Tanım

$f: A \to B$ bire bir ve örten bir fonksiyon olmak üzere, $y = f(x)$ fonksiyonunun tersi;

$$f^{-1}: B \to A, \quad x = f^{-1}(y)$$

olarak tanımlanır.

İlişki:

- $(x, y) \in f \Leftrightarrow (y, x) \in f^{-1}$

- $f(x) = y \Leftrightarrow f^{-1}(y) = x$

Ayrıca, $(f^{-1})^{-1} = f$ dir.

 Ters Fonksiyon Bulma

$f^{-1}$ fonksiyonu, $f$'nin elemanı olan ikililerin bileşenlerinin yerlerinin değiştirilmesiyle elde edilir. 

$y = f(x)$ eşitliğinde x ile y'nin yerleri değiştirilip $x$ yalnız bırakılırsa, $y = f^{-1}(x)$ fonksiyonu bulunur.

Önemli: Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olması için, orijinal fonksiyon bire bir ve örten olmalıdır.

 Lineer Fonksiyonların Tersi

Eğer $f(x) = ax + b$ ise:

$$f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}$$

 Birinci Dereceden Rasyonel Fonksiyonların Tersi

Bire bir ve örten olan $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ fonksiyonunun tersinde, $a$ ile $d$ nin hem yerleri hem de işaretleri değiştirilir:

$$f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a}$$

 Tanım ve Görüntü Kümelerinin Yer Değiştirmesi

$f: A \to B$ (bire bir ve örten) için:

- $f(x)$'in tanım kümesi = $A$

- $f(x)$'in görüntü kümesi = $B$

- $f^{-1}(x)$'in tanım kümesi = $B$

- $f^{-1}(x)$'in görüntü kümesi = $A$

 İkinci Dereceden Fonksiyonların Tersi

$f(x) = ax^2 + bx + c$ fonksiyonunun tersi bulunurken:

1. İfade tam kareye tamamlanır

2. $x$ in $y$ türünden değeri bulunur

Örneğin, $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ için:

- $y = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x - 1)^2 - 1$

- $(x - 1)^2 = \frac{y + 1}{2}$

- $x = 1 + \sqrt{\frac{y + 1}{2}}$ (veya negatif kolu)

 Çözümlü Örnekler

 Örnek 1: Lineer Fonksiyonun Tersi

Verilen: $g(t) = 2t - 5$

Aranan: $g^{-1}(t)$

Çözüm:

$$s = 2t - 5$$

$t$ ile $s$'nin yerlerini değiştirelim:

$$t = 2s - 5$$

$s$ için çözelim:

$$t + 5 = 2s$$

$$s = \frac{t + 5}{2}$$

Sonuç: $g^{-1}(t) = \frac{t + 5}{2}$

 Örnek 2: Rasyonel Fonksiyonun Tersi

Verilen: $h(x) = \frac{2x - 5}{x + 3}$

Aranan: $h^{-1}(x)$

Çözüm:

$$y = \frac{2x - 5}{x + 3}$$

$x$ ile $y$'nin yerlerini değiştirelim:

$$x = \frac{2y - 5}{y + 3}$$

$y$ için çözelim:

$$x(y + 3) = 2y - 5$$

$$xy + 3x = 2y - 5$$

$$xy - 2y = -5 - 3x$$

$$y(x - 2) = -5 - 3x$$

$$y = \frac{-5 - 3x}{x - 2} = \frac{-3x - 5}{x - 2}$$

Sonuç: $h^{-1}(x) = \frac{-3x - 5}{x - 2}$

 Örnek 3: Logaritmik Fonksiyonun Tersi

Verilen: $k: (2, \infty) \to \mathbb{R}, \quad k(x) = \log_2(x - 2)$

Aranan: $k^{-1}(x)$

Çözüm:

$$y = \log_2(x - 2)$$

$x$ ile $y$'nin yerlerini değiştirelim:

$$x = \log_2(y - 2)$$

Logaritmanın tanımından:

$$2^x = y - 2$$

$$y = 2^x + 2$$

Sonuç: $k^{-1}(x) = 2^x + 2$

Tanım ve Görüntü Kümesi:

- $k^{-1}$ 'in tanım kümesi: $\mathbb{R}$ (çünkü orijinal $k$'nin görüntü kümesi $\mathbb{R}$)

- $k^{-1}$ 'in görüntü kümesi: $(2, \infty)$ (çünkü orijinal $k$'nin tanım kümesi $(2, \infty)$)

 Örnek 4: Doğrulama (Kontrol)

Ters fonksiyon bulduğumuzu kontrol etmek için $g(g^{-1}(t)) = t$ ve $g^{-1}(g(t)) = t$ olmalıdır.

Örnek 1'i kontrol edelim:

$$g(g^{-1}(t)) = g\left(\frac{t + 5}{2}\right) = 2 \cdot \frac{t + 5}{2} - 5 = (t + 5) - 5 = t \checkmark$$

$$g^{-1}(g(t)) = g^{-1}(2t - 5) = \frac{(2t - 5) + 5}{2} = \frac{2t}{2} = t \checkmark$$