Tanım

Tanım kümesinin alt kümelerinde farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar denir.

Bir $f(x)$ parçalı fonksiyonunun tanım aralığının alt aralıklarının uç noktaları $x = m$ ve $x = n$ olsun (m < n):

$$f(x) = \begin{cases}u(x), & x \leq m \\g(x), & m < x < n \\h(x), & x \geq n\end{cases}$$

 Temel Kavramlar

- Kritik Noktalar: $x = m$ ve $x = n$ noktalarına parçalı fonksiyonun kritik noktaları denir.

- Dallar: $u(x)$, $g(x)$ ve $h(x)$ fonksiyonlarına parçalı fonksiyonun dalları denir.

 Örnek 1: Basit Parçalı Fonksiyon

Verilen:

$$f(x) = \begin{cases}x + 2, & x \leq 1 \\x^2, & x > 1\end{cases}$$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R}$ (tüm reel sayılar)

Değer Bulma:

- $x = -1$ için: $x \leq 1$ olduğundan $f(-1) = -1 + 2 = 1$

- $x = 1$ için: $x \leq 1$ olduğundan $f(1) = 1 + 2 = 3$

- $x = 2$ için: $x > 1$ olduğundan $f(2) = 2^2 = 4$

Grafik Özellikleri:

- $(-\infty, 1]$ aralığında doğru ($y = x + 2$)

- $(1, \infty)$ aralığında parabol ($y = x^2$)

- $x = 1$ noktasında süreksizlik vardır

 Örnek 2: Mutlak Değer İçeren Parçalı Fonksiyon

Verilen: $f(x) = |x - 3|$

Parçalı Yazılışı:

$$f(x) = \begin{cases}-(x - 3) = 3 - x, & x < 3 \\x - 3, & x \geq 3\end{cases}$$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R}$

Değer Aralığı: $[0, \infty)$

Grafik: V şekli, tepe noktası $(3, 0)$

 Örnek 3: İşaret Fonksiyonu 

Verilen:

$$\text{sgn}(x) = \begin{cases}-1, & x < 0 \\0, & x = 0 \\1, & x > 0\end{cases}$$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R}$

Değer Aralığı: $\{-1, 0, 1\}$

 Örnek 4: En Büyük Tam Sayı Fonksiyonu

Verilen: $f(x) = \lfloor x \rfloor$ (en büyük tam sayı fonksiyonu)

Bu fonksiyon $x$'den küçük veya eşit en büyük tam sayıyı verir.

Örnekler:

- $\lfloor 2.3 \rfloor = 2$

- $\lfloor 5 \rfloor = 5$

- $\lfloor -1.7 \rfloor = -2$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R}$

Değer Aralığı: $\mathbb{Z}$ (tam sayılar)

 Örnek 5: Farklı Kurallarla Tanımlanan Fonksiyon

Verilen:

$$f(x) = \begin{cases}2x - 1, & x < -1 \\x^2 + 1, & -1 \leq x \leq 2 \\5, & x > 2\end{cases}$$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R}$

Değer Bulma:

- $x = -2$ için: $x < -1$ olduğundan $f(-2) = 2(-2) - 1 = -5$

- $x = 0$ için: $-1 \leq 0 \leq 2$ olduğundan $f(0) = 0^2 + 1 = 1$

- $x = 2$ için: $-1 \leq 2 \leq 2$ olduğundan $f(2) = 2^2 + 1 = 5$

- $x = 3$ için: $x > 2$ olduğundan $f(3) = 5$

Sürekliliğin Kontrolü:

- $x = -1$ noktasında: 

  - Soldan: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = 2(-1) - 1 = -3$

  - Sağdan: $\lim_{x \to -1^+} f(x) = (-1)^2 + 1 = 2$

  - Süreksiz (sıçrama vardır)

- $x = 2$ noktasında:

  - Soldan: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1 = 5$

  - Sağdan: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$

  - Sürekli

 Grafik Çizimi İçin Adımlar

Bir parçalı fonksiyonun grafiğini çizerken her bir dalın grafiği ayrı ayrı çizilip ait olduğu alt aralıkta kalan parçası alınır.

1. Aralıkları belirle: Tanım kümesini bölümlere ayır

2. Her aralıkta fonksiyonu çiz: Her kurala ait grafiği ilgili aralıkta çiz

3. Sınır noktalarını kontrol et: Açık/kapalı noktaları işaretle

4. Sürekliliği kontrol et: Noktalar arasında süreksizlik varsa belirt

 Fonksiyon Dönüşümleri (Transformations)

 Dikey Öteleme

- $y = f(x) + k$ fonksiyonunun grafiği, $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin Oy ekseninin pozitif yönünde $k$ birim ötelenmiş şeklidir.

- $y = f(x) - k$ fonksiyonunun grafiği, $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin Oy ekseninin negatif yönünde $k$ birim ötelenmiş şeklidir.

 Yatay Öteleme

$y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiş olsun.

$y = f(x + k)$ nin grafiği çizilirken:

- $x + k = 0$ denkleminin kökü negatif ise: grafiği Ox ekseni üzerinde sola kaydırılır

- $x + k = 0$ denkleminin kökü pozitif ise: grafiği Ox ekseni üzerinde sağa kaydırılır

 Eksene Göre Simetri

Ox Eksenine Göre Simetri:

$$y = -f(x)$$ fonksiyonunun grafiği, $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin Ox eksenine göre simetriğidir.

Oy Eksenine Göre Simetri:

$$y = f(-x)$$ fonksiyonunun grafiği, $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin Oy eksenine göre simetriğidir.

 Çift ve Tek Fonksiyonlar

$\forall x \in A$ için $-x \in A$ olmak üzere:

 Çift Fonksiyon

$$f(-x) = f(x) \text{ ise } f \text{ fonksiyonuna çift fonksiyon denir}$$

Çift fonksiyonun grafiği Oy eksenine göre simetriktir.

 Tek Fonksiyon

$$f(-x) = -f(x) \text{ ise } f \text{ fonksiyonuna tek fonksiyon denir}$$

Tek fonksiyonun grafiği başlangıç noktası O(0, 0) göre simetriktir.

 Ters Fonksiyon ve Simetri

$y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği ile $y = f^{-1}(x)$ fonksiyonunun grafiği $y = x$ doğrusuna göre simetriktir.

 Periyodik Fonksiyonlar

$A \subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere, $f: A \to \mathbb{R}$ fonksiyonunda:

$$\forall x \in A \text{ için } f(x + T) = f(x)$$

olacak şekilde bir $T$ reel sayısı varsa:

- $f$ fonksiyonuna periyodik fonksiyon

- $T$ ye periyot

- En küçük pozitif $T$ sayısına esas periyot denir.

Grafik Çizimi: Bir periyodik fonksiyonun bir periyot uzunluğundaki grafiği belli ise esas periyot uzunluğundaki aralıklarda grafik aynen tekrarlanır.