlenir):

   $$\tan\alpha + \cos\alpha = \frac{5}{12} + \frac{12}{13} = \frac{5 \cdot 13 + 12 \cdot 12}{156} = \frac{65 + 144}{156} = \frac{209}{156}$$

 💡 ÖSYM Taktiği: Trigonometrik bir oran verildiğinde hemen taslak bir dik üçgen çiz, verilen oranı kenarlara yerleştir ve Pisagor bağıntısı ile eksik kenarı bularak sorulan diğer tüm oranları oku.

Cevap: $\dfrac{209}{156}$

Örnek 2 (🟡 Orta Düzey - Çift Dik Üçgende Kademeli Kenar Bulma & Özel Açı Tespiti)

Verilenler:

 Şekildeki $ABCD$ dörtgeninde:

 $[AB] \perp [BC]$ ($m(\widehat{B}) = 90^\circ$)

 $[AD] \perp [DC]$ ($m(\widehat{D}) = 90^\circ$)

 $|AB| = \sqrt{7}\text{ cm}$

 $|BC| = 3\text{ cm}$

 $|AD| = 2\text{ cm}$

Soru:

Buna göre, $m(\widehat{ACD}) = \alpha$ açısı kaç derecedir?

Çözüm:

1. Adım (Köşegenle Köprü Kurma): Ortak hipotenüs konumunda olan $[AC]$ köşegeni çizilir (şekilde kesikli çizgiyle gösterilmiştir).

2. Adım (Pisagor ile Ara Uzunluğun Bulunması): $\triangle ABC$ dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak hipotenüs $|AC|$ bulunur:

   $$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2$$

   $$|AC|^2 = (\sqrt{7})^2 + 3^2 = 7 + 9 = 16 \implies |AC| = \sqrt{16} = \mathbf{4\text{ cm}}$$

3. Adım (Trigonometrik Oran Analizi): Diğer dik üçgen olan $\triangle ADC$'ye geçilir. Bu üçgende $m(\widehat{D}) = 90^\circ$ olup hipotenüs $|AC| = 4\text{ cm}$ ve $\alpha$ açısının karşı dik kenarı $|AD| = 2\text{ cm}$'dir:

   $$\sin\alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|AD|}{|AC|} = \frac{2}{4} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$

4. Adım (Özel Açı Değerini Hatırlama): $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ oran tablosundan bildiğimiz üzere, dar açılarda sinüs değeri $\dfrac{1}{2}$ olan açı $30^\circ$'dir:

   $$\sin\alpha = \frac{1}{2} \implies \mathbf{\alpha = 30^\circ}$$

   (Böylece $\triangle ADC$'nin bir $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ özel üçgeni olduğu ve $|DC| = 2\sqrt{3}\text{ cm}$ olduğu da görülür).

 💡 ÖSYM Taktiği: ÖSYM, açı sorularında hipotenüsün dik kenarın 2 katı olduğunu ($1 : 2$ oranı) doğrudan vermez; hipotenüsü önce başka bir dik üçgenden Pisagor ile buldurur. Karşı kenar / Hipotenüs $= \frac{1}{2}$ çıktığı an o açının $30^\circ$ olduğunu teşhis et!

Cevap: $30^\circ$

Örnek 3 (🔴 İleri Düzey - Kademeli Dik Üçgende Kenar-Açı Sentezi ve İkizkenarlık)

Verilenler:

 $ABC$ bir dik üçgendir ($[AB] \perp [BC]$).

 $D \in [BC]$ olmak üzere:

 $|AB| = 3\sqrt{3}\text{ cm}$

 $|BD| = 3\text{ cm}$

 $|DC| = 6\text{ cm}$

Soru:

Buna göre, $m(\widehat{DAC}) = \alpha$ açısı kaç derecedir?

Çözüm:

1. Adım (Küçük Dik Üçgende Trigonometrik Oran ve Hipotenüs):

   $\triangle ABD$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BD]$ olup dik kenarlar $|AB| = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ ve $|BD| = 3\text{ cm}$'dir:

   $$\tan(\widehat{ADB}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$

   Tanjantı $\sqrt{3}$ olan dar açı $60^\circ$'dir. Dolayısıyla:

   $$m(\widehat{ADB}) = 60^\circ, \quad m(\widehat{BAD}) = 30^\circ$$

   Pisagor bağıntısından veya $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ özelliğinden:

   $$|AD| = 2 \cdot |BD| = 2 \cdot 3 = \mathbf{6\text{ cm}}$$

2. Adım (Büyük Dik Üçgende Trigonometrik Oran):

   Büyük $\triangle ABC$ dik üçgenine bakalım. Toplam taban uzunluğu:

   $$|BC| = |BD| + |DC| = 3 + 6 = 9\text{ cm}$$

   $C$ köşesindeki açının tanjant oranı:

   $$\tan(\widehat{C}) = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Tanjantı $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ olan açı $30^\circ$'dir:

   $$m(\widehat{C}) = \mathbf{30^\circ}$$

3. Adım (İkizkenar Üçgeni Keşfetme ve $\alpha$ Açısını Bulma):

   $\triangle ADC$ üçgenine dikkat edilirse:

    1. Adımda bulduğumuz: $|AD| = 6\text{ cm}$

    Soruda verilen: $|DC| = 6\text{ cm}$

   Dolayısıyla $\triangle ADC$ bir ikizkenar üçgendir ($|AD| = |DC|$).

   İkizkenar üçgende taban açıları eşittir:

   $$m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{C}) \implies \mathbf{\alpha = 30^\circ}$$

   (Sağlama: $\triangle ABD$'de $m(\widehat{BAD})=30^\circ$ idi; büyük üçgende $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ olduğundan $\alpha = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$ olarak da doğrulanır).

 💡 ÖSYM Taktiği: Parçalı kenar sorularında hem içteki dik üçgende hem de en büyük dik üçgende $\tan$ oranlarını ($\sqrt{3}$ ve $\frac{\sqrt{3}}{3}$) yazarak $30^\circ$ ve $60^\circ$'yi bulun. Bulduğunuz hipotenüs uzunluğunun dıştaki kenara eşitliğiyle gizli ikizkenar üçgeni yakalayın!

Cevap: $30^\circ$

 Örnek 4 (🟡 Orta Düzey - Birim Çember Denklemi Analitiği)

Verilenler:

$$(a+4)x^2 + (3b+6)xy + (c-5)y^2 = 3$$

denklemi analitik düzlemde bir birim çember belirtmektedir.

Soru:

Buna göre, $\dfrac{a-b}{c}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

1. Adım: Merkezi orijin $(0,0)$ ve yarıçapı $r=1$ birim olan standart birim çember denklemi:

   $$x^2 + y^2 = 1$$

2. Adım: Bize verilen denklemde eşitliğin sağ tarafı $3$'tür. Her iki taraf $3$'e bölündüğünde:

   $$\frac{a+4}{3}x^2 + \frac{3b+6}{3}xy + \frac{c-5}{3}y^2 = 1$$

3. Adım: Bu denklemin birim çember belirtebilmesi için iki temel şart sağlanmalıdır:

    Çember denkleminde $xy$ çapraz terimi bulunamaz:

     $$3b + 6 = 0 \implies 3b = -6 \implies \mathbf{b = -2}$$

    $x^2$ ve $y^2$'li terimlerin katsayıları birbirine eşit ve $1$ olmalıdır:

     $$\frac{a+4}{3} = 1 \implies a + 4 = 3 \implies \mathbf{a = -1}$$

     $$\frac{c-5}{3} = 1 \implies c - 5 = 3 \implies \mathbf{c = 8}$$

4. Adım: Bulunan değerler istenen oranda yerine yazılır:

   $$\frac{a - b}{c} = \frac{(-1) - (-2)}{8} = \frac{-1 + 2}{8} = \mathbf{\frac{1}{8}}$$

 💡 ÖSYM Taktiği: Bir ikinci dereceden denklemin çember belirtebilmesi için daima $xy$'li terimin katsayısı $0$ yapılır ve $x^2$ ile $y^2$'nin katsayıları birbirine eşitlenir.

Cevap: $\dfrac{1}{8}$

 Örnek 5 (🟡 Orta Düzey - Birim Çemberde Noktadan Merkez Açıya Ulaşma)

Verilenler:

 Dik koordinat düzleminde, birim çember üzerindeki bir $A$ noktası $A\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ olarak veriliyor.

Soru:

Buna göre, $[OA]$ yarıçap doğru parçasının $Ox$ ekseninin pozitif yönüyle yaptığı pozitif yönlü merkez açısının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

1. Adım: Birim çember üzerinde pozitif yönlü $\theta$ açısının bitim kolunun çemberi kestiği noktanın koordinatları:

   $$P(\cos\theta, \sin\theta)$$

   şeklindedir. Dolayısıyla:

   $$\cos\theta = -\frac{1}{2}, \quad \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

2. Adım: Apsis negatif ($x < 0$), ordinat pozitif ($y > 0$) olduğundan nokta II. bölgededir.

3. Adım: I. bölgedeki referans dar açısını bulalım:

   $$\cos\alpha_0 = \frac{1}{2} \implies \alpha_0 = 60^\circ$$

4. Adım: Açı II. bölgede olduğundan $180^\circ$'den referans açı çıkarılır:

   $$\theta = 180^\circ - \alpha_0 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$

 💡 ÖSYM Taktiği: Noktanın koordinat işaretleri açının bölgesini verir:

  $(+, +) \implies \text{I. Bölge } (\alpha)$

  $(-, +) \implies \text{II. Bölge } (180^\circ - \alpha)$

  $(-, -) \implies \text{III. Bölge } (180^\circ + \alpha)$

  $(+, -) \implies \text{IV. Bölge } (360^\circ - \alpha)$

Cevap: $120^\circ$

 Örnek 6 (🟡 Orta Düzey - Birim Çemberde Apsis-Ordinat Cebirsel Bağıntısı)

Verilenler:

 Dik koordinat düzleminde birim çember üzerinde yer alan noktalar incelenmektedir.

Soru:

Birim çember üzerinde apsisi ordinatının 3 katına eşit olan noktalar nelerdir?

Çözüm:

1. Adım: Aranan nokta $P(x, y)$ olsun. Soru metnindeki şart:

   $$x = 3y$$

2. Adım: Nokta birim çember üzerinde yer aldığından birim çember denklemini sağlamak zorundadır:

   $$x^2 + y^2 = 1$$

3. Adım: $x = 3y$ bağıntısı çember denkleminde yerine yazılır:

   $$(3y)^2 + y^2 = 1 \implies 9y^2 + y^2 = 1 \implies 10y^2 = 1$$

   $$y^2 = \frac{1}{10} \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$$

4. Adım: Bulunan $y$ değerlerine karşılık gelen $x = 3y$ apsisleri hesaplanır:

    $y_1 = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$ için $x_1 = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{10}}{10} = \dfrac{3\sqrt{10}}{10} \implies \mathbf{P_1\left(\dfrac{3\sqrt{10}}{10}, \dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)}$ (I. Bölge)

    $y_2 = -\dfrac{\sqrt{10}}{10}$ için $x_2 = 3 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right) = -\dfrac{3\sqrt{10}}{10} \implies \mathbf{P_2\left(-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}, -\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)}$ (III. Bölge)

 💡 ÖSYM Taktiği: Geometrik olarak bu soru, $y = \frac{1}{3}x$ doğrusunun birim çemberi kestiği iki simetrik kesişim noktasını bulma problemidir.

Cevap: $P_1\left(\dfrac{3\sqrt{10}}{10}, \dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)$ ve $P_2\left(-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}, -\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)$

 Örnek 7 (🔴 İleri Düzey - Dönme Hareketi, Esas Ölçü ve Bölge Tespiti)

Verilenler:

 Dik koordinat düzleminde birim çember üzerinde $A\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ noktası veriliyor.

Soru:

Bu nokta saat yönünde $3500^\circ$ hareket ettirilirse hangi bölgeye ulaşılır?

Çözüm:

1. Adım (Başlangıç Açısının Tespiti):

    $A$ noktasının koordinatları: $\cos\theta_0 = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ve $\sin\theta_0 = \dfrac{1}{2}$

    $x < 0, y > 0$ olduğundan nokta II. bölgededir.

    $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ olduğundan II. bölgedeki açı:

     $$\theta_0 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$$

2. Adım (Dönme Yönü ve Açısı):

    Trigonometride saat yönünün tersi pozitif yön (+), saat yönü ise negatif yön (-) kabul edilir.

    Saat yönünde $3500^\circ$ dönmek, açısal değişimin $\Delta\theta = -3500^\circ$ olması demektir.

3. Adım (Esas Ölçü Hesabı):

    $3500^\circ$ açısını $360^\circ$'lik tam turlara bölelim:

     $$3500 = 9 \times 360 + 260$$

    Dolayısıyla $-3500^\circ$ dönme, negatif yönde $-260^\circ$ dönmeye denktir.

    Pozitif esas ölçü:

     $$-260^\circ + 360^\circ = +100^\circ$$

4. Adım (Son Konum Açısı ve Bölge):

    Başlangıç açısına pozitif esas ölçü eklenir:

     $$\theta_{\text{son}} = 150^\circ + 100^\circ = 250^\circ$$

    $180^\circ < 250^\circ < 270^\circ$ aralığında olduğundan, $250^\circ$ III. bölgededir.

 💡 ÖSYM Taktiği: Saat yönü denildiğinde açının önüne eksi $(-)$ koymayı ve büyük açılarda derhal $360^\circ$'ye bölüp kalan esas ölçüyle işlem yapmayı unutma!

Cevap: III. Bölge

 Örnek 8 (🔴 İleri Düzey - İndirgeme ve Trigonometrik Değer Sıralaması)

Verilenler:

$$a = \tan 34^\circ$$

$$b = \cot 323^\circ$$

$$c = \sin 146^\circ$$

$$d = \cos 217^\circ$$

Soru:

Yukarıda verilen $a, b, c$ ve $d$ ifadelerini değerlerine göre küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Çözüm:

Tüm açıları bölgelerine göre işaret analizi yaparak I. bölgedeki dar açılara indirgeyelim:

1. Adım (Bölgeler, İşaretler ve İndirgemeler):

    $a = \tan 34^\circ$: I. bölgededir, tanjant pozitiftir ($a > 0$).

    $b = \cot 323^\circ$: IV. bölgededir ($270^\circ < 323^\circ < 360^\circ$), kotanjant negatiftir ($b < 0$):

     $$b = \cot(360^\circ - 37^\circ) = -\cot 37^\circ = -\tan(90^\circ - 37^\circ) = \mathbf{-\tan 53^\circ}$$

    $c = \sin 146^\circ$: II. bölgededir ($90^\circ < 146^\circ < 180^\circ$), sinüs pozitiftir ($c > 0$):

     $$c = \sin(180^\circ - 34^\circ) = \mathbf{\sin 34^\circ}$$

    $d = \cos 217^\circ$: III. bölgededir ($180^\circ < 217^\circ < 270^\circ$), kosinüs negatiftir ($d < 0$):

     $$d = \cos(180^\circ + 37^\circ) = -\cos 37^\circ = -\sin(90^\circ - 37^\circ) = \mathbf{-\sin 53^\circ}$$

2. Adım (Negatif Değerlerin Sıralanması: $b$ ve $d$):

    $b = -\tan 53^\circ$ ve $d = -\sin 53^\circ$

    $53^\circ$ dar açısı için: $\tan 53^\circ = \dfrac{\sin 53^\circ}{\cos 53^\circ} > \sin 53^\circ$ (ayrıca $53^\circ > 45^\circ$ olduğundan $\tan 53^\circ > 1$'dir).

    Pozitif halleri $\tan 53^\circ > \sin 53^\circ$ olduğuna göre, her iki taraf eksi ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir:

     $$-\tan 53^\circ < -\sin 53^\circ \implies \mathbf{b < d < 0}$$

3. Adım (Pozitif Değerlerin Sıralanması: $a$ ve $c$):

    $a = \tan 34^\circ$ ve $c = \sin 34^\circ$

    $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ dar açı aralığında aynı açı için daima $\tan\alpha > \sin\alpha$'dır ($\tan 34^\circ = \dfrac{\sin 34^\circ}{\cos 34^\circ}$ ve $\cos 34^\circ < 1$ olduğundan):

     $$\sin 34^\circ < \tan 34^\circ \implies \mathbf{c < a}$$

4. Adım (Genel Küçükten Büyüğe Sıralama):

   Negatifler sıfırdan küçük, pozitifler sıfırdan büyük olduğundan:

   $$\mathbf{b < d < c < a}$$

 💡 ÖSYM Taktiği: Trigonometrik sıralama sorularında:

 1. Önce bölgelerine bakıp işaretleri ($+/-$) ayır; negatifler her zaman pozitiflerden küçüktür.

 2. Fonksiyonları $\sin$ ve $\tan$ türüne çevirerek (tümler açı dönüşümü ile) kıyasla.

 3. Aynı dar açı için daima $\tan\alpha > \sin\alpha$'dır.

 4. $45^\circ$'den büyük dar açılarda $\tan\alpha > 1$'dir, dolayısıyla tüm $\sin$ ve $\cos$ değerlerinden büyüktür!

Cevap: $b < d < c < a$

 🏆 Özet ve Sınav Stratejisi

1. Dik Üçgende Oran Okuma: Bir trigonometrik oran verildiğinde derhal taslak bir dik üçgen çizilir, Pisagor bağıntısıyla eksik kenar bulunur ve istenen tüm oranlar okunur.

2. Tümler Açılarda Değişim: Birbirini $90^\circ$'ye tamamlayan dar açılarda sinüs kosinüse, tanjant kotanjanta eşittir:

   $$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha, \quad \tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha, \quad \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$$

3. Birim Çember Analitiği ($x^2 + y^2 = 1$):

    Çember denkleminde $xy$ terimi bulunmaz ($B = 0$). $x^2$ ve $y^2$'nin katsayıları eşittir.

    Çember üzerindeki her noktanın apsisi $\cos\theta$, ordinatı $\sin\theta$'dır. Apsis ve ordinat arasındaki her türlü doğrusal ve cebirsel bağıntı $x^2 + y^2 = 1$ denkleminde yerine konularak çözülür.

4. Dönme Yönü ve Esas Ölçü:

    Saat yönünün tersi pozitif yön (+), saat yönü negatif yöndür (-).

    Yüksek dereceli açılarda açı $360^\circ$'ye bölünerek kalan pozitif esas ölçü bulunur ve bölge tespiti buna göre yapılır.

5. İşaret Analizi ve Sıralama Hiyerarşisi:

    Geniş açılar önce dar açıya indirgenir ve bölgesine göre işaret ($+/-$) verilir.

    I. bölgede açı büyüdükçe $\sin$ ve $\tan$ artar. Aynı dar açı için daima $\tan\alpha > \sin\alpha$'dır.

    $45^\circ < \alpha < 90^\circ$ aralığında $\tan\alpha > 1$ olup $\sin$ ve $\cos$ değerlerinin tamamından büyüktür.