Tanım

A ve B boş olmayan iki küme düşün. A kümesindeki her bir elemanın B kümesinde bir ve sadece bir karşılığı varsa, bu eşlemeye A'dan B'ye fonksiyon diyoruz.

Fonksiyon genellikle şu gösterimlerle ifade edilir:

- $f:A \to B$

- $x \to y\ = f(x)$

- $\ce{A ->[f] B}$

Tanım kümesi : $A$ 

Değer kümesi / hedef küme : $B$ 

Görüntü kümesi :

$$f(A) = {\left\{ {y\in B:y=f{\left( {x} \right)},x\in A} \right\}}$$

Dolayısıyla her fonksiyon için $f(A) \subseteq B$ doğrudur.

 Görüntü kümesini nasıl buluruz?

A'dan B'ye tanımlı $y=f(x)$ fonksiyonunun $f(A)$ görüntü kümesini bulurken:

- Eğer $A$ sonlu bir küme ise, her $a\in A$ için $f(a)$ değerleri bulunarak $f(A)$ görüntü kümesi elde edilir.

- Eğer $A$ sonsuz elemanlı bir küme ise, $f(x)$'in alabileceği en küçük ve en büyük değerler bulunarak $f(A)$ belirlenir.

a) Eğer $f$ doğrusal bir fonksiyon ise, yani $f(x)=ax+b$ şeklinde ise, tanım aralığının uç noktalarında $f(x)$'in alabileceği değerler hesaplanarak $f(x)$'in en büyük ve en küçük değeri bulunur (özellikle aralıklar için).

b) Eğer $f$ ikinci dereceden bir fonksiyon ise, yani $f(x)=ax^2+bx+c$ şeklinde ise, $ax^2+bx+c$ ifadesi tam kareye tamamlanarak $f(x)$'in alabileceği en büyük ve en küçük değerler bulunur. Tam kareye tamamlama formülü:

$$ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}$$

Bu ifadeye göre $a>0$ ise fonksiyonun en küçük değeri $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$; $a<0$ ise aynı ifade en büyük değeri verir.

Not: Tanım kümesinin uç noktalarının aralığa dahil olup olmaması ($[$ veya $($ işaretleri) görüntü kümesini etkiler.

 Örnek 1 

$f: A\to B$ verilsin, $f(a)=a^{2}+a+1$ olsun.

$A=\{-2,-1,0,1\}$, $B=\{0,1,2,3,4\}$.

I) $f(A)$'yı bulunuz.

II) Fonksiyonu şema ile gösteriniz.

Çözüm — I:

- $f(-2)=(-2)^2+(-2)+1=4-2+1=3$

- $f(-1)=1-1+1=1$

- $f(0)=0+0+1=1$

- $f(1)=1+1+1=3$

Dolayısıyla

$$f(A)=\{1,3\}$$

Çözüm — II (şema):

- $-2\mapsto3$

- $-1\mapsto1$

- $0\mapsto1$

- $1\mapsto3$

 Örnek 2 

$f: A\to B$ verilsin, $f(x)=\dfrac{2x+1}{3}$ olsun ve $A=[-2,3)$ verilsin. $f(A)$'yı bulunuz.

Çözüm:

Fonksiyon doğrusaldır ve eğimi $\dfrac{2}{3}>0$ olduğu için artandır. Uç değerleri hesaplayalım:

- $f(-2)=\dfrac{2(-2)+1}{3}=\dfrac{-4+1}{3}=\dfrac{-3}{3}=-1$

- $f(3)=\dfrac{2\cdot3+1}{3}=\dfrac{7}{3}$, fakat $x=3$ tanım kümesine dahil olmadığı için $\dfrac{7}{3}$ görüntüye dahil değildir.

Bu durumda görüntü kümesi:

$$f(A)=[-1,\tfrac{7}{3})$$

Not: Eğer tanım kümesine $3$ dahil olsaydı görüntü aralığı $[-1,\tfrac{7}{3}]$ olurdu.

 Kısa ipuçları

- Sonlu kümelerde tek tek hesap yap; aralıklarda fonksiyonun eğimine ve uç noktalara bak.

- İkinci dereceden ifadelerde tam kare yöntemi çok işe yarar.

İstersen bu dosyaya basit grafik çizimleri veya kısa alıştırmalar ekleyeyim. Hangi örnekleri görmek istersin?

 Örnek Sorular ve Çözümler

1) (Sonlu tanım kümesi) Aşağıdaki fonksiyon için görüntü kümesini bulun:

    Ver: $f:A\to B$, $f(x)=x^2+x+1$ ile

    $A=\{-2,-1,0,1\}$, $B=\{0,1,2,3,4\}$.

    Çözüm:

    - $f(-2)=(-2)^2+(-2)+1=3$

    - $f(-1)=1-1+1=1$

    - $f(0)=1$

    - $f(1)=3$

    Böylece

    $$f(A)=\{1,3\}$$

2) (Aralıklı tanım kümesi, doğrusal) $f(x)=\dfrac{2x+1}{3}$ ve $A=[-2,3)$ olsun. $f(A)$ nedir?

    Çözüm:

    Fonksiyon doğrusal ve eğimi $\tfrac{2}{3}>0$ olduğundan artandır. Uç değerler:

    - $f(-2)=\dfrac{2(-2)+1}{3}=-1$

    - $f(3)=\dfrac{7}{3}$ olsa da $3\notin A$ olduğu için $\dfrac{7}{3}$ görüntüde yoktur.

    Dolayısıyla

    $$f(A)=[-1,\tfrac{7}{3}).$$
 

3) (İkinci derece, tüm reel) $f(x)=2x^2-8x+5$ için tanım kümesi $\mathbb{R}$ olduğuna göre görüntü kümesini bulun.

    Çözüm (tam kareye tamamlama):

    $$f(x)=2x^2-8x+5=2\left(x^2-4x\right)+5=2\left(x^2-4x+4\right)+5-8=2(x-2)^2-3.$$
 

    Buradan $2(x-2)^2\ge0$ olduğu için $f(x)\ge-3$. En küçük değer $-3$'tür (x=2'de), ve değerler $[-3,\infty)$ şeklindedir.