Artan Fonksiyonlar

 Tanım

$f: (a, b) \to \mathbb{R}$ fonksiyonu verilsin. 

$(a, b)$ aralığındaki her $x_1, x_2$ için:

$$x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) > f(x_1)$$

ise $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında artan fonksiyondur.

Grafik özellikleri: Soldan sağa doğru yukarı çıkan grafik.

 Azalan Fonksiyonlar

 Tanım

$f: (a, b) \to \mathbb{R}$ fonksiyonu verilsin. 

$(a, b)$ aralığındaki her $x_1, x_2$ için:

$$x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) < f(x_1)$$

ise $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında azalan fonksiyondur.

Grafik özellikleri: Soldan sağa doğru aşağı inen grafik.

 Sabit Fonksiyonlar

 Tanım

$f: (a, b) \to \mathbb{R}$ fonksiyonu verilsin. 

$(a, b)$ aralığındaki her $x_1, x_2$ için:

$$f(x_1) = f(x_2) = k \quad (k \in \mathbb{R})$$

ise $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında sabittir.

Örnek: $f(x) = 2.5$ fonksiyonu her aralıkta sabit fonksiyondur.

 Tek ve Çift Fonksiyonlar

 Tanım

$f: A \to \mathbb{R}$ fonksiyonu verilsin. Tanım kümesi 0 etrafında simetrik olmalıdır (yani her $x \in A$ için $-x \in A$).

Çift Fonksiyon:

$$\forall x \in A: \quad f(-x) = f(x)$$

olduğunda $f$ çift fonksiyondur.

- Grafiği $y$ eksenine göre simetriktir.

Tek Fonksiyon:

$$\forall x \in A: \quad f(-x) = -f(x)$$

olduğunda $f$ tek fonksiyondur.

- Grafiği orijine (başlangıç noktasına) göre simetriktir.

- Her tek fonksiyon orijinden geçer: $f(0) = 0$

 Önemli Notlar

- Bir fonksiyon aynı anda hem tek hem çift olamaz (sadece $f(x) = 0$ fonksiyonu istisnası).

- Bir fonksiyon tek veya çift olmayabilir.

 Çözümlü Örnekler

 Örnek 1: Çift Fonksiyon

Verilen: $f(x) = x^2$

Kontrol edelim:

$$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$

Sonuç: $f(x) = x^2$ çift fonksiyondur.

 Örnek 2: Tek Fonksiyon

Verilen: $g(x) = x^3$

Kontrol edelim:

$$g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)$$

Sonuç: $g(x) = x^3$ tek fonksiyondur.

 Örnek 3: Çift mi Tek mi?

Verilen: $h(x) = \sin x$

Kontrol edelim:

$$h(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -h(x)$$

Sonuç: $h(x) = \sin x$ tek fonksiyondur.

 Örnek 4: Çift mi Tek mi?

Verilen: $p(x) = \cos x$

Kontrol edelim:

$$p(-x) = \cos(-x) = \cos x = p(x)$$

Sonuç: $p(x) = \cos x$ çift fonksiyondur.

 Örnek 5: Tek Olmayan, Çift Olmayan

Verilen: $q(x) = x^2 + x$

Kontrol edelim:

$$q(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$$

- $q(-x) = x^2 - x \neq x^2 + x = q(x)$ (çift değil)

- $q(-x) = x^2 - x \neq -(x^2 + x) = -q(x)$ (tek değil)

Sonuç: $q(x) = x^2 + x$ ne tek ne de çift fonksiyondur.

 Örnek 6: Artan/Azalan Fonksiyon

Verilen: $f(x) = 2x + 3$, tanım kümesi $\mathbb{R}$

Kontrol edelim: 

$x_2 > x_1$ olsun.

$$f(x_2) - f(x_1) = (2x_2 + 3) - (2x_1 + 3) = 2(x_2 - x_1) > 0$$

Çünkü $x_2 > x_1$ ⟹ $x_2 - x_1 > 0$ ve $2 > 0$

Sonuç: $f(x) = 2x + 3$ artan fonksiyondur.

 Örnek 7: Azalan Fonksiyon

Verilen: $g(x) = -x + 5$, tanım kümesi $\mathbb{R}$

Kontrol edelim: 

$x_2 > x_1$ olsun.

$$g(x_2) - g(x_1) = (-x_2 + 5) - (-x_1 + 5) = -x_2 + x_1 = -(x_2 - x_1) < 0$$

Çünkü $x_2 > x_1$ ⟹ $x_2 - x_1 > 0$ ve negatifi alındığında sonuç negatif.

Yani $g(x_2) < g(x_1)$

Sonuç: $g(x) = -x + 5$ azalan fonksiyondur.