Bu notta fonksiyon türlerini basit ve öğrenciye yakın bir dille ele alacağız.

 1) Birebir fonksiyon

Tanım kümesindeki birbirinden farklı her elemanın görüntüleri de farklı ise fonksiyona "birebir" denir.

Matematiksel ifadeleri:

Birinci şekil:

$$\forall x_1, x_2 \in A: \; x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2).$$

İkinci şekil (kontrapozitif — daha sık kullanılan):

$$\forall x_1, x_2 \in A: \; f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2.$$

Yani iki farklı $x$ asla aynı $y$'ye eşlenmez.

Sonlu kümeler örneği: $f:\{1,2,3\}\to\{a,b,c\}$ ile $1\mapsto a,\;2\mapsto b,\;3\mapsto c$ ise $f$ birebirdir.

Gerçel fonksiyon örneği: $g(x)=2x+1$ birebir fonksiyondur. Çünkü $g(x_1)=g(x_2)$ ise $2x_1+1=2x_2+1$ olur ve $x_1=x_2$ çıkar.

Birebir olmayan örnek: $h(x)=x^2$ birebir değildir, çünkü $h(2)=4=h(-2)$ olup farklı $x$ değerleri aynı $y$ değerini verirler.

 2) Örten fonksiyon

Değer kümesi ile görüntü kümesi eşit olan fonksiyona "örten" fonksiyon denir.

Not (Değer kümesi vs. Görüntü kümesi): Değer kümesi $B$, fonksiyonun tanımında belirlenen hedef kümedir. Görüntü kümesi $f(A)$ ise, $A$'daki elemanların $f$ altındaki görüntülerinin kümesidir. Her zaman $f(A) \subseteq B$ doğrudur. Örten fonksiyonda ise $f(A) = B$ olur (boş eleman kalmaz).

Matematiksel olarak:

$$f(A)=B, \quad \text{yani} \quad \forall y \in B, \; \exists x \in A: f(x)=y$$

Bu demek oluyor ki değer kümesinin her elemanı en az bir tanım kümesi elemanının görüntüsüdür.

Gerçel fonksiyon örneği: $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=2x+1$ örten fonksiyondur. Çünkü herhangi bir $y\in\mathbb{R}$ için $x=\dfrac{y-1}{2}$ çözümü vardır.

Örten olmayan örnek: $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $h(x)=x^2$ örten değildir; çünkü negatif sayılar görüntüde yoktur. Fakat $h:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ şeklinde yazılırsa örten olur.

 3) Birebir ve Örten Fonksiyon

A'dan B'ye tanımlı bir fonksiyon hem birebir hem de örten ise bu fonksiyona "bijektif" (birebir ve örten) fonksiyon denir.

Bijektif fonksiyonlarda tanım kümesi ile değer kümesi arasında birebir-eşleme vardır: her $y\in B$ için bir ve yalnızca bir $x\in A$ vardır ki $f(x)=y$.

Önemli özellik: Bijektif fonksiyonların ters fonksiyonu ($f^{-1}$) vardır ve bu ters fonksiyon da bijektiftir.

Matematiksel olarak:

$$f \text{ bijektif} \Leftrightarrow f \text{ birebir ve örten.}$$

Gerçel fonksiyon örneği: $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=2x+1$ bijektiftir. Birebir (kontrol: $g(x_1)=g(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$) ve örten (kontrol: $\forall y\in\mathbb{R}$, $x=(y-1)/2$). Tersi: $g^{-1}(y)=\dfrac{y-1}{2}$.

Başka örnek: $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $h(x)=x^3$ bijektiftir. Tersi: $h^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$.

Bijektif olmayan örnek: $p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $p(x)=x^2$ bijektif değildir (birebir değil, örten değil).

 4) İçine fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesinin öz alt kümesi olan fonksiyona "içine" fonksiyon denir. Başka bir deyişle, değer kümesinde boşta kalan (kullanılmayan) elemanlar varsa fonksiyon içinedir.

Matematiksel olarak:

$$f(A) \subsetneq B, \quad \text{yani} \quad f(A) \subset B \text{ ve } f(A)\neq B.$$

İçine fonksiyonlar örten değildir.

Gerçel fonksiyon örneği: $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=x^2$ içine fonksiyondur. Çünkü görüntü kümesi $[0,\infty)$ olup, negatif sayılar hedef kümede kalır. Burada $g(\mathbb{R})=[0,\infty) \subsetneq \mathbb{R}$.

Başka örnek: $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $h(x)=e^x$ içine fonksiyondur; görüntü kümesi $(0,\infty)$ olur, negatif ve sıfır değerleri hedefin içinde kalır.

Not: Aynı $x^2$ fonksiyonunu $x^2:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ şeklinde tanımlarsak örten (ve bijektif olmak için tanım kümesi de daraltılmalı) hale gelir.

 Küçük karşılaştırma tablosu (kısa):

- Birebir: farklı $x$'ler farklı $y$'ler verir.

- Örten: her $y\in B$ için en az bir $x$ vardır (görüntü hedefle aynı).

- Bijektif: her $y$ için tam bir ve tek $x$ vardır (birebir+örten).

- İçine: görüntü hedefin alt kümesidir, yani örten değildir.

 Kısa örnek sorular

1) $f:\{1,2,3\}\to\{a,b\}$ ile $1\mapsto a,\;2\mapsto a,\;3\mapsto b$. Bu fonksiyon birebir mi, örten mi?

   Çözüm: Birebir değil (çünkü $f(1)=a=f(2)$, farklı elemanlar aynı görüntüye gitti). Fakat örten (çünkü görüntü kümesi $\{a,b\}$ hedef kümesine eşittir).

2) $q:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $q(x)=x^3$ fonksiyonu için ne söyleyebilirsiniz?

   Çözüm: Birebir ve örten ⇒ bijektif fonksiyondur.

 Tanım Kümesinin Değiştirilmesi Sonrası Fonksiyon Türü Değişimi

Bazı fonksiyonların tanım veya değer kümesini değiştirmek, fonksiyonun türünü (birebir, örten, bijektif, içine) değiştirebilir. Aşağıdaki tablo buna örnektir:

Dikkat: Tanım kümesi veya değer kümesinin değiştirilmesi, fonksiyonun formülünü değiştirmeden, sadece tanım alanını veya hedef alanını sınırlandırarak yapılır.