1. Belirsiz İntegral Nedir?

 Kısım I: Belirsiz İntegral

 1. Belirsiz İntegral Nedir?

Ters türev kavramı · Notasyon · İntegral sabiti

 1.1 Kavram

Bir arabanın hız göstergesini ($f(x)$, türev) bildiğini düşün. İntegral, bu hız bilgisinden yola çıkarak arabanın konumunu ($F(x)$) yeniden inşa etmektir, yalnızca arabanın nereden başladığını (yani $c$ sabitini) bilmiyorsundur.

 📌 Tanım: $F(x)$ fonksiyonunun türevi $f(x)$ ise, $F(x)$ fonksiyonuna $f(x)$'in belirsiz integrali veya ters türevi denir.

Belirsiz integral şu sembolle gösterilir:

$$\int f(x) \, dx = F(x) + c$$

Burada:

- ∫ : Stilize S harfi. Sum (toplama) kelimesinden gelir.

- $f(x)$ : İntegrali alınacak fonksiyon (integrand).

- $dx$ : $x$ değişkeninin diferansiyeli. Hangi değişkene göre integral alındığını belirtir.

- $c$ : İntegral sabiti.

Türev ve integral birbirinin tersidir:

$$\frac{d}{dx}\left[ \int f(x) \, dx \right] = f(x) \qquad \int d\bigl[F(x)\bigr] = F(x) + c$$

 1.2 $c$ Neden Ortaya Çıkıyor?

$x^2$, $x^2+5$, $x^2-99$ fonksiyonlarının hepsinin türevi $2x$'tir. Çünkü sabit terimlerin türevi sıfırdır. Yani türevi $2x$ olan fonksiyon tek bir fonksiyon değil, sonsuz sayıda fonksiyondur: $x^2 + c$ formundaki her fonksiyon.

Hız/konum benzetmesiyle düşünürsen: Hız göstergesine bakarak arabanın ne kadar yol aldığını (konumdaki değişimi) hesaplayabilirsin, ama arabanın nereden başladığını (başlangıç konumunu) bilemezsin, çünkü bu bilgi türev alınırken kayboldu. İşte bu kayıp bilgiyi temsil etmek için genel bir $c$ sabiti ekleriz.

Geometrik olarak bu şu anlama gelir: $\int f(x)\,dx$ tek bir eğri değil, birbirinin dikey ötelenmişi olan bir eğri ailesidir. Aşağıdaki grafikte, soldaki tek hız fonksiyonundan ($f(x)=2x$) yola çıkıp sağda elde ettiğimiz sonsuz konum eğrisi ailesini görebilirsin — hepsi aynı şekle sahiptir, sadece farklı başlangıç konumlarından (farklı $c$ değerlerinden) başlarlar.

 Grafik: Tek Hız Fonksiyonundan Sonsuz Konum Eğrisine

 1.3 Örnekler

 Örnek 1:

 $F(x) = x^3$ fonksiyonunun türevi $f(x) = 3x^2$'dir. $\displaystyle\int 3x^2 \, dx$ nedir?

 Çözüm:

 Türev ve integral birbirinin tersi olduğundan, $F'(x) = 3x^2$ ise $\int 3x^2\,dx = F(x) + c = x^3 + c$'dir.

 Kontrol: $(x^3 + c)' = 3x^2$ ✓

 Örnek 2:

 $\displaystyle\int f(x)\,dx = 2x^3 - 5x^2 + x + c$ olduğuna göre $f(2)$ kaçtır?

 Çözüm:

 Her iki tarafın türevi alınırsa:

 $$f(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 5x^2 + x + c) = 6x^2 - 10x + 1$$

$f(2) = 6(2)^2 - 10(2) + 1 = 6 \cdot 4 - 20 + 1 = 24 - 20 + 1 = 5$

 Örnek 3 — Diferansiyel formu:

$\displaystyle\int d(5x^3 + 2)$ nedir?

 Çözüm:

 Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali doğrudan o fonksiyonun kendisini verir:

 $$\int d(5x^3 + 2) = 5x^3 + 2 + c$$

 Çünkü $d(5x^3 + 2) = (15x^2)dx$ ve integre ettiğimizde geri $5x^3 + 2$ elde ederiz.

 Örnek 4:

 $$\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$$

 Çözüm:

 $$= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + c = x^3 + x^2 - 5x + c$$

 Kontrol: $(x^3 + x^2 - 5x + c)' = 3x^2 + 2x - 5$ ✓

 Örnek 5:

 $$\int \sqrt{x}(1 + x) \, dx$$

 Çözüm:

 $$= \int (x^{1/2} + x^{3/2}) \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{5/2}}{5/2} + c = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{2}{5}x^{5/2} + c$$

Örnek 6:

 $f'(x) = x^3 - 2x + 1$ ve $f(2) = 5$ ise $f(x)$ nedir?

 Çözüm:

 $$f(x) = \int (x^3 - 2x + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} - x^2 + x + c$$

 $f(2) = 5$:

 $4 - 4 + 2 + c = 5 \Rightarrow c = 3$

 $f(x) = \dfrac{x^4}{4} - x^2 + x + 3$

 Örnek 7:

 $$\int d(x^2 + 3x)$$

 Çözüm:

 $$= x^2 + 3x + c$$

 Örnek 8:

 $f'(x) = 4x^3$ ve $f(1) = 3$ olduğuna göre $f(-1)$ kaçtır?

 Çözüm:

 $$f(x) = \int 4x^3 \, dx = x^4 + c$$

 $f(1) = 1 + c = 3 \Rightarrow c = 2$

 $f(x) = x^4 + 2$

 $f(-1) = 1 + 2 = 3$

 Örnek 9:

 $F(x) = \sin x$ ise $\displaystyle\int \cos x \, dx$ ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

 A) $\sin x$  B) $\sin x + c$  C) $-\sin x + c$  D) $\cos x + c$  E) $-\cos x + c$

Çözüm:

 $F(x) = \sin x$ ise $F'(x) = \cos x$'dir. Türevi $\cos x$ olan fonksiyon $\sin x + c$'dir.

 Kontrol: $(\sin x + c)' = \cos x$ ✓

 Cevap: B

 Örnek 10:

 $\displaystyle\int f(x)\,dx = x^4 - 3x^2 + 7x + c$ olduğuna göre $f(1)$ kaçtır?

 A) 1   B) 3   C) 5   D) 7   E) 9

 Çözüm:

 Her iki tarafın türevi alınırsa:

 $$f(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 3x^2 + 7x + c) = 4x^3 - 6x + 7$$

 $f(1) = 4(1)^3 - 6(1) + 7 = 4 - 6 + 7 = 5$

 Cevap: C

 Örnek 11:

 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$ ve $f(1) = 2$ olduğuna göre $f(3)$ kaçtır?

 Çözüm:

 Önce $f(x)$ fonksiyonunu bulalım:

 $$f(x) = \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x + c$$

 $f(1) = 2$ şartını kullanarak $c$'yi bulalım:

 $$f(1) = 1 - 2 + 1 + c = 2 \Rightarrow c = 2$$

 Dolayısıyla $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 2$

 $f(3) = 27 - 2(9) + 3 + 2 = 27 - 18 + 3 + 2 = 14$

 Örnek 12:

 $\displaystyle\int (2x-1)^4\, dx$ integralinin sonucu nedir?

 Çözüm:

$u = 2x - 1$ dönüşümü yapalım, o zaman $du = 2dx$, yani $dx = \dfrac{du}{2}$

 $$\int (2x-1)^4\, dx = \int u^4 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^4 \, du$$

 $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{u^5}{10} + C = \frac{(2x-1)^5}{10} + C$$

 Örnek 13:

 $f'(x) = 6x^2 + a$ , $f(0) = 3$ ve $f(1) = 10$ olduğuna göre $a$ kaçtır?

 Çözüm:

 $f(x) = \int (6x^2 + a) \, dx = 2x^3 + ax + c$

$f(0) = 3$ şartından: $2(0) + a(0) + c = 3 \Rightarrow c = 3$

 Böylece $f(x) = 2x^3 + ax + 3$

 $f(1) = 10$ şartından:

 $$2(1) + a(1) + 3 = 10 \Rightarrow 2 + a + 3 = 10 \Rightarrow a = 5$$

 Kontrol: $f(x) = 2x^3 + 5x + 3$; $f(1) = 2 + 5 + 3 = 10$ ✓

 Örnek 14:

 $x>0$ için $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx + \int 2e^x\,dx$ toplamı nedir?

 Çözüm:

 $$\int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln|x| + C_1 = 3\ln x + C_1 \quad (x > 0 \text{ olduğundan})$$

 $$\int 2e^x\,dx = 2e^x + C_2$$

 Toplamı:

 $$3\ln x + 2e^x + C \quad (C = C_1 + C_2)$$

 Örnek 15:

 Bir parçacığın hızı $v(t) = 4t - 3$ (m/s) ile veriliyor. $t=0$ anında konumu $x(0) = 5$ m olduğuna göre, $t=2$ saniyedeki konumu kaç metredir?

 Çözüm:

 Konum fonksiyonu hızın integralidir:

$$x(t) = \int v(t)\,dt = \int (4t - 3)\,dt = 2t^2 - 3t + c$$

 $x(0) = 5$ başlangıç koşulundan:

 $$x(0) = 2(0) - 3(0) + c = 5 \Rightarrow c = 5$$

 Dolayısıyla $x(t) = 2t^2 - 3t + 5$

 $t = 2$ saniyedeki konum:

 $$x(2) = 2(4) - 3(2) + 5 = 8 - 6 + 5 = 7 \text{ m}$$