Tanım Aralığı (Tanım Kümesi)

Bir fonksiyon sadece kuralı ile verilmiş ise, bu fonksiyonun tanım kümesi kuralı anlamlı yapan noktaların kümesidir. Bu kümeye fonksiyonun en geniş tanım kümesi denir.

 Rasyonel Fonksiyonlar

Kural: $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ rasyonel fonksiyonu, paydasını sıfır yapan noktalarda tanımsızdır.

$$Q(x) = 0 \text{ için } f(x) \text{ tanımsızdır}$$

 Örnek 1: Basit Rasyonel Fonksiyon

Verilen: $f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 27}$

Çözüm:

Paydayı sıfır yapan değeri bulalım:

$$x^3 + 27 = 0$$

$$x^3 = -27$$

$$x = -3$$

$x = -3$ noktasında $f(x)$ tanımsızdır.

Sonuç: En geniş tanım kümesi = $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ veya $(-\infty, -3) \cup (-3, \infty)$

 Köklü Fonksiyonlar (Çift Dereceli Kökler)

Kural: $f(x) = \sqrt[2n]{g(x)}$ fonksiyonu $g(x) \geq 0$ için tanımlıdır.

$$g(x) \geq 0 \Rightarrow f(x) \text{ tanımlı}$$

 Örnek 2: Karekök Fonksiyonu

Verilen: $g(x) = \sqrt{x - 4}$

Çözüm:

Kök içi negatif olmayacak şekilde:

$$x - 4 \geq 0$$

$$x \geq 4$$

Sonuç: En geniş tanım kümesi = $[4, \infty)$

 Köklü Fonksiyonlar (Tek Dereceli Kökler)

Kural: $f(x) = \sqrt[2n+1]{g(x)}$ fonksiyonu $g(x)$'in tanımlı olduğu tüm değerlerde tanımlıdır.

$$f(x) = \sqrt[3]{g(x)}, \sqrt[5]{g(x)}, \ldots \text{ gibi tek dereceli kökler her zaman tanımlıdır}$$

 Örnek 3: Küp Kök Fonksiyonu

Verilen: $h(x) = \sqrt[3]{x - 2}$

Çözüm:

Küp kök negatif sayılar için de tanımlıdır. $x - 2$ her reel sayı değerini alabilir.

Sonuç: En geniş tanım kümesi = $\mathbb{R}$ (tüm reel sayılar)

 Logaritmik Fonksiyonlar

Kural: $f(x) = \log_a g(x)$ fonksiyonu $g(x) > 0$ ve $a > 0$, $a \neq 1$ için tanımlıdır.

$$g(x) > 0 \Rightarrow f(x) \text{ tanımlı}$$

 Örnek 4: Logaritmik Fonksiyon

Verilen: $f(x) = \log_2(x - 5)$

Çözüm:

Logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır:

$$x - 5 > 0$$

$$x > 5$$

Sonuç: En geniş tanım kümesi = $(5, \infty)$

 Değer Aralığı (Görüntü Kümesi / Range)

Bir fonksiyon $f: A \to B$ için, görüntü kümesi $f(A)$ ile gösterilir:

$$f(A) = \{y \in B : y = f(x), x \in A\}$$

Yani, tanım kümesindeki tüm elemanlar için fonksiyonun alabileceği değerlerin kümesidir.

Not: Değer aralığı her zaman hedef küme $B$'nin bir alt kümesidir. $f(A) \subseteq B$

Çözümlü Örnekler

 Örnek 5: Tanım ve Değer Aralığı Birlikte

Verilen: $f(x) = x^2 - 2$, tanım kümesi = $\mathbb{R}$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R}$ (tüm reel sayılar)

Değer Aralığı:

$y = x^2 - 2$ için:

- En küçük değer: $x = 0$ olduğunda $y = 0 - 2 = -2$

- $x^2 \geq 0$ olduğundan $y = x^2 - 2 \geq -2$

- $x \to \pm\infty$ olduğunda $y \to \infty$

Sonuç: Değer aralığı = $[-2, \infty)$

 Örnek 6: Rasyonel Fonksiyonun Değer Aralığı

Verilen: $f(x) = \frac{1}{x}$, tanım kümesi = $\mathbb{R} \setminus \{0\}$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$

Değer Aralığı:

$y = \frac{1}{x}$ denklemi $x$ için çözelim:

$$x = \frac{1}{y}$$

Bu, $y \neq 0$ olduğu sürece tanımlıdır. Yani $y = 0$ hiçbir zaman elde edilemez.

Sonuç: Değer aralığı = $\mathbb{R} \setminus \{0\}$

 Örnek 7: Kare Kök Fonksiyonunun Değer Aralığı

Verilen: $g(x) = \sqrt{x + 1}$

Tanım Aralığı: 

$$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$$

Tanım aralığı = $[-1, \infty)$

Değer Aralığı:

$y = \sqrt{x + 1}$ olduğunda:

- $\sqrt{\quad} \geq 0$ olduğundan $y \geq 0$

- $x \geq -1$ olduğundan $x + 1 \geq 0$, dolayısıyla $\sqrt{x + 1} \geq 0$

- $x \to \infty$ olduğunda $y \to \infty$

Sonuç: Değer aralığı = $[0, \infty)$