4. İntegralin Türevi ve Türevin İntegrali

4. İntegralin Türevi ve Türevin İntegrali

Operatör sırası · d/dx∫ · ∫d tuzakları

 4.1 Kavram

İntegral almayı ve türev almayı ayrı ayrı öğrendik. Ama sınavda bu iki işlem aynı soruda iç içe geçebilir. İntegral ve türev birbirinin tersidir, tıpkı bir kapıyı kilitlemek ve anahtarla açmak gibi. Ama sıra önemlidir: önce kilitleyip sonra açarsan, kapı açık kalır (ekstra bir şey kalmaz). Ama önce açıp sonra kilitlemek, kapıyı farklı bir konumda bırakır. Matematikte de bu iki sıra, $c$ sabitinin kaderini değiştirir.

İşte bu bölümde, türev ve integral operatörlerinin iç içe kullanıldığı üç durumu inceliyoruz. Temel kural: önce içteki, sonra dıştaki işlem uygulanır  ama sonuçta $c$'nin olup olmadığına dikkat.

 Durum 1 — İntegralin Türevi: $\dfrac{d}{dx}\left[\int f(x)\,dx\right]$

Önce integral (içte), sonra türev (dışta) → birbirini iptal eder, başa dönersin:

$$\frac{d}{dx}\left[\int f(x)\,dx\right] = f(x)$$

 ⚠️ Dikkat: Sonuç $f(x)$'tir, $f(x) + c$ değil. Türev, $c$ sabitini de sıfırladığından $c$ kaybolur.

 Durum 2 — Türevin İntegrali: $\int f'(x)\,dx$

Önce türev (içte), sonra integral (dışta) → yine iptal eder, ama $c$ geri gelir:

$$\int f'(x)\,dx = f(x) + c$$

 Durum 3 — Diferansiyelin İntegrali: $\int d\bigl[f(x)\bigr]$

$$\int d\bigl[f(x)\bigr] = f(x) + c$$

Bu, Durum 2 ile aynı sonucu verir: $d\bigl[f(x)\bigr] = f'(x)\,dx$ olduğundan her iki ifade özdeştir.

 4.2 Örnekler

 Örnek 1:

 $$\frac{d}{dx}\left[\int (3x^2 + 2x)\,dx\right] = 3x^2 + 2x$$

 Türev, integrali iptal etti. Sonuçta $c$ yoktur.

 Örnek 2:

 $$\int \frac{d}{dx}(x^4 - 5x)\,dx = \int (4x^3 - 5)\,dx = x^4 - 5x + c$$

 İntegral, türevi iptal etti ama $c$ geri geldi.

 Örnek 3 — AYT tuzak sorusu:

 $\displaystyle\frac{d}{dx}\left[\int f(x)\,dx\right] = x^2 + 3x$ olduğuna göre $f(1)$ kaçtır?

 $\dfrac{d}{dx}\left[\int f(x)\,dx\right] = f(x)$ (Durum 1 formülü) olduğundan $f(x) = x^2 + 3x$.

 $f(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 = 4$

 Örnek 4 — Diferansiyel formu:

 $$\int d(x^3 - 2x + 7) = x^3 - 2x + 7 + c$$

 4.3 Sık Yapılan Hatalar

 4.4 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2+1)\,dt$ olduğuna göre $F'(2)$ kaçtır?

 Çözüm:

 Temel Teorem (Calculus'un Temel Teoremi): $\dfrac{d}{dx}\left[\int_a^x f(t)\,dt\right] = f(x)$

 $$F'(x) = x^2 + 1$$

 $$F'(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$$

 Örnek 2:

 $g(x) = \displaystyle\int_1^{x^2} 2t\,dt$ olduğuna göre $g'(x)$ ifadesi nedir?

 Çözüm:

 Zincir kuralı ile Temel Teorem'i birleştirelim:

 $$g'(x) = \frac{d}{dx}\left[\int_1^{x^2} 2t\,dt\right] = 2(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x^2 \cdot 2x = 4x^3$$

 Örnek 3:

 $h(x) = \dfrac{d}{dx}\left[\displaystyle\int_0^x \sin(t^2)\,dt\right]$ olduğuna göre $h(\sqrt{\pi})$ kaçtır?

 Çözüm:

 Temel Teorem'e göre:

 $$h(x) = \sin(x^2)$$

 $$h(\sqrt{\pi}) = \sin((\sqrt{\pi})^2) = \sin(\pi) = 0$$

 Örnek 4:

 $f(x) = x^3 - 2x$ ve $g(x) = \displaystyle\int f(x)\,dx$ olarak tanımlanmıştır. $g(1) = 0$ olduğuna göre $g(x)$ nedir?

 Çözüm:

 $g'(x) = f(x) = x^3 - 2x$ olduğundan:

 $$g(x) = \int (x^3 - 2x)\,dx = \frac{x^4}{4} - x^2 + c$$

 $g(1) = 0$ şartını kullanarak $c$'yi bulalım:

 $$\frac{1}{4} - 1 + c = 0$$

 $$c = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

 Dolayısıyla:

 $$g(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + \frac{3}{4}$$

 Örnek 5:

 $f$ tek bir fonksiyon (yani $f(-x) = -f(x)$), $F'(x) = f(x)$ ve $F(0) = 0$ olduğuna göre $F$ fonksiyonu ne tür bir fonksiyondur?

 Çözüm:

 Tek fonksiyonun integrali çift fonksiyondur. Bunu kanıtlayalım:

 $$F(-x) = \int_0^{-x} f(t)\,dt$$

 $u = -t$ dönüşümü yapalım: $du = -dt$

 $$F(-x) = \int_0^x f(-u) \cdot (-du) = \int_0^x (-f(u)) \cdot (-du) = \int_0^x f(u)\,du = F(x)$$

 Yani $F(-x) = F(x)$, bu da $F$ çift fonksiyondur demektir.