10. Maksimum - Minimum Problemleri

10. Maksimum - Minimum Problemleri

 Bilgi

Değişken bir ifadenin en büyük ya da en küçük değeri bulunurken:

1. En büyük ya da en küçük olması istenilen ifade, tek değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazılır.

2. İfadenin ekstremum değerlerini bulmak için, yazılan fonksiyonun türevinden yararlanılır.

 Maksimum-Minimum Problemlerini Çözme Basamakları

 Genel Çözüm Algoritması

Adım 1: Hedef Fonksiyonu Tanımla

- Problemin metnini dikkatle oku

- Optimize etmek istediğin büyüklüğü (alan, hacim, maliyet, kâr vb.) hedef fonksiyon olarak yaz

- Örneğin: Maksimum alan için $A(x)$, minimum maliyet için $M(x)$ gibi

Adım 2: Kısıtlamaları Kullanarak Bir Değişkenli Fonksiyona Dönüştür

- Problemde verilen koşulları (ilişkileri) kullan

- Hedef fonksiyondaki diğer değişkenleri elimine et

- Sonuçta fonksiyonu tek bir değişkene bağlı hale getir

- Örneğin: Eğer $xy = 36$ koşulu varsa, $y = \frac{36}{x}$ yazılarak diğer değişkenler yerine yazılır

Adım 3: Tanım Aralığını Belirle

- Geometrik veya fiziksel anlamda mantıklı olan değerlerin sınırlarını bul

- Genellikle $x > 0$ gibi pozitiflik koşulları olur

- Tanım aralığını kapalı veya açık aralık olarak yaz

- Örneğin: $x \in (0, 10]$ veya $x \in (a, b)$

Adım 4: Türevini Al ve Kritik Noktaları Bul

- Hedef fonksiyonun türevini al: $f'(x)$

- $f'(x) = 0$ denklemini çöz

- Türevin tanımsız olduğu noktaları da bul

- Bulduğun noktaların tanım aralığında olup olmadığını kontrol et

Adım 5: İşaret Tablosu Oluştur ve Ekstremum Noktasını Belirle

- Kritik noktaları ve tanım aralığının uç noktalarını işaretle

- Her aralıkta $f'(x)$'in işaretini belirle

- Türevin $(+)$ den $(-)$ ye değiştiği nokta = maksimum

- Türevin $(-)$ den $(+)$ ye değiştiği nokta = minimum

- Tanım aralığının uç noktalarında da fonksiyon değerini hesapla

Adım 6: $x$ Değerini Bulduğu Şeye Göre Yorumla ve Cevabı Ver

- Bulduğun $x$ değerini orijinal probleme dönüştür

- Türev tablonundan veya doğrudan hesaplamadan maksimum veya minimum değeri bul

- "Alan en çok değeri", "Maliyet en az değeri" şeklinde cevapla

 1. Dikdörtgen Alan Problemleri

 Temel Konsept

Belirli bir çevre veya diğer koşul altında, dikdörtgenin alanını maksimum yapan kenar boyutları bulma.

Önemli İlke: Sabit çevreli dikdörtgenler arasında alan maksimum olduğunda dikdörtgen kareye dönüşür.

 Örnek 1: Sabit Çevreli Dikdörtgen Bahçe

Soru:

Çevresi 60 m olan dikdörtgen şekildeki bir bahçanın alanını maksimum yapan kenar boyutları bulunuz. Maksimum alan kaç m²'dir?

Veriler:

- Çevre = 60 m (Sabit)

- Dikdörtgenin kenarları: uzunluk = $x$ m, genişlik = $y$ m

Çözüm:

Adım 1: Hedef Fonksiyonu Tanımla

Maksimize edilmek istenen: Dikdörtgenin alanı

$$A = x \cdot y$$

Adım 2: Kısıtlamaları Kullanarak Bir Değişkenli Fonksiyona Dönüştür

Çevre koşulu: $2x + 2y = 60$

Bu koşuldan $y$ değerini bulunuz:

$$2x + 2y = 60$$

$$x + y = 30$$

$$y = 30 - x$$

Alan fonksiyonunu tek değişkenle ifade et:

$$A(x) = x \cdot (30 - x) = 30x - x^2$$

Adım 3: Tanım Aralığını Belirle

Geometrik gerçeklik için:

- $x > 0$ (pozitif uzunluk)

- $y > 0 \Rightarrow 30 - x > 0 \Rightarrow x < 30$

Tanım aralığı: $x \in (0, 30)$

Adım 4 & 5: Türevini Al ve Kritik Noktaları Bul

$$A'(x) = 30 - 2x$$

Kritik nokta: $A'(x) = 0$

$$30 - 2x = 0$$

$$x = 15$$

İşaret Tablosu:

Sonuç: $x = 15$ noktasında maksimum vardır.

Adım 6: Cevabı Yorumla

$x = 15$ m olduğunda:

$$y = 30 - 15 = 15 \text{ m}$$

Maksimum alan:

$$A_{\text{max}} = 15 \times 15 = 225 \text{ m}^2$$

Cevap: Bahçanın boyutları 15 m × 15 m (kare) olduğunda alan maksimum 225 m² olur.

 2. Kutu/Hacim Problemleri

 Temel Konsept

Dikdörtgen levhadan köşelere eş kare kesilerek, taraflar katlanarak oluşturulan kutu hacmini maksimum yapan kesme boyutlarını bulma.

Temel Yorum: Levhanın köşelerinden kesilen karelerin kenar uzunluğu arttıkça kutunun yüksekliği artar, taban ölçüleri ise küçülür.

 Örnek 1: Levhadan Kesip Katlanarak Kutu Yapma

Soru:

Kenar uzunluğu 30 cm olan kare bir levhadan, köşelere $x$ cm × $x$ cm kare kesilerek taraflar katlanarak açık kutu yapılıyor. Kutunun hacmini maksimum yapan kesme boyutu kaç cm'dir? Maksimum hacim kaç cm³'tür?

Veriler:

- Orijinal levha: 30 cm × 30 cm (kare)

- Köşelerden kesilen kare: $x$ cm × $x$ cm

- Kutu yüksekliği: $x$ cm

Çözüm:

Adım 1: Hedef Fonksiyonu Tanımla

Maksimize edilmek istenen: Kutunun hacmi

$$V = \text{(Taban alanı)} \times \text{(Yükseklik)}$$

Adım 2: Kısıtlamaları Kullanarak Bir Değişkenli Fonksiyona Dönüştür

Kesiler yapıldıktan sonra:

- Kutu tabanının uzunluğu: $30 - 2x$ cm

- Kutu tabanının genişliği: $30 - 2x$ cm  

- Kutu yüksekliği: $x$ cm

Hacim fonksiyonu:

$$V(x) = (30 - 2x)(30 - 2x) \cdot x = (30 - 2x)^2 \cdot x$$

Açarak yazarsak:

$$V(x) = (900 - 120x + 4x^2) \cdot x = 4x^3 - 120x^2 + 900x$$

Adım 3: Tanım Aralığını Belirle

Geometrik gerçeklik için:

- $x > 0$ (pozitif kesme)

- $30 - 2x > 0 \Rightarrow x < 15$ (tabanın pozitif olması)

Tanım aralığı: $x \in (0, 15)$

Adım 4 & 5: Türevini Al ve Kritik Noktaları Bul

$$V'(x) = 12x^2 - 240x + 900$$

Kritik nokta: $V'(x) = 0$

$$12x^2 - 240x + 900 = 0$$

$$x^2 - 20x + 75 = 0$$

Çarpanlara ayırma:

$$(x - 5)(x - 15) = 0$$

$$x_1 = 5 \text{ cm}$$

$$x_2 = 15 \text{ cm (tanım aralığının sınırında)}$$

Tanım aralığında olan kritik nokta: $x = 5$ cm

İşaret Tablosu:

Sonuç: $x = 5$ noktasında maksimum vardır.

Adım 6: Cevabı Yorumla

$x = 5$ cm olduğunda:

Taban ölçüleri:

$$30 - 2(5) = 30 - 10 = 20 \text{ cm}$$

Maksimum hacim:

$$V_{\text{max}} = 20 \times 20 \times 5 = 2000 \text{ cm}^3$$

Cevap: Köşelerden 5 cm boyutunda kare kesilerek, kutunun hacmi maksimum 2000 cm³ olur.

 3. Maliyet-Kâr Problemleri

 Temel Konsept

Üretim, satış veya inşaat problemlerinde toplam maliyeti minimize veya kârı maksimize etme.

Temel İlişkiler:

- Kâr = Gelir - Maliyet

- Kâr = (Birim Fiyat) × (Satılan Miktar) - Toplam Maliyet

- Ortalama Maliyet = Toplam Maliyet / Üretim Miktarı

 Örnek 1: Satış Fiyatı Değişimine Göre Maksimum Kâr

Soru:

Bir işletme, bir ürünü $x$ TL'ye satmaktadır. Ürünün birim maliyeti 20 TL'dir. Haftalık satış miktarı

$$S(x) = 1400 - 20x$$

olduğuna göre $(20 \leq x \leq 50)$, haftalık kârı maksimum yapan satış fiyatını ve maksimum haftalık kârı bulunuz.

Veriler:

- Birim üretim maliyeti: 20 TL

- Birim satış fiyatı: x TL

- Haftalık satış miktarı: $S(x) = 1400 - 20x$ adet (20 ≤ x ≤ 50)

- Tanım aralığı: $x \in [20, 50]$

Çözüm:

Adım 1: Hedef Fonksiyonu Tanımla

Maksimize edilmek istenen: Haftalık toplam kâr

$$K(x) = \text{(Birim Kâr)} \times \text{(Satılan Miktar)}$$

Birim kâr = Satış fiyatı - Üretim maliyeti = x - 20

$$K(x) = (x - 20) \times (1400 - 20x)$$

Adım 2: Fonksiyonu Açıp Düzenle

$$K(x) = (x - 20)(1400 - 20x)$$

$$K(x) = 1400x - 20x^2 - 28000 + 400x$$

$$K(x) = -20x^2 + 1800x - 28000$$

Adım 3: Tanım Aralığını Kontrol Et

Tanım aralığı zaten verilmiş: $x \in [20, 50]$

Adım 4: Türevini Al ve Kritik Noktaları Bul

$$K'(x) = -40x + 1800$$

Kritik nokta: $K'(x) = 0$

$$-40x + 1800 = 0$$

$$x = 45 \text{ TL}$$

Kritik nokta tanım aralığında mı? $20 \leq 45 \leq 50$ ✓

Adım 5: İşaret Tablosu Oluştur ve Ekstremum Noktasını Belirle

Önce uç nokta değerleri:

$$K(20) = (20 - 20)(1400 - 400) = 0 \text{ TL}$$

$$K(50) = (50 - 20)(1400 - 1000) = 30 \times 400 = 12000 \text{ TL}$$

$K'(x)$, $(+)$'dan $(-)$'ye geçtiği için $x = 45$'te maksimum vardır ve $K(45)$ uç nokta değerlerinden büyüktür.

Adım 6: Cevabı Yorumla

a) Maksimum kârı yapan birim fiyat:

$$x = 45 \text{ TL}$$

b) Maksimum haftalık kâr:

$x = 45$ TL olduğunda satış miktarı:

$$S(45) = 1400 - 20(45) = 1400 - 900 = 500 \text{ adet}$$

$$K_{\text{max}} = K(45) = (45 - 20) \times 500 = 25 \times 500 = 12.500 \text{ TL}$$

Cevap: 

- Birim satış fiyatı 45 TL olduğunda kâr maksimum olur.

- Maksimum haftalık kâr 12.500 TL'dir.

 Örnek 2: Üretim Miktarına Göre Minimum Ortalama Maliyet

Soru:

Bir fabrikada bir ürünün günlük toplam üretim maliyeti

$$M(x) = x^2 + 500x + 10000$$

şeklindedir. Burada $x$, günlük üretim miktarını göstermektedir ve $x \geq 1$'dir.

Buna göre birim başına ortalama maliyeti minimum yapan üretim miktarını ve minimum ortalama maliyeti bulunuz.

Veriler:

- Toplam günlük maliyet: $M(x) = x^2 + 500x + 10000$ TL

- Üretim miktarı: x ton

Çözüm:

Adım 1: Hedef Fonksiyonu Tanımla

Minimize edilmek istenen: Birim başına ortalama maliyet

$$\bar{M}(x) = \frac{\text{Toplam Maliyet}}{\text{Üretim Miktarı}} = \frac{x^2 + 500x + 10000}{x}$$

$$\bar{M}(x) = x + 500 + \frac{10000}{x}$$

Adım 2: Tanım Aralığını Belirle

Üretim miktarı en az 1 ton olabilir, üst sınır yoktur:

Tanım aralığı: $x \in [1, +\infty)$

Adım 3: Türevini Al ve Kritik Noktaları Bul

$$\bar{M}'(x) = 1 - \frac{10000}{x^2}$$

Kritik nokta: $\bar{M}'(x) = 0$

$$1 - \frac{10000}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 10000$$

$$x = 100 \text{ ton}$$ ($x > 0$ olduğu için pozitif kök)

Kritik nokta tanım aralığında mı? $1 \leq 100$ ✓

Adım 4 & 5: İşaret Tablosu Oluştur ve Ekstremum Noktasını Belirle

Paydayı ortak yapalım:

$$\bar{M}'(x) = \frac{x^2 - 10000}{x^2} = \frac{(x-100)(x+100)}{x^2}$$

$x > 0$ olduğundan $x^2 > 0$ ve $(x + 100) > 0$ her zaman. İşaret yalnızca $(x - 100)$ çarpanına bağlıdır:

$\bar{M}'(x)$, $(-)$'den $(+)$'ye geçtiği için $x = 100$'de minimum vardır.

Adım 6: Cevabı Yorumla

Minimum ortalama maliyet $x = 100$ ton üretimde:

$$\bar{M}(100) = 100 + 500 + \frac{10000}{100} = 100 + 500 + 100 = 700 \text{ TL/ton}$$

Cevap: Günlük 100 ton üretildiğinde birim başına ortalama maliyet minimum 700 TL/ton olur.

 4. Diğer Uygulama Problemleri

 Temel Konsept

Alan, hacim veya maliyet gibi büyüklüklerin birbirine bağlı olduğu durumlarda, bir koşul (kısıtlama) altında diğer bir büyüklüğü optimize etme.

Yaygın Problem Türleri:

- Sabit hacimde minimum yüzey alanı (ambalaj, depolama)

- Sabit yüzey alanında maksimum hacim

- Mesafe veya zaman minimizasyonu

 Örnek 1: Doğru Üzerinde En Kısa Yol

Soru:

Koordinat düzleminde $A(0, 6)$ ve $B(8, 0)$ noktaları veriliyor. $x$ ekseni üzerinde alınan bir $P(x, 0)$ noktası için $AP + PB$ toplamı en küçük olsun.

Buna göre $P$ noktasının apsisini ve minimum $AP + PB$ değerini bulunuz.

Veriler:

- $A(0, 6)$

- $B(8, 0)$

- $P(x, 0)$, $0 \leq x \leq 8$

Çözüm:

Adım 1: Hedef Fonksiyonu Tanımla

Minimize edilmek istenen:

$$T(x) = AP + PB$$

Adım 2: Kısıtlamaları Kullanarak Bir Değişkenli Fonksiyona Dönüştür

Uzaklık formülünden:

$$AP = \sqrt{x^2 + 36}$$

$$PB = |8 - x| = 8 - x \quad (x \leq 8 \text{ olduğundan})$$

O halde

$$T(x) = \sqrt{x^2 + 36} + 8 - x$$

Adım 3: Tanım Aralığını Belirle

$P$ noktası, $(0,0)$ ile $B(8,0)$ arasında kaldığından ($0 \leq x \leq 8$ koşulu problemde verilmiştir):

Tanım aralığı: $x \in [0, 8]$

Adım 4: Türevini Al ve Kritik Noktaları Bul

$$T'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 36}} - 1$$

Kritik nokta: $T'(x) = 0$

$$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 36}} - 1 = 0$$

$$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 36}} = 1$$

Bu eşitlik ancak

$$x = \sqrt{x^2 + 36}$$

olduğunda sağlanır. Her iki tarafın karesi alınırsa:

$$x^2 = x^2 + 36$$

Bu mümkün değildir. Demek ki iç bölgede kritik nokta yoktur.

Adım 5: İşaret Tablosu Oluştur ve Ekstremum Noktasını Belirle

$x \geq 0$ için

$$\sqrt{x^2 + 36} > x$$

olduğundan

$$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 36}} < 1$$

Bu nedenle her $x \in [0, 8]$ için:

$$T'(x) < 0$$

Fonksiyon tüm aralıkta azalandır. Bu nedenle minimum değer sağ uç noktada alınır.

Adım 6: Cevabı Yorumla

Minimum değer $x = 8$ için elde edilir.

Bu durumda:

$$P = (8, 0)$$

$$T(8) = \sqrt{8^2 + 36} + 8 - 8 = \sqrt{100} = 10$$

Cevap: $AP + PB$ toplamı, $x = 8$ iken en küçüktür ve minimum değer 10 birimdir.

 Sınav Notları

- Maksimum-minimum sorularında önce hangi büyüklüğün optimize edildiği açıkça belirlenmelidir.

- Bulunan kritik noktanın tanım aralığında olup olmadığı mutlaka kontrol edilmelidir.

- Tanım aralığı kapalıysa uç noktalar da mutlaka karşılaştırılmalıdır.

- İşaret tablosu kurulurken türevin işaretini belirleyen asıl çarpan ayıklanmalıdır.

 Çözümlü Sorular

 Soru 1

Çevresi 40 cm olan bir dikdörtgenin alanı en çok kaç cm² olur?

Çözüm:

Dikdörtgenin kenarları $x$ ve $y$ olsun.

Çevre koşulu:

$$2x + 2y = 40$$

$$x + y = 20$$

$$y = 20 - x$$

Alan fonksiyonu:

$$A(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$$

Tanım aralığı:

$$x \in (0, 20)$$

Türev:

$$A'(x) = 20 - 2x$$

Kritik nokta:

$$20 - 2x = 0$$

$$x = 10$$

İşaret incelemesi:

Bu nedenle maksimum alan $x = 10$ için elde edilir.

$$y = 20 - 10 = 10$$

$$A_{\max} = 10 \cdot 10 = 100$$

Cevap: Maksimum alan 100 cm²'dir.

 Soru 2

Bir ürünün günlük satışından elde edilen kâr

$$K(x) = -x^2 + 12x + 5$$

fonksiyonu ile modelleniyor. Burada $x$, 0 ile 10 arasında değişen bir değerdir.

Buna göre kârın en büyük değeri kaçtır?

Çözüm:

Tanım aralığı:

$$x \in [0, 10]$$

Türev:

$$K'(x) = -2x + 12$$

Kritik nokta:

$$-2x + 12 = 0$$

$$x = 6$$

Bu değer tanım aralığındadır.

Kapalı aralık olduğundan uç noktalar da kontrol edilir:

$$K(0) = 5$$

$$K(6) = -(6)^2 + 12 \cdot 6 + 5 = -36 + 72 + 5 = 41$$

$$K(10) = -(10)^2 + 12 \cdot 10 + 5 = -100 + 120 + 5 = 25$$

Karşılaştırma yapıldığında en büyük değer 41'dir.

Cevap: Kârın en büyük değeri 41 olur.