Süreklilik

 Süreklilik

 Bu konuyu neden öğreniyoruz?

 Süreklilik, matematikte “fonksiyon güvenilir mi?” sorusunun cevabdır. Türev alabilmek, integral hesaplayabilmek, bir denklemin çözümünün varlığını garantileyebilmek — tüm bunlar fonksiyonun belirli noktalarda ya da aralıklarda sürekli olmasını gerektirir. AYT'de süreklilik doğrudan sorulabildiği gibi (“a parametresini bulunuz”), türev sorularının arkasında da görünmez bir ön koşul olarak sürekli devreye girer.

  Sürekliliğin Sezgisel Tanımı

Metafor: Kalemini kağıttan kaldırmadan grafiği çizebilir misin?

- ✅ Evet → Fonksiyon o bölgede sürekli

- ❌ Hayır (bir noktada kaldırman gerekiyor) → O noktada süreksiz

Bir fonksiyonun grafiği kesintisiz olarak çizilebiliyorsa, fonksiyon süreklidir.

 Bir Noktada Süreklilik

 Formal Tanım

$f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonu $x = a$ noktasında süreklidir $\Leftrightarrow$

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

 📍 Sürekliliğin 3 Şartı

Bir fonksiyonun $x = a$ noktasında sürekli olabilmesi için üç şartın tamamı sağlanmalıdır:

 Hangi şart bozuk? → Süreksizliğin türünü belirler. Bu tabloyu ezberle — AYT'de süreklilik kontrolü her zaman bu 3 adımı takip eder.

 📚 Örnek 1

Soru: $f(x) = x^2 + 2x + 1$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasında sürekliliğini inceleyiniz.

Çözüm:

Şart 1: $f(1) = 1^2 + 2(1) + 1 = 4$ (tanımlı ✓)

Şart 2: $\lim_{x \to 1} (x^2 + 2x + 1) = 1 + 2 + 1 = 4$ (limit var ✓)

Şart 3: $\lim_{x \to 1} f(x) = 4 = f(1)$ ✓

Sonuç: $f$ fonksiyonu $x = 1$ noktasında süreklidir.

⚡ Ne Zaman Kullanılır? Polinom fonksiyonlarda süreklilik kontrolü çok hızlıdır — doğrudan yerine koy, 3 şart otomatik sağlanır.

Soru: $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ 5, & x = 2 \\ x + 3, & x > 2 \end{cases}$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında sürekliliğini inceleyiniz.

Çözüm:

Şart 1: $f(2) = 5$ (tanımlı ✓)

Şart 2: Soldan limit: $\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$

Sağdan limit: $\lim_{x \to 2^+} (x + 3) = 5$

Soldan ve sağdan limitler eşit olmadığı için $\lim_{x \to 2} f(x)$ yoktur ✗

Sonuç: $f$ fonksiyonu $x = 2$ noktasında süreksizdir (sıçrama süreksizliği).

⚡ Ne Zaman Kullanılır? Parçalı fonksiyonlarda birleşim noktasında sol/sağ limitler farklıysa → Sıçrama süreksizliği. (Bilinmeyen Bulma)

Soru: 

$$f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x > 1 \\ a, & x = 1 \\ 5x+b, & x < 1 \end{cases}$$ 

fonksiyonunun $x = 1$ noktasında sürekli olması için $a + b$ toplamını bulunuz.

Çözüm:

Fonksiyonun $x = 1$ noktasında sürekli olması için sağdan limit, soldan limit ve fonksiyonun o noktadaki değerinin birbirine eşit olması gerekir:

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$$

1. Sağdan limit ($x > 1$ için):

$$\lim_{x \to 1^+} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2$$

2. Soldan limit ($x < 1$ için):

$$\lim_{x \to 1^-} (5x + b) = 5(1) + b = 5 + b$$

3. Fonksiyon değeri ($x = 1$ için):

$$f(1) = a$$

Eşitlikleri kuralım:

$2 = 5 + b = a$

Buradan:

$a = 2$

$5 + b = 2 \Rightarrow b = -3$

Sonuç: $a + b = 2 + (-3) = -1$ bulunur.

⚡ Ne Zaman Kullanılır? AYT'de "parametreyi bulunuz" türü sorularda: sol limit = sağ limit = fonksiyon değeri eşitliğini kur, denklem çöz. fonksiyonunun $x = 2$ noktasında sürekliliğini inceleyiniz.

Çözüm:

Şart 1: $f(2) = \frac{4-4}{0}$ tanımsız ✗

Sonuç: $f$ fonksiyonu $x = 2$ noktasında süreksizdir (kaldırılabilir süreksizlik).

Not: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ var olduğu halde, $f(2)$ tanımsız olduğu için süreksizdir.

⚡ Ne Zaman Kullanılır? Rasyonel fonksiyonlarda payda sıfır oluyor ama limit var → Kaldırılabilir süreksizlik. Limit yoksa → Sonsuz süreksizlik.

 Süreksizlik Türleri

 📝 Üç Tür — Üç Farklı Grafik Görünümü

 Süreksizlik Türü 1: Kaldırılabilir Süreksizlik

 📝 Ne Anlama Gelir?

Grafikte tek bir delik var — ama çevresindeki fonksiyon düzgün akıyor. Limit var, ama fonksiyon ya o noktada tanımsız ya da yanlış değer alıyor.

Özellik: $\lim_{x \to a} f(x)$ var fakat $\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$ veya $f(a)$ tanımsız.

Çözüm: $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$ olacak şekilde $f(a)$ yeniden tanımlanırsa, süreksizlik kaldırılır.

⚡ Ne Zaman Karşılaşırsınız? Rasyonel fonksiyonlarda payda ve pay aynı anda sıfır olduğunda (ortak çarpan var).

 Süreksizlik Türü 2: Sıçrama Süreksizliği

 📝 Ne Anlama Gelir?

Grafik bir noktada iki farklı yükseklikte devam ediyor — sol taraf bir değerde, sağ taraf başka bir değerde başlıyor. Zıplama var.

Özellik: Soldan ve sağdan limitler farklı: $\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Not: Bu süreksizlik kaldırılamaz (fonksiyon tanımının kendisi değişmeli).

⚡ Ne Zaman Karşılaşırsınız? Parçalı fonksiyonların birleşim noktalarında sol/sağ limitler farklı çıktığında.

 Süreksizlik Türü 3: Sonsuz Süreksizlik

 📝 Ne Anlama Gelir?

Fonksiyon o noktada sonsuza fırlıyor — grafik dikey asimptota yaklaşıyor, değer yok.

Özellik: Soldan veya sağdan limit $\pm\infty$

Örnek: $f(x) = \frac{1}{x-a}$ fonksiyonu $x = a$ noktasında sonsuz süreksizliğe sahip.

⚡ Ne Zaman Karşılaşırsınız? Rasyonel fonksiyonlarda sadece payda sıfır olduğunda (pay sıfır değilken).

 📚 Örnek 4

Soru: Aşağıdaki fonksiyonun süreksizlik türünü belirtiniz.

$$g(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$$

Çözüm:

$x = 0$ noktasında:

- Soldan limit: $\lim_{x \to 0^-} g(x) = 1$

- Sağdan limit: $\lim_{x \to 0^+} g(x) = 1$

- Fonksiyon değeri: $g(0) = 0$

$\lim_{x \to 0} g(x) = 1$ var, fakat $f(0) = 0 \neq 1$

Sonuç: Kaldırılabilir süreksizlik ($g(0) = 1$ tanımlanırsa sürekliliği sağlanabilir).

 📚 Örnek 5

Soru: $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonunun $x = 0$ noktasında süreksizliğini inceleyiniz.

Çözüm:

- Soldan limit: $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$

- Sağdan limit: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$

- Fonksiyon değeri: $f(0)$ tanımsız

Sonuç: Sonsuz süreksizlik (dikey asimptot mevcuttur).

 🔍 Parçalı Fonksiyon İnceleme Algoritması

AYT'de parçalı fonksiyonlarda süreksizlik soruları için şu adımları izle:

Adım 1 — Her parçanın kendi aralığındaki tanımsızlıklarını bul:

- Rasyonel parça: paydayı sıfır yapan $x$ değerleri

- Kareköklü parça: kök içini negatif yapan $x$ değerleri

- Yalnızca o parçanın tanım aralığında olanları al

Adım 2 — Kritik nokta(lar)da (parça birleşim noktaları) limit kontrolü yap:

$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c) \text{ ?}$$

Adım 3 — Sonuçları listele: Tüm süreksizlik noktalarını belirt

 İpucu: Parça sınırındaki nokta her iki parçayı da kontrol ettirir — hem sol hem sağ limit hesaplanmalıdır.

 📚 Örnek 7 (Tanım Kümesi ve Parçalı Fonksiyon)

Soru: 

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{4 - x^2}, & x \leq 1 \\ \sqrt{x^2 - 2x - 3}, & x > 1 \end{cases}$$

fonksiyonunun süreksiz olduğu $x$ tam sayılarını ve toplam adedini bulunuz.

Çözüm:

Bu tür sorularda hem parçaların kendi içindeki tanımsızlıklarına hem de kritik noktadaki (parçalanma noktası) limite bakılır.

1. Durum: $x \leq 1$ için $\frac{x}{4 - x^2}$ fonksiyonu

Bu bir rasyonel fonksiyon olduğundan paydayı sıfır yapan değerlerde tanımsızdır (ve dolayısıyla süreksizdir).

$4 - x^2 = 0 \Rightarrow x = 2$ veya $x = -2$

Ancak sadece $x \leq 1$ koşulunu sağlayan değerleri almalıyız.

$x = 2$ bu aralıkta değildir. $x = -2$ aralıktadır.

$\Rightarrow x = -2$ noktasında süreksizdir.

2. Durum: $x > 1$ için $\sqrt{x^2 - 2x - 3}$ fonksiyonu

Çift dereceli kök içi negatif olamaz: $x^2 - 2x - 3 \geq 0$ olmalıdır.

$(x - 3)(x + 1) \geq 0$

Tablo çizildiğinde çözüm aralığı: $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$

Biz sadece $x > 1$ bölgesiyle ilgileniyoruz. Bu bölgede kökün içini negatif yapan (yani tanımsız yapan) tam sayılar süreksizliğe neden olur.

$x > 1$ şartına göre; $x = 2$ için kök içi: $2^2 - 2(2) - 3 = -3 < 0$ (Tanımsız)

(Diğer $x \geq 3$ değerleri için tanımlıdır).

$\Rightarrow x = 2$ noktasında süreksizdir.

3. Durum: Kritik nokta $x = 1$'in incelenmesi

- Sol limit: $\lim_{x \to 1^-} \frac{x}{4 - x^2} = \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$

- Sağ limit: $\lim_{x \to 1^+} \sqrt{x^2 - 2x - 3} = \sqrt{1 - 2 - 3} = \sqrt{-4}$ (Reel sayılarda tanımsız)

Sağdan limit reel bir sayı çıkmadığı için $\lim_{x \to 1} f(x)$ mevcut değildir.

$\Rightarrow x = 1$ noktasında süreksizdir.

Sonuç: Fonksiyon $x = -2$, $x = 1$ ve $x = 2$ olmak üzere toplam 3 farklı tam sayı değeri için süreksizdir.

 📚 Örnek 8

Soru: 

$$f(x) = \begin{cases} \frac{bx}{x^2+1}, & x \leq 1 \\ \sqrt{x^2+2x}, & x > 1 \end{cases}$$

fonksiyonunun $\mathbb{R}$'de sürekli olması için $b$ değerini bulunuz.

Çözüm:

Fonksiyonun $\mathbb{R}$'de sürekli olması için, özellikle parçalandığı kritik nokta olan $x = 1$'de sürekli olması gerekir. (Ayrıca her iki parça da kendi aralıklarında tanımsızlık yaratmamaktadır; rasyonel ifadenin paydası daima pozitiftir $x^2+1>0$.)

$x = 1$ noktasında sürekli olması için şart:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$$

1. Soldan limit ve fonksiyon değeri ($x \leq 1$):

$$\lim_{x \to 1^-} \frac{bx}{x^2+1} = \frac{b(1)}{1^2+1} = \frac{b}{2}$$

(Fonksiyonda eşitlik küçük eşittir'de olduğu için $f(1) = \frac{b}{2}$ olur.)

2. Sağdan limit ($x > 1$):

$$\lim_{x \to 1^+} \sqrt{x^2+2x} = \sqrt{1^2+2(1)} = \sqrt{3}$$

Süreklilik Eşitliği:

$$\frac{b}{2} = \sqrt{3}$$

$$b = 2\sqrt{3}$$

Sonuç: Fonksiyonun tüm reel sayılarda sürekli olması için $b = 2\sqrt{3}$ olmalıdır.

 Aralıkta Süreklilik

 📝 Ne Anlama Gelir?

Bir noktada süreklilik yeterince güçlü değil — bazı teoremler (Ara Değer, Ekstremum) için fonksiyonun tüm bir aralıkta sürekli olması gerekiyor.

Açık vs. Kapalı aralık farkı:

- Açık $(a, b)$: Uç noktalar dahil değil, sadece içeride kontrol yeter

- Kapalı $[a, b]$: Uç noktalar da dahil, o noktalarda tek taraflı limit kontrolü gerekir

> Neden uç noktalar önemli? $[a, b]$'de $x = a$ noktasında soldan limit tanımsız (a'nın solunda fonksiyon yok). Bu yüzden sadece sağdan limit kontrol edilir. $x = b$ için ise sadece soldan.

 📍 Açık Aralıkta Süreklilik

$f$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında sürekli $\Leftrightarrow$ $(a, b)$ içindeki her noktada sürekli.

 📍 Kapalı Aralıkta Süreklilik

$f$ fonksiyonu $[a, b]$ aralığında sürekli $\Leftrightarrow$

1. $(a, b)$ içinde sürekli

2. Sağdan limitte sürekli: $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$

3. Soldan limitte sürekli: $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$

 📚 Örnek 6

Soru: $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonu hangi aralıkta süreklidir?

Çözüm:

- Tanım aralığı: $D = [0, +\infty)$

- $x = 0$ noktasında:

  - Sağdan limit: $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$

  - Fonksiyon değeri: $f(0) = 0$

  - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ ✓

- $(0, +\infty)$ içinde: Kök fonksiyonu tüm noktalarda süreklidir.

Sonuç: $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonu $[0, +\infty)$ aralığında süreklidir.

 Sürekli Fonksiyonların Özellikleri

 📌 Teorem 1: Sürekli Fonksiyonlarla İşlemler

 📝 Ne Anlama Gelir?

Sürekli fonksiyonları toplarsak, çarpsak, bölsek — sonuç fonksiyon da sürekli. Yani süreklilik "bulaşıcıdır".

$f$ ve $g$ fonksiyonları $x = a$ noktasında sürekli ise, aşağıdaki fonksiyonlar da $x = a$ noktasında süreklidir:

1. $(f + g)(x)$

2. $(f - g)(x)$

3. $(f \cdot g)(x)$

4. $\frac{f(x)}{g(x)}$ (eğer $g(a) \neq 0$)

5. $[f(x)]^n$ ($n \in \mathbb{N}$)

⚡ Ne Zaman Kullanılır? Karmaşık bir fonksiyonun sürekliliğini sorgularken: "bu, bilinen sürekli fonksiyonların birleşimi mi?" diye sor. Öyleyse, ispat bitti.

 📌 Teorem 2: Bileşke Fonksiyonun Sürekliliği

 📝 Ne Anlama Gelir?

Sürekli fonksiyonun içine sürekli fonksiyon koyarsak, sonuç da sürekli. Yani $\sin(x^2)$, $\sqrt{x^2+1}$ gibi ifadeler sürekli — iki sürekli fonksiyonun bileşkesi.

$f$ fonksiyonu $x = a$ noktasında, $g$ fonksiyonu $x = f(a)$ noktasında sürekli ise, $(g \circ f)(x)$ bileşke fonksiyonu $x = a$ noktasında süreklidir.

⚡ Ne Zaman Kullanılır? $g(f(x))$ türü ifadelerde süreklilik sorularken, iç ve dış fonksiyonun ayrı ayrı sürekli olduğunu göstermek yeterli.

 📌 Teorem 3: Ara Değer Teoremi (IVT)

 📝 Ne Anlama Gelir?

Sürekli bir fonksiyon $f(a) = 3$ ve $f(b) = 7$ ise, arada 4, 5, 6 değerlerini de mutlaka alır — atlamaz, sıçramaz. Tıpkı sıcaklığın 10°'den 20°'ye geçerken mutlaka 15°'den geçmesi gibi.

> Ne işe yarar? Bir denklemin (ör: $f(x) = 0$) çözümünün var olduğunu, değeri hesaplamadan ispatlayabilirsin. Eğer $f(a) < 0 < f(b)$ ise — arada mutlaka bir kök vardır.

$f$ fonksiyonu $[a, b]$ kapalı aralığında sürekli ve $k$, $f(a)$ ile $f(b)$ arasında herhangi bir sayı olsun.

Öyleyse $\exists c \in (a, b)$ öyle ki $f(c) = k$

Sonuç: Sürekli bir fonksiyon, herhangi iki değer arasındaki tüm değerleri alır.

⚡ Ne Zaman Kullanılır?

- "Falan aralıkta kök var mı?" sorusu: $f(a)$ ve $f(b)$ işaretleri zıt mı? → Kök kesinlikle var.

- "Fonksiyon $k$ değerini alır mı?" sorusu: $k$, $f(a)$ ile $f(b)$ arasında mı? → Alır.

- AYT'de "gösteriniz" veya "karar veriniz" sorularında.

 📌 Teorem 4: Ekstremum Değer Teoremi

 📝 Ne Anlama Gelir?

Kapalı aralıkta sürekli bir fonksiyon, o aralıkta mutlaka en büyük ve en küçük değerini alır. "Belki vardır" değil — kesinlikle vardır.

> Ne işe yarar? "Bu fonksiyonun maksimumu var mı?" sorusunu sormadan önce cevabı bilirsin. Süreklilik + kapalı aralık = Maksimum ve minimum garantili.

$f$ fonksiyonu $[a, b]$ kapalı aralığında sürekli ise, $[a, b]$ içinde maksimum ve minimum değerleri vardır.

$$\exists x_1, x_2 \in [a, b] : f(x_1) = \min, \quad f(x_2) = \max$$

⚡ Ne Zaman Kullanılır? Optimizasyon (en büyük/en küçük değer) problemlerinde: fonksiyon sürekli ve aralık kapalıysa, araman gerekmiyor — maksimum ve minimum kesinlikle vardır.

 📚 Örnek 7

Soru: $f(x) = x^3 - 2x$ fonksiyonu $(0, 2)$ aralığında 1 değerini alır mı?

Çözüm:

$f$ polinomsal bir fonksiyon olduğundan $[0, 2]$ kapalı aralığında süreklidir.

- $f(0) = 0$

- $f(2) = 8 - 4 = 4$

$1 \in (0, 4)$ olduğundan, Ara Değer Teoremi gereği $\exists c \in (0, 2)$ öyle ki $f(c) = 1$

Sonuç: Evet, $f$ fonksiyonu $(0, 2)$ aralığında 1 değerini alır.

⚡ Ne Zaman Kullanılır? "Bu fonksiyon bu değeri alır mı?" sorularında: Fonksiyon sürekli mi? Değer, iki uc nokta değeri arasında mı? → Alır. fonksiyonu $[0, \frac{\pi}{2}]$ aralığında maksimum ve minimum değerlerini bulunuz.

Çözüm:

$\cos x$ fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir.

Ekstremum Değer Teoremi gereği $[0, \frac{\pi}{2}]$ aralığında maksimum ve minimum vardır:

- $\cos 0 = 1$ (maksimum)

- $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ (minimum)

Sonuç: 

- Maksimum: $M = 1$

- Minimum: $m = 0$

⚡ Ne Zaman Kullanılır? Kapalı aralıkta sürekli fonksiyonlarda max/min vardığı garantilidir. Fonksiyonu uç noktalarda ve kritik noktalarda değerlendir.

 📝 Neden Bu Fonksiyonlar Sürekli?

Bu fonksiyonları sürekli kabul etmek için her noktayı tek tek ispatlaman gerekmiyor — bunlar doğal sürekli fonksiyonlardır. Türen ve integral hesabında ‘sürekli mi?’ diye sorduğunda, bu listeye bak— genellikle cevap hazır.

Aşağıdaki fonksiyonlar kendi tanım aralıklarında süreklidir:

 İpucu: Bu fonksiyonların bileşkeleri ve aritmetik işlemleri (Teorem 1-2 gereğince) de süreklidir — tanım aralıkları uygun olduğunda.

 🎯 Alıştırmalar (Çözümlü)

 Alıştırma 1

Soru: $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ fonksiyonu $x = 3$ noktasında süreksizdir. Süreksizlik türünü belirtiniz ve kaldırılabilir ise yeni tanımını yazınız.

Çözüm:

$f(3)$ tanımsız (paydanın sıfırı).

Limit: $\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6$

Süreksizlik Türü: Kaldırılabilir

Yeni Tanım:

$$\tilde{f}(x) = \begin{cases} \frac{x^2-9}{x-3}, & x \neq 3 \\ 6, & x = 3 \end{cases}$$

Bu şekilde tanımlanan $\tilde{f}$ fonksiyonu $x = 3$ noktasında süreklidir.

 Alıştırma 2

Soru: $h(x) = |x - 1|$ fonksiyonunun tüm reel sayılarda sürekliliğini araştırınız.

Çözüm:

$x = 1$ noktasında inceleme yapılır:

- Soldan limit: $\lim_{x \to 1^-} |x-1| = \lim_{x \to 1^-} (1-x) = 0$

- Sağdan limit: $\lim_{x \to 1^+} |x-1| = \lim_{x \to 1^+} (x-1) = 0$

- Fonksiyon değeri: $h(1) = |1-1| = 0$

Tüm şartlar sağlandığı için $\lim_{x \to 1} h(x) = h(1) = 0$ ✓

Diğer tüm noktalarda da benzer şekilde süreklidir.

Sonuç: $h(x) = |x - 1|$ fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir.

 Alıştırma 3

Soru: $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ fonksiyonunun sürekliliğini araştırınız ve en geniş sürekliliğin tanım aralığını bulunuz.

Çözüm:

Tanım aralığı: $4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$

Yani $D = [-2, 2]$

Kök fonksiyonu sürekli olduğundan ve $4 - x^2$ polinomsal olduğundan:

- $(−2, 2)$ içinde fonksiyon süreklidir.

- $x = -2$ noktasında: $\lim_{x \to -2^+} \sqrt{4-x^2} = 0 = f(-2)$ ✓

- $x = 2$ noktasında: $\lim_{x \to 2^-} \sqrt{4-x^2} = 0 = f(2)$ ✓

Sonuç: $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ fonksiyonu $[-2, 2]$ kapalı aralığında süreklidir.

 Alıştırma 4 

Soru: Aşağıda $[-4, 5]$ aralığında tanımlı $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyonun sürekli olmadığı $x$ apsislerinin toplamı kaçtır?

Çözüm:

Overleaf'te derlediğiniz grafiği incelediğimizde kopukluğun yaşandığı 3 kritik nokta vardır:

1. $x = -2$ apsisli noktada: Grafikte kopma vardır (sıçrama süreksizliği). Sol limit $3$, sağ limit $1$'dir. Limit olmadığı için süreksizdir.

2. $x = 1$ apsisli noktada: Eğri kesintisiz gibi görünse de bu noktada "delik" vardır ve fonksiyon o noktada daha yukarıda ($y=4$) tanımlanmıştır (kaldırılabilir süreksizlik). Limit $2$, ancak fonksiyon değeri $4$'tür. $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$ olduğundan süreksizdir.

3. $x = 3$ apsisli noktada: Kırmızı kesik çizgili düşey asimptot bulunur (sonsuz süreksizlik). Fonksiyon $x=3$ noktasında tanımsızdır ve limiti sonsuza ıraksar. Şartlar sağlanmadığı için süreksizdir.

Fonksiyonun sürekli olmadığı $x$ değerlerinin toplamı: $(-2) + 1 + 3 = 2$ bulunur.

 📝 Özet

✅ Süreklilik Şartı: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$  

✅ 3 Gerekli Şart: Tanım, limit var, limit = fonksiyon değeri  

✅ Süreksizlik Türleri: Kaldırılabilir, sıçrama, sonsuz  

✅ Ara Değer Teoremi: Sürekli fonksiyon aralıktaki tüm değerleri alır  

✅ Ekstremum Teoremi: Kapalı aralıkta sürekli fonksiyon max/min'e sahip

 🎯 AYT'de Süreklilik Soruları — Tipik Kalıplar

 Kalıp 1: Parametre Bulma

> "$f(x)$ fonksiyonunun $x = a$'da sürekli olması için $k$ değerini bulunuz."

Çözüm adımları:

1. Soldan limit hesapla: $\lim_{x \to a^-} f(x)$

2. Sağdan limit hesapla: $\lim_{x \to a^+} f(x)$

3. Fonksiyon değeri: $f(a)$

4. Hepsini eşitle, denklemi çöz

 Kalıp 2: Süreksizlik Noktaları

> "$f(x)$ fonksiyonunun süreksiz olduğu tam sayıları bulunuz."

Çözüm adımları:

1. Her parçanın kendi tanımsızlıklarını bul (payda = 0, kök içi < 0...)

2. Sadece o parçanın aralığındakileri al

3. Birleşim noktalarında sol/sağ limit kontrol et

4. Tüm süreksizlik noktalarını listele

 Kalıp 3: Ara Değer Teoremi Soruları

> "$f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında $k$ değerini alır mı?"

Çözüm adımları:

1. $f(a)$ ve $f(b)$ hesapla

2. $k$ bu ikisi arasında mı? 

3. Fonksiyon sürekli mi?

4. Evet → IVT gereği alır

 🔍 Süreksizlik Tespit Algoritması

 Pratik: Bu akış diyagramını ezberle. Süreklilik sorusunda her zaman bu 3 adımı izle