6. Yüksek Mertebeden Türevler (Ardışık Türev)

 6. Yüksek Mertebeden Türevler (Ardışık Türev)

 1. Yüksek Mertebeden Türevler - Tanım

 💡 Bilgi

$y = f(x)$ fonksiyonunun türevi olmak üzere:

$$y' = f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{dy}{dx}$$

$f'(x)$ in türevine (yani $f(x)$ in ikinci mertebeden türevine) denir:

$$y'' = f''(x) = \frac{d^2f(x)}{dx^2} = \frac{d^2y}{dx^2}$$

Benzer şekilde, $y = f(x)$ in n. mertebeden türevi şu şekilde gösterilir:

$$y^{(n)} = f^{(n)}(x) = \frac{d^nf(x)}{dx^n} = \frac{d^ny}{dx^n}$$

Bu tanımda:

- Birinci mertebeden türev: $y' = f'(x) = \frac{dy}{dx}$ 

- İkinci mertebeden türev: $y'' = f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2}$ (birinci türevin türevi)

- Üçüncü mertebeden türev: $y''' = f'''(x) = \frac{d^3y}{dx^3}$ (ikinci türevin türevi)

- n. mertebeden türev: $y^{(n)} = f^{(n)}(x) = \frac{d^ny}{dx^n}$ ($(n-1)$. türevin türevi)

 ⚠️Not: Türev gösteriminde 3'ten sonraki mertebeler için genelde tırnak işareti kullanılmaz ve yerine parantez içinde rakam yazılır. Örneğin 4. mertebeden türev $y''''$ yerine $y^{(4)}$ olarak ifade edilir. Bu yazım tarzı, türevin kuvvetle (üsle) karışmasını önler. Yani $y^4$ (y'nin 4. kuvveti) ile $y^{(4)}$ (y'nin 4. türevi) tamamen farklıdır.

 2. Örnekler

 📚 Örnek 1

$y = x^{25}$ olduğuna göre, $\frac{d^3y}{dx^3}$ türevini bulalım.

Çözüm

Yüksek mertebeden türevleri bulmak için adım adım türev alalım.

Adım 1: Birinci mertebeden türevi al

$y = x^{25}$ için kuvvet kuralını uygulayalım:

$$y' = \frac{dy}{dx} = 25x^{24}$$

Adım 2: İkinci mertebeden türevi al

$y' = 25x^{24}$ in türevini alalım:

$$y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 25 \cdot 24x^{23} = 600x^{23}$$

Adım 3: Üçüncü mertebeden türevi al

$y'' = 600x^{23}$ in türevini alalım:

$$y''' = \frac{d^3y}{dx^3} = 600 \cdot 23x^{22} = 13800x^{22}$$

Cevap: $\frac{d^3y}{dx^3} = 13800x^{22}$

 📚 Örnek 2

$f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x + 1$

olduğuna göre, $f''(2)$ değerini bulalım.

Çözüm

Adım 1: Birinci türevi al

$$f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{4}x^3 - 3 \cdot 2x^2 + 2 \cdot x - 5$$

$$f'(x) = x^3 - 6x^2 + 2x - 5$$

Adım 2: İkinci türevi al

Birinci türevin tekrar türevini alıyoruz:

$$f''(x) = 3x^2 - 12x + 2$$

Adım 3: İstenen değeri yerine koy

$x = 2$ için f''(2) değerini bulalım:

$$f''(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 2$$

$$f''(2) = 3(4) - 24 + 2$$

$$f''(2) = 12 - 24 + 2 = -10$$

Cevap: $f''(2) = -10$

 📚 Örnek 3 (Sadeleştirme Pratiği)

$f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2}$

olduğuna göre, $f''(-1)$ kaçtır?

Çözüm

Bu soruda direkt bölümün türevini almak işlemi oldukça uzatacaktır. AYT sınavında ÖSYM bu tarz sadeleşebilen ifadeleri ve pratik zekayı görmeyi sever. 

Adım 1: Fonksiyonu çarpanlarına ayır ve sadeleştir

Küp farkı özdeşliği: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$

$$f(x) = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2}$$

$x \neq 2$ için ifadeleri sadeleştirirsek:

$$f(x) = x^2 + 2x + 4$$

Adım 2: Birinci ve ikinci türevleri ardışık olarak al

$$f'(x) = 2x + 2$$

$$f''(x) = 2$$

Adım 3: x yerine değeri yaz

İkinci türev sabit bir sayı çıktığı için (x değişkeni kalmadığı için) $x$'e ne yazarsak yazalım sonuç değişmeyecektir.

$$f''(-1) = 2$$

Cevap: $f''(-1) = 2$

 📚 Örnek 4 (Köklü ve Kesirli Fonksiyonlarda Ardışık Türev)

$f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

olduğuna göre, $f''(1)$ kaçtır?

Çözüm

Önce ifadeleri üslü sayı formatına çevirelim ki üst başa indirip azalttığımız normal türev kurallarını daha rahat uygulayalım.

Adım 1: Fonksiyonu üslü yaz

$$f(x) = x^{-1} + x^{\frac{1}{2}}$$

Adım 2: Birinci türevi al

$$f'(x) = (-1)x^{-2} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$$

$$f'(x) = -x^{-2} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

Adım 3: İkinci türevi al

$$f''(x) = (-2)(-1)x^{-3} + \left(-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}$$

$$f''(x) = 2x^{-3} - \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}$$

Adım 4: x = 1 değerini yerine yaz

$1$'in bütün kuvvetleri $1$'dir. Dolayısıyla karmaşık üslü sayı hesaplamalarına girmeden direkt sayıları yerleştirebiliriz:

$$f''(1) = 2(1)^{-3} - \frac{1}{4}(1)^{-\frac{3}{2}}$$

$$f''(1) = 2(1) - \frac{1}{4}(1)$$

$$f''(1) = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8-1}{4} = \frac{7}{4}$$

Cevap: $f''(1) = \frac{7}{4}$

 📚 Örnek 5

$y = x^3 - ax^2 + bx$ olmak üzere, 

$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ denkleminin bir kökü $x = 3$'tür.

Buna göre, $a$ kaçtır?

Çözüm

Adım 1: İkinci türevi bul

Birinci türev:

$$y' = 3x^2 - 2ax + b$$

İkinci türev:

$$y'' = 6x - 2a$$

Bu durum bize $\frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 2a$ olduğunu gösterir.

Adım 2: Verilen kökü denklemde yerine yaz

Soruda $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ için kökün $x=3$ olduğu söylenmiş. Yani fonksiyonun ikinci türevinde $x$ yerine $3$ yazdığımızda sonuç sıfır olmalı.

$$6(3) - 2a = 0$$

$$18 - 2a = 0$$

$$2a = 18 \implies a = 9$$

(Not: Fonksiyonun b değişkeni türev alma sürecinde yok olduğu için sorunun çözümüne etkisi olmamıştır.)

Cevap: $a = 9$

 3. Pratik Kurallar (AYT İpuçları)

 💡 $x^n$ için n. Mertebeden Türev

$f(x) = x^n$ ($n$ pozitif tam sayı) fonksiyonu için:

Açıklama: Kuvveti $n$ olan bir polinomun $n$. türevi sabit (yani $n!$), $n$'den yüksek mertebedeki türevleri ise sıfır olur.

 ⚠️Not: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$ (n faktöriyel) demektir. Örneğin $4! = 24$, $5! = 120$.

 📚 Örnek 6 (Pratik Kural Uygulaması)

$f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ olduğuna göre, $f^{(4)}(x)$ ve $f^{(5)}(x)$ değerlerini bulalım.

Çözüm

Fonksiyonun en yüksek dereceli terimi $3x^4$'tür ($n = 4$).

$f^{(4)}(x)$: Adım adım türev alalım

$$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5$$

$$f''(x) = 36x^2 - 12x$$

$$f'''(x) = 72x - 12$$

$$f^{(4)}(x) = 72$$

Bu sonuca pratik yolla da ulaşabiliriz: $3x^4$ teriminin 4. türevi $3 \cdot 4! = 3 \cdot 24 = 72$, diğer terimlerin ($x$ derecesi 4'ten küçük) 4. türevi ise $0$'dır.

$f^{(5)}(x)$:

4. türev sabit bir sayı ($72$) olduğundan 5. türev:

$$f^{(5)}(x) = 0$$

Cevap: $f^{(4)}(x) = 72$, $\quad f^{(5)}(x) = 0$

 📚 Örnek 7 (Pratik Kural — Hızlı Çözüm)

$f(x) = 2x^5 - 4x^3 + x$ olduğuna göre, $f^{(5)}(0)$ kaçtır?

Çözüm

En yüksek dereceli terim $2x^5$'tir.

1. $x^5$ teriminin 5. türevi: $5! = 120$
2. Katsayısı $2$ olduğu için $2x^5$'in 5. türevi: $2 \cdot 120 = 240$
3. Diğer terimlerin ($4x^3$, $x$) derecesi 5'ten küçük olduğundan 5. türevleri $0$'dır.

$$f^{(5)}(x) = 240$$

$x = 0$ için sabit sayı olduğundan:

$$f^{(5)}(0) = 240$$

Cevap: $f^{(5)}(0) = 240$