Tanım

$f: A \to B$ reel değerli bir fonksiyon olsun.

$$|f(x)| = \begin{cases}f(x), & f(x) \geq 0 \\-f(x), & f(x) < 0\end{cases}$$

şeklinde tanımlanan $|f|: A \to [0, \infty)$ fonksiyonuna f fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Kritik Noktalar:  

$f(x) = 0$ denkleminin kökleri, mutlak değer fonksiyonunun kritik noktalarıdır.

 Mutlak Değer Fonksiyonunun Özellikleri

- $|-f(x)| = |f(x)|$

- $|f(x) \cdot g(x)| = |f(x)| \cdot |g(x)|$

- $\left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| = \frac{|f(x)|}{|g(x)|}$, $g(x) \neq 0$

- Tanımlı olduğu değerler için $|f^n(x)| = |f(x)|^n$

 Mutlak Değer Fonksiyonunun Kritik Noktaları

Kritik noktalar bulunduktan sonra, bu noktalar arasında fonksiyonun işareti kontrol edilerek parçalı fonksiyona dönüştürülür.

 Örnek 1: Basit Mutlak Değer Fonksiyonu

Verilen: $f(x) = |x - 3|$

$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Parçalı Yazılışı:

$$|x - 3| = \begin{cases}-(x - 3) = 3 - x, & x < 3 \\x - 3, & x \geq 3\end{cases}$$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R}$

Değer Aralığı: $[0, \infty)$

Grafik:

 Birden Fazla Mutlak Değerli Fonksiyonun Grafiği

Bilgi:

y = |f(x)| ± |g(x)| fonksiyonunun grafiğini çizmek için $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonlarının işareti incelenir.

y = |f(x)| ± |g(x)| ± |h(x)| fonksiyonunun grafiğini çizmek için $f(x)$, $g(x)$ ve $h(x)$ fonksiyonlarının işareti incelenir.

Grafik Özellikleri:

Grafik Özellikleri:

- Lineer terimli mutlak değerlerde V-benzeri şekiller görülebilir

- Minimum noktası: $(3,0)$

- Minimum noktasının solunda negatif eğim, sağında pozitif eğim

 Örnek 2: Lineer Fonksiyonun Mutlak Değeri

Verilen: $f(x) = |2x - 4|$

Kritik Noktalar:

$$2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$$

Parçalı Yazılışı:

$$|2x - 4| = \begin{cases}-(2x - 4) = 4 - 2x, & x < 2 \\2x - 4, & x \geq 2\end{cases}$$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R}$

Değer Aralığı: $[0, \infty)$

Özellikler:

- Minimum noktası: $(2,0)$

- Eğim: solda $-2$, sağda $2$

Grafik:

 Örnek 3: İkinci Dereceden Fonksiyonun Mutlak Değeri

Verilen: $f(x) = |x^2 - 4|$

Kritik Noktalar:

$$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \text{ veya } x = 2$$

Fonksiyonun İşareti:

- $x < -2$: $x^2 - 4 > 0$ → pozitif

- $-2 < x < 2$: $x^2 - 4 < 0$ → negatif

- $x > 2$: $x^2 - 4 > 0$ → pozitif

Parçalı Yazılışı:

$$|x^2 - 4| = \begin{cases}x^2 - 4, & x \leq -2 \\-(x^2 - 4) = 4 - x^2, & -2 < x < 2 \\x^2 - 4, & x \geq 2\end{cases}$$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R}$

Değer Aralığı: $[0, \infty)$

Grafik Özellikleri:

- Orijinal parabolün Ox ekseninin altındaki kısımları Ox eksenine göre yansıtılır

- Öne çıkan noktalar: $(-2,0)$ ve $(2,0)$ (minimumlar), $(0,4)$ (yerel maksimum)

Not: $(0,4)$ noktası, yansıma sonucu oluşan yerel maksimumdur.

Grafik:

 Örnek 4: Rasyonel Fonksiyonun Mutlak Değeri

Verilen: $f(x) = \left|\frac{x - 1}{x + 2}\right|$

Kritik Noktalar:

$$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$

Tanımsız Noktalar:

$$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$

Fonksiyonun İşareti:

- $x < -2$: pays negatif, payda negatif → pozitif

- $-2 < x < 1$: pays negatif, payda pozitif → negatif

- $x > 1$: pays pozitif, payda pozitif → pozitif

Parçalı Yazılışı:

$$\left|\frac{x - 1}{x + 2}\right| = \begin{cases}\frac{x - 1}{x + 2}, & x < -2 \\\frac{1 - x}{x + 2}, & -2 < x < 1 \\\frac{x - 1}{x + 2}, & x > 1\end{cases}$$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$

Değer Aralığı: $[0, \infty)$

Grafik:

 Mutlak Değer Fonksiyonlarının Grafik Çizimi

 Adım Adım Yöntem

1. Kritik noktaları bul: $f(x) = 0$ denklemini çöz

2. Fonksiyonun işaretini belirle: Her aralıkta pozitif veya negatif olduğunu kontrol et

3. Parçalı fonksiyona dönüştür: Negatif olan kısımları çarpa $-1$ ile

4. Her parçayı çiz: İlgili aralıklarda grafikler çiz

5. Sürekliliği kontrol et: Kritik noktalar arasında kopukluk olup olmadığını kontrol et

 Mutlak Değer Fonksiyonunun Grafik Çizimi

$y = |f(x)|$ fonksiyonunun grafiğini çizmek için:

- $y = |f(x) + k|$ fonksiyonu, $y = |f(x)|$ grafiğinin $y$ ekseninde kaydırılmış halidir: $k>0$ için yukarı $k$ birim, $k<0$ için aşağı $|k|$ birim ötelenir.

- $y = |f(x + k)|$ fonksiyonu, $y = |f(x)|$ grafiğinin $x$ ekseninde kaydırılmış halidir: $k>0$ ise sola $k$ birim, $k<0$ ise sağa $|k|$ birim kayar.

Yani:

- $f(x) \geq 0$ olduğu aralıklarda $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği,

- $f(x) < 0$ olduğu aralıklarda ise $y = -f(x)$ fonksiyonunun grafiği çizilir.

O halde, $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği çizilip Ox ekseninin alt tarafında kalan kısmının Ox eksenine göre simetriği alınır.

 Pratik Kurallar

 |ax + b| Şeklindeki Fonksiyonlar

$$|ax + b| = \begin{cases}-(ax + b) = -ax - b, & ax + b < 0 \text{, yani } x < -\frac{b}{a} \\ax + b, & ax + b \geq 0 \text{, yani } x \geq -\frac{b}{a}\end{cases}$$

Minimum noktası: $\left(-\frac{b}{a},0\right)$

Not: Yukarıdaki eşitsizlik ifadeleri $a>0$ varsayımıyla yazılmıştır; eğer $a<0$ ise eşitsizlik yönleri tersine döner (örneğin koşullar $x>-\frac{b}{a}$ ve $x\le -\frac{b}{a}$ şeklinde olur).

 |ax² + bx + c| Şeklindeki Fonksiyonlar

1. $ax^2 + bx + c = 0$ denklemini çöz (varsa kökler)

2. İlgili aralıklarda fonksiyonun işaretini kontrol et

3. Negatif olan bölgeleri Ox eksenine göre simetrik çiz

 Örnek: a < 0 Durumu

Verilen: $f(x) = |-3x + 6|$

Kritik Nokta:

$$-3x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2$$

Fonksiyonun İşareti:

Fonksiyonun İşareti:

- $x < 2$: $-3x + 6 > 0$ → pozitif

- $x \ge 2$: $-3x + 6 \le 0$ → negatif veya sıfır

Parçalı Yazılışı:

$$|-3x + 6| = \begin{cases}-3x + 6, & x < 2 \\-(-3x + 6) = 3x - 6, & x \ge 2\end{cases}$$

Not: $a = -3 < 0$ olduğu için, $x < 2$ iken fonksiyon pozitif, $x > 2$ iken negatiftir.

Minimum noktası: $(2,0)$

 Örnek 5: İki Mutlak Değerli Fonksiyon Toplamı

Verilen: $f(x) = |x - 1| + |x + 2|$

Kritik Noktalar:

$$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$

$$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$

Sayı Doğrusunda Analiz:

Her Aralıkta İşaret Kontrolü:

1. $x < -2$:

    - $x - 1 < 0$ → negatif

    - $x + 2 < 0$ → negatif

    - $|x - 1| + |x + 2| = -(x - 1) + (-(x + 2)) = -x + 1 - x - 2 = -2x - 1$

2. $-2 \leq x < 1$: 

    - $x - 1 < 0$ → negatif

    - $x + 2 \geq 0$ → pozitif

    - $|x - 1| + |x + 2| = -(x - 1) + (x + 2) = -x + 1 + x + 2 = 3$

3. $x \geq 1$: 

    - $x - 1 \geq 0$ → pozitif

    - $x + 2 > 0$ → pozitif

    - $|x - 1| + |x + 2| = (x - 1) + (x + 2) = x - 1 + x + 2 = 2x + 1$

Parçalı Yazılışı:

$$|x - 1| + |x + 2| = \begin{cases}-2x - 1, & x < -2 \\3, & -2 \leq x < 1 \\2x + 1, & x \geq 1\end{cases}$$

Tanım Aralığı: $\mathbb{R}$

Değer Aralığı: $[3, \infty)$

Grafik Özellikleri:

- Sol kısım ($x < -2$): Eğim $-2$

- Orta kısım ($-2 \leq x < 1$): Sabit fonksiyon, $y = 3$ (yatay doğru)

- Sağ kısım ($x \geq 1$): Eğim $2$

- Minimum değer: $3$ (tüm $-2 \leq x < 1$ aralığında)

Grafik: