Kare

 6.2. Kare

 Temel Kavramlar

, 

Dört kenarı birbirine eşit ve tüm iç açıları $90°$ olan dörtgene kare denir. Kare; paralelkenarın, dikdörtgenin ve eşkenar dörtgenin tüm özelliklerini bünyesinde barındırır.

Kenar, Açı ve Çevre:

$$|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a$$

$$m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = m(\widehat{D}) = 90°$$

$$\text{Ç}(ABCD) = 4a$$

Alan:

$$\text{Alan}(ABCD) = a^2$$

 Köşegen Özellikleri

Karenin köşegenleri özel dörtgenler içindeki en zengin özellik kombinasyonuna sahiptir:

1. Köşegenler birbirine eşittir:

$$|AC| = |BD| = a\sqrt{2}$$

2. Köşegenler birbirine diktir:

$$[AC] \perp [BD] \implies m(\widehat{AOD}) = m(\widehat{DOC}) = m(\widehat{COB}) = m(\widehat{BOA}) = 90°$$

3. Köşegenler açıortaydır ($45°-45°$):

$$m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{BAC}) = 45°, \quad m(\widehat{ODA}) = m(\widehat{ODC}) = 45°$$

4. Köşegenler birbirini ortalar → 4 eş ikizkenar dik üçgen:

$$|AO| = |OB| = |OC| = |OD| = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$$

$$\triangle AOB \cong \triangle BOC \cong \triangle COD \cong \triangle DOA \quad (45°\text{-}45°\text{-}90°)$$

Gizli köşegeni çizme refleksi: Soruda tek köşegen verilmişse ya da köşegene değmeyen bir doğru parçası görüyorsan ikinci köşegeni kendin çiz. Çizdiğin an merkezde $90°$ ve $45°$'ler belirir — gizli Pisagor ve eşlik kurguları anında açığa çıkar.

Köşegen simetrisi (Deltoid kurgusu): Kareyi $[AC]$ köşegeni boyunca katlayınca $B$ noktası $D$'nin üstüne düşer. Bu nedenle $[AC]$ üzerindeki herhangi bir $P$ noktası için daima $|PB| = |PD|$ olur ve $ABPD$ bir deltoid oluşturur.

 4 Büyük Eşlik Modeli (α-β-90°)

Karenin en seçici TYT soruları eşlik kurgusuna dayanır. Karenin içine veya kenarlarına çizilen $\alpha$-$\beta$-$90°$ dik üçgenlerinin hipotenüsleri karenin kenarlarına ($a$) eşitlenir → üçgenler yalnızca benzer değil birebir eştir.

 Model 1 — Kare İçi Eş Dik Üçgenler

Kare içine iki dik üçgen ($\triangle DAE$ ve $\triangle ABF$) yerleştirildiğinde $A$ köşesinde $\alpha + \beta = 90°$ bağıntısı kurulur. Her iki üçgenin hipotenüsü karenin bir kenarı ($a$):

$$\triangle ABF \cong \triangle DAE \implies |AE| = |BF|, \quad |DE| = |AF|$$

 Model 2 — Dış Çerçeveleme Eşliği

Kare dışarıya eğik yerleştirildiğinde (veya bir büyük karenin içine köşeleri değecek şekilde konulduğunda) köşelerdeki 4 dik üçgen $\alpha$-$\beta$-$90°$ zinciri oluşturur. Hepsinin hipotenüsü $a$ olduğundan:

$$\triangle ABF \cong \triangle DAE \implies \text{kısa-kısa, uzun-uzun eşlikleri}$$

 Model 3 — Uzantı Üzerinde Eşlik

Alt kenar uzatılarak $F$ noktası alınıp $|AF| = |CE|$ seçilirse:

$$\triangle FAD \cong \triangle ECD \implies |DF| = |DE|$$

$\triangle FDE$ bir ikizkenar dik üçgen oluşur ($m(\widehat{FDE}) = 90°$).

 Model 4 — Dik Kesişen Doğrular Teoremi

Karenin alt kenarında $|AF|$ ve sol kenarında $|DE|$ parçaları alınsın. $|AF| = |DE|$ ise $[DF]$ ve $[CE]$ doğruları çizildiğinde:

$$\triangle FAD \cong \triangle ECD \implies m(\widehat{ADF}) = m(\widehat{DCE}) = x$$

Kesişim noktasındaki üçgende iç açılar toplamı: $x + (90° - x) + \alpha = 180°$

$$\alpha = 90°$$

Dik Kesişim Teoremi: Karede eşit parça ayıran doğru parçaları ($|AF| = |DE|$) her zaman birbirine diktir ($[DF] \perp [CE]$) ve eşit uzunluktadır ($|DF| = |CE|$). Bu iki sonuç birbirinden ayrılmamalı — biri verilince diğeri ücretsiz gelir.

 Alan Formülleri

Kenara göre alan:

$$\text{Alan}(ABCD) = a^2$$

Köşegene göre alan (köşegenler $90°$ ile dik kesiştiğinden):

$$\text{Alan}(ABCD) = \frac{e \cdot e}{2} = \frac{e^2}{2} \quad (e = a\sqrt{2})$$

Soruda köşegen uzunluğu $e$ verilmişse, kenarı bulmakla vakit kaybetmeden doğrudan $\dfrac{e^2}{2}$ formülünü işlet.

Köşegenlerle 4 eşit alan:

$$\text{Alan}(\triangle AOB) = \text{Alan}(\triangle BOC) = \text{Alan}(\triangle COD) = \text{Alan}(\triangle DOA) = \frac{a^2}{4} = S$$

Simetrik alan taşıma (Puzzle / Yapboz refleksi):

Kare merkezine göre $90°$ dönme simetrisine sahiptir. Karmaşık taralı alanları bir bölgeden eş boşluğa taşıyarak şekli tanıdık bir çeyrek ($S$) veya yarım ($2S$) kareye tamamla.

 Katlama ve Fayans Problemleri

1. Katlamada görünür yüzey kaybı:

Kare kâğıdı bir köşesinden içe doğru katlayınca üst üste binen bölge "2 katlı" olur ve görünen yüzeyden silinir:

$$\text{Görünen Alan} = a^2 - \text{Katlanan üçgenin alanı}$$

2. Parke / Fayans kaplama cebiri:

Karenin içine özdeş dikdörtgenler aralarında boşluk kalmadan dizildiğinde:

- Dikdörtgenin kısa kenarı $x$, uzun kenarı $y$

- Karenin bir kenarında yatay/dikey sayıma göre denklem kur: $a = nx + my$

- Farklı kenarlardaki ifadeleri eşitle: $2y + x = 4x \implies 2y = 3x$

- Tek değişkene indirgeyerek çöz

 ⚠️Sık Yapılan Hatalar

 🔴Hata 1: Köşegen çizilince $45°$'leri şekle yazmamak

  Karede köşegen çizildiği an köşe açılarına $45°$ yazılmalıdır. Yazılmadığında içerideki $30°-60°-90°$ veya ikizkenar dik üçgenler fark edilemez.

 🔴Hata 2: Dik üçgeni eşlik değil benzerlik kurmak

  Kare içine çizilen dik üçgenlerin hipotenüsleri $a$ olduğundan üçgenler sadece benzer değil birebir eştir. Eşliği görmeden kısa-uzun kenar kopyalaması yapılamaz ve işlem kalabalığında kaybolunur.

 🔴Hata 3: Köşegenden alan hesaplarken ikiye bölmeyi unutmak

  Köşegen $e$ verildiğinde alan $e^2$ değil, $\dfrac{e^2}{2}$'dir.

 🔴Hata 4: Dik kesişim teoreminde eşitlik şartını atlamak

  $[DF] \perp [CE]$ sonucu ancak $|AF| = |DE|$ şartı sağlandığında çıkar. Bu şart sağlandığında $|DF| = |CE|$ de ücretsiz gelir — biri unutulmamalı.

 ✏️Çözümlü Örnekler

 Örnek 1 (Kolay-Orta - Köşegen ve Gizli $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ Üçgeni)

Çözüm:

1. İkinci Köşegeni Çizme Refleksi:

   - Karede tek köşegen verildiğinde diğer köşegen $[BD]$ çizilir. Köşegenler $O$ noktasında birbirine diktir:

     $$[AC] \perp [BD] \implies m(\widehat{DOE}) = 90^\circ$$

2. Açı Hesabı:

   - Karede köşegenler köşeleri $45^\circ - 45^\circ$ böler:

     $$m(\widehat{BDC}) = 45^\circ$$

   - Buradan:

     $$m(\widehat{ODE}) = m(\widehat{BDC}) - m(\widehat{EDC}) = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ$$

3. $\triangle ODE$ Özel Dik Üçgeni ($30^\circ-60^\circ-90^\circ$):

   - $m(\widehat{DOE}) = 90^\circ$ ve $m(\widehat{ODE}) = 30^\circ$ olduğundan $m(\widehat{OED}) = 60^\circ$'dir.

   - Hipotenüs $|DE| = 8\text{ cm}$ olduğuna göre:

     - $30^\circ$'nin karşısı: $|OE| = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}$

     - $60^\circ$'nin karşısı: $|OD| = 4\sqrt{3}\text{ cm}$

4. Alan Hesabı:

   - Köşegenler birbirini eşit ortaladığından köşegenin yarısı $|OD| = 4\sqrt{3}\text{ cm}$, tamamı $|BD| = 8\sqrt{3}\text{ cm}$'dir.

   - Köşegene göre kare alan formülünden:

     $$\text{Alan}(ABCD) = \frac{|BD|^2}{2} = \frac{(8\sqrt{3})^2}{2} = \frac{64 \cdot 3}{2} = 96\text{ cm}^2$$

Sınav Refleksi: Köşegen üzerinde $15^\circ$ veya $75^\circ$ gibi özel olmayan açılar gördüğünde hemen ikinci köşegeni çiz. Köşegen açıortay ($45^\circ$) ve dik kesişen ($90^\circ$) olduğu için anında $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ özel üçgeni açığa çıkar.

Cevap: $96$

 Örnek 2 (Orta - Köşegen Üzerinde Nokta ve Deltoid Simetrisi)

Çözüm:

1. Köşegen Uzunluğu ve Merkez ($O$):

   - $[AC]$ köşegeninin tamamı:

     $$|AC| = |AE| + |EC| = 8\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 14\sqrt{2}\text{ cm}$$

   - Köşegenler birbirini ortaladığından ağırlık merkezi $O$ noktası için:

     $$|AO| = |OC| = |OB| = |OD| = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}\text{ cm}$$

2. $|OE|$ Parçasının Hesabı:

   - $E$ noktası $[AC]$ üzerinde $A$'ya daha uzak, $C$'ye daha yakındır:

     $$|OE| = |AE| - |AO| = 8\sqrt{2} - 7\sqrt{2} = \sqrt{2}\text{ cm}$$

3. $\triangle BOE$ Dik Üçgeninde Pisagor:

   - Karede köşegenler dik kesiştiğinden $m(\widehat{BOE}) = 90^\circ$'dir.

   - Dik kenarlar $|OB| = 7\sqrt{2}\text{ cm}$ ve $|OE| = \sqrt{2}\text{ cm}$'dir:

     $$|BE|^2 = |OB|^2 + |OE|^2$$

     $$x^2 = (7\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2$$

     $$x^2 = 98 + 2 = 100 \implies x = 10\text{ cm}$$

Sınav Refleksi: Karenin köşegeni simetri eksenidir ($[AC]$ boyunca katlandığında $B$ noktası $D$'nin üzerine düşer). Bu yüzden $[AC]$ üzerindeki her $E$ noktası için daima $|BE| = |DE|$'dir. İkinci köşegeni çizip merkezdeki $90^\circ$'de Pisagor kurmak soruyu birkaç saniyede çözdürür.

Cevap: $10$

 Örnek 3 (Orta - Model 1: Kare İçi Eş Dik Üçgenler)

Çözüm:

1. Açı Gezdirmesi ($\alpha-\beta-90^\circ$):

   - $m(\widehat{DAE}) = \alpha$ olsun. $D$ köşesi dik olduğundan değil, $A$ köşesi dik olduğundan:

     $$m(\widehat{DAB}) = 90^\circ \implies m(\widehat{BAF}) = 90^\circ - \alpha = \beta \quad (\alpha + \beta = 90^\circ)$$

   - $\triangle ADE$ dik üçgeninde $E$ köşesi $90^\circ$ olduğundan:

     $$m(\widehat{ADE}) = 90^\circ - \alpha = \beta$$

   - $\triangle BAF$ dik üçgeninde $F$ köşesi $90^\circ$ olduğundan:

     $$m(\widehat{ABF}) = 90^\circ - \beta = \alpha$$

2. Eşlik (A.K.A. / Hipotenüs-Açı):

   - $\triangle ADE$ ve $\triangle BAF$ dik üçgenlerinde her iki hipotenüs de karenin bir kenarıdır ($|AD| = |AB| = a$).

   - Açıları ve hipotenüsleri eşit olduğundan bu iki üçgen birebir eştir:

     $$\triangle ADE \cong \triangle BAF$$

3. Kenarların Eşlenmesi:

   - $\beta$'nın karşısındaki kenarlar eşittir:

     $$|BF| = |AE| = 6\text{ cm}$$

   - $\alpha$'nın karşısındaki kenarlar eşittir:

     $$|DE| = |AF|$$

   - $[AF]$ doğrusu üzerinde parçalar toplanırsa:

     $$|AF| = |AE| + |EF| = 6 + 2 = 8\text{ cm} \implies |DE| = 8\text{ cm}$$

4. Alan Hesabı:

   - $\triangle ADE$ dik üçgeninde dik kenarlar $|AE| = 6\text{ cm}$ ve $|DE| = 8\text{ cm}$'dir ($6-8-10$ özel üçgeni):

     $$a^2 = |AD|^2 = 6^2 + 8^2 = 100$$

     $$\text{Alan}(ABCD) = a^2 = 100\text{ cm}^2$$

Kural (Model 1): Karenin bir köşesinden çizilen doğruya karşılıklı iki köşeden indirilen dikmeler eş dik üçgenler üretir. İndirilen dikmeler birbirine eşit değil, birinin dik kenarı diğerinin diğer dik kenarına eşittir: $|BF| = |AE|$ ve $|DE| = |AF|$.

Cevap: $100$

 Örnek 4 (Orta-İleri - Model 3: Kenar Uzantısında Eşlik ve İkizkenar Dik Üçgen)

Çözüm:

1. Eş Dik Üçgenlerin Keşfi:

   - $\triangle ECD$ dik üçgeninde dik kenarlar $|CD| = 8\text{ cm}$ ve $|CE| = 6\text{ cm}$'dir.

   - Karenin $A$ köşesi $90^\circ$ olduğundan uzantısı da diktir ($m(\widehat{FAD}) = 90^\circ$).

   - $\triangle FAD$ dik üçgeninde dik kenarlar $|AD| = 8\text{ cm}$ ve $|AF| = 6\text{ cm}$'dir.

   - İki dik kenarları eşit ($6$ ve $8$) olan bu dik üçgenler eştir:

     $$\triangle FAD \cong \triangle ECD$$

2. Hipotenüs ve Açı Korunumu:

   - Eşlikten hipotenüsler eşittir ($6-8-10$ üçgeni):

     $$|DF| = |DE| = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ cm}$$

   - Açıları isimlendirelim: $m(\widehat{FDA}) = m(\widehat{EDC}) = \alpha$.

   - Karenin $D$ köşesi $90^\circ$ olduğundan:

     $$m(\widehat{ADE}) = 90^\circ - \alpha$$

   - $\triangle FDE$ üçgeninin tepe açısı:

     $$m(\widehat{FDE}) = m(\widehat{FDA}) + m(\widehat{ADE}) = \alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$$

3. $\triangle FDE$ İkizkenar Dik Üçgeninin Alanı:

   - Dik kenarları $|DF| = 10\text{ cm}$ ve $|DE| = 10\text{ cm}$ olan dik üçgenin alanı:

     $$\text{Alan}(\triangle FDE) = \frac{|DF| \cdot |DE|}{2} = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50\text{ cm}^2$$

Sınav Refleksi: Karenin kenarını dışarı doğru uzatarak alınan eşit parçalar ($|AF| = |CE|$), karenin köşesine birleştirildiğinde daima $90^\circ$'lik bir dönme simetrisi işletir ve tepe açısı $90^\circ$ olan bir ikizkenar dik üçgen doğurur.

Cevap: $50$

 Örnek 5 (Orta-İleri - Simetrik Alan Taşıma / Puzzle Refleksi)

Çözüm:

1. Merkez Açı Bağıntısı:

   - $ABCD$ karesinde köşegenler dik kesiştiğinden $m(\widehat{BOC}) = 90^\circ$'dir.

   - $OEFG$ bir kare olduğundan $O$ köşesindeki açı $m(\widehat{KOL}) = 90^\circ$'dir.

   - $m(\widehat{COK}) = \alpha$ dersek:

     $$m(\widehat{BOK}) = 90^\circ - \alpha$$

     $$m(\widehat{COL}) = 90^\circ - \alpha$$

2. Eş Üçgenler (A.K.A.):

   - $\triangle OBK$ ve $\triangle OCL$ üçgenlerinde:

     - $|OB| = |OC|$ (köşegen yarıçapları eşittir)

     - $m(\widehat{OBK}) = 45^\circ$ ve $m(\widehat{OCL}) = 45^\circ$ (köşegen açıortaydır)

     - $m(\widehat{BOK}) = m(\widehat{COL}) = 90^\circ - \alpha$

   - A.K.A. eşlik kuralı gereğince:

     $$\triangle OBK \cong \triangle OCL \implies \text{Alan}(\triangle OCL) = \text{Alan}(\triangle OBK)$$

3. Yapboz Taşıması:

   - Boyalı bölgenin alanı:

     $$\text{Alan}(OKCL) = \text{Alan}(\triangle COK) + \text{Alan}(\triangle OCL)$$

   - $\text{Alan}(\triangle OCL)$ parçası yerine eşiti olan $\text{Alan}(\triangle OBK)$ parçasını eklersek:

     $$\text{Alan}(OKCL) = \text{Alan}(\triangle COK) + \text{Alan}(\triangle OBK) = \text{Alan}(\triangle OBC)$$

   - $\triangle OBC$ üçgeni, karenin köşegenlerinin ayırdığı 4 eş üçgenden biridir:

     $$\text{Alan}(OKCL) = \frac{\text{Alan}(ABCD)}{4} = \frac{12^2}{4} = \frac{144}{4} = 36\text{ cm}^2$$

Altın Kural: Karenin ağırlık merkezine konulan ve dik açıyla dönen herhangi bir şeklin kare ile kesişim alanı, dönme açısından tamamen bağımsız olarak daima karenin alanının 1/4'üne eşittir.

Cevap: $36$

 Örnek 6 (İleri - Katlama ve Görünür Yüzey Alanı)

Çözüm:

1. Kat İzi Geometrisi:

   - Bir nokta katlandığında kat çizgisi, orijinal nokta ile yeni noktanın birleşiminin orta dikmesidir:

     $$[EF] \perp [AO] \quad \text{ve} \quad |AM| = |MO|$$

   - Karede $[AC]$ köşegeni $12\sqrt{2}\text{ cm}$ olduğundan merkez $O$ için:

     $$|AO| = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}$$

   - Orta nokta $M$ için:

     $$|AM| = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\text{ cm}$$

2. $\triangle AEF$ İkizkenar Dik Üçgeni:

   - $A$ köşesi $90^\circ$ ve $[AO]$ açıortay ($45^\circ$) olduğundan, $[AO]$'ya dik olan $[EF]$ doğrusu $A$ açısının kollarını $45^\circ$'lik açılarla keser:

     $$m(\widehat{AEF}) = m(\widehat{AFE}) = 45^\circ$$

   - $\triangle AEF$ bir $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ üçgenidir ve hipotenüse inen dikmesi $|AM| = 3\sqrt{2}\text{ cm}$'dir.

   - İkizkenar dik üçgende hipotenüse inen dikme hipotenüsün yarısı olduğundan:

     $$|EF| = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}$$

     $$|AE| = |AF| = |AM| \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6\text{ cm}$$

   - Yani $E$ ve $F$ noktaları kenarların tam orta noktalarıdır.

3. Katlanan Bölgenin Alanı:

     $$\text{Alan}(\triangle AEF) = \frac{|AE| \cdot |AF|}{2} = \frac{6 \cdot 6}{2} = 18\text{ cm}^2$$

4. Masada Kaplanan Toplam Alan:

   - Kâğıt katlandığında $\triangle AEF$ üçgeni kâğıdın üzerine biner (2 katlı olur).

   - Masada kaplanan toplam alan, orijinal karenin alanından katlanan üçgenin alanı kadar azalır:

     $$\text{Kaplanan Alan} = \text{Alan}(ABCD) - \text{Alan}(\triangle AEF) = 12^2 - 18 = 144 - 18 = 126\text{ cm}^2$$

Sınav Refleksi: Katlama sonucunda masada kaplanan toplam alan soruluyorsa formül daima $\text{Toplam Alan} = \text{İlk Alan} - \text{Katlanan Parçanın Alanı}$'dır. Çift katlı bölge ise katlanan parçanın ta kendisidir ($18\text{ cm}^2$).

Cevap: $126$