2. Temel İntegral Alma Kuralları

2. Temel İntegral Alma Kuralları

Kuvvet kuralı · Sabit çarpan · Toplam ve fark

 2.1 Kavram

 Kural 1 — Kuvvet Kuralı

$$\boxed{\int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1,\ n \in \mathbb{R})}$$

 $$ \int \frac{1}{x} \, dx \;\neq\; \frac{x^{0}}{0} \;\leftarrow\; \text{Tanımsız!} $$

 Doğrusu: $\ln|x| + c$

Neden $n \neq -1$? $n = -1$ iken payda $0$ olur. Bu özel durumun kuralı ayrıdır (Bölüm 3).

 Kural 2 — Sabit Çarpan

$$\boxed{\int a \cdot f(x) \, dx = a \cdot \int f(x) \, dx \quad (a \in \mathbb{R})}$$

 Kural 3 — Toplam ve Fark (Doğrusallık)

$$\boxed{\int \bigl[f(x) \pm g(x)\bigr] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx}$$

 Kural 4 — Diferansiyel Formu

$$\boxed{\int d\bigl[f(x)\bigr] = f(x) + c}$$

 2.2 Örnekler

 Örnek 1 — Kuvvet kuralı:

 $$\int x^{5} \, dx$$

 Çözüm:

 Kuvvet kuralı: $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ ($n = 5$ için)

 $$= \frac{x^{5+1}}{5+1} + c = \frac{x^{6}}{6} + c$$

 Kontrol: $\left(\dfrac{x^6}{6}\right)' = x^5$ ✓

 Örnek 2 — Köklü ifade:

 $$\int \sqrt{x} \, dx$$

 Çözüm:

 Kök ifadesini üst olarak yazalım:

 $$\sqrt{x} = x^{1/2}$$

 Kuvvet kuralını uygulayalım ($n = 1/2$ için):

 $$= \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + c = \frac{x^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3}x^{3/2} + c$$

 Örnek 3 — Rasyonel ifade:

 $$\int \frac{1}{x^{3}} \, dx$$

 Çözüm:

 Kesri negatif kuvvete çevirelim:

 $$\frac{1}{x^3} = x^{-3}$$

 Kuvvet kuralını uygulayalım ($n = -3$ için):

 $$= \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + c = \frac{x^{-2}}{-2} + c = -\frac{1}{2x^{2}} + c$$

 Örnek 4 — Polinom:

 $$\int (3x^{2} + 4x - 5) \, dx$$

 Çözüm:

 Toplam/fark kuralını uygulayalım:

 $$= \int 3x^2\,dx + \int 4x\,dx - \int 5\,dx$$

 $$= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + c = x^3 + 2x^2 - 5x + c$$

 💡Sabit terim $-5$ nasıl $-5x$ oldu? $-5 = -5x^0$'dır. Kuvvet kuralıyla: $\int x^0\,dx =\dfrac{x^1}{1} = x$, dolayısıyla $\int (-5)\,dx = -5x + c$.

 Örnek 5 — Sabit çarpan:

 $$\int 7x^{4} \, dx$$

 Çözüm:

 Sabit çarpan kuralını uygulayalım:

 $$= 7 \cdot \int x^4\,dx = 7 \cdot \frac{x^{5}}{5} + c = \frac{7x^{5}}{5} + c$$

 Kontrol: $\left(\dfrac{7x^5}{5}\right)' = 7x^4$ ✓

 Örnek 6:

 $$\int(4x^3 - 6x^2 + 2x - 1)\,dx$$

 Çözüm:

 Kural 3'e göre terim terim integre edelim:

 $$= \int 4x^3\,dx - \int 6x^2\,dx + \int 2x\,dx - \int 1\,dx$$

 $$= 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + c$$

 $$= x^4 - 2x^3 + x^2 - x + c$$

 Örnek 7:

 $$\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$$

 Çözüm:

 Kök ifadesini negatif kuvvete çevirelim:

 $$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$$

 Kuvvet kuralını uygulayalım:

 $$\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + c = \frac{x^{1/2}}{1/2} + c = 2x^{1/2} + c = 2\sqrt{x} + c$$

 3. Temel İntegral Formülleri

1/x · eˣ· aˣ· trigonometrik formüller

 3.1 Kavram

Bölüm 1'de türev ve integralin birbirinin tersi olduğunu, Bölüm 2'de ise kuvvet kuralıyla çoğu fonksiyonun integralini almayı öğrendik. Ama matematikte her şey $x^n$ gibi davranmaz.

Düşün ki elinde bir tornavida seti var: düz ve yıldız uçlar iş görüyor ama bazı vidalar vardır; tork, altıgen, pentalobe, ki bunlar için ayrı uçlar gerekir. İşte bu bölümde, kuvvet kuralının kapsayamadığı özel fonksiyonlar için o ayrı uçları, yani temel formülleri topluyoruz.

Her formülün sağındaki "Doğrulama" sütununa dikkat et: Bu tabloyu ezberleme diye ezberlemene gerek yok. Çünkü her satır, aslında zaten bildiğin türev bilgisinin aynısı. $(e^x)' = e^x$ biliyorsan, $e^x$'in integrali $e^x$ olur. $(|x|)' = 1/x$ biliyorsan, $1/x$'in integrali $|x|$ olur. Türevi tersine çevirmek, integral demektir.

Kuvvet kuralının kapsayamadığı fonksiyonlar için ezberlenecek temel formüller:

 🚨 Kritik: $\displaystyle\int\frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + c$. Güç kuralını uygulayıp $\frac{x^0}{0}$ yazma — payda $0$ olur, tanımsız!

 💡 Hatırlatma: $\int\tan x\,dx$ → negatif kosinüsün logaritması; $\int\cot x\,dx$ → sinüsün logaritması.

 3.2 Örnekler

 Örnek 1:

 $$\int \frac{2x+1}{x} \, dx$$

 Çözüm:

 Kesri ayıralım:

 $$\int \frac{2x+1}{x} \, dx = \int \left(2 + \frac{1}{x}\right)dx$$

 Terim terim integre edelim:

 $$= \int 2\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx = 2x + \ln|x| + c$$

 Örnek 2:

 $$\int (e^x + 3^x) \, dx$$

 Çözüm:

 Toplam kuralını uygulayalım:

 $$\int e^x\,dx + \int 3^x\,dx$$

 Temel formüller tablosundan:

• $\int e^x\,dx = e^x + c_1$
• $\int 3^x\,dx = \dfrac{3^x}{\ln 3} + c_2$

 Dolayısıyla:

 $$= e^x + \frac{3^x}{\ln 3} + c$$

 Örnek 3:

 $$\int (\sin x - 2\cos x) \, dx$$

 Çözüm:

 Toplam/fark ve sabit çarpan kurallarını uygulayalım:

 $$\int \sin x\,dx - 2\int \cos x\,dx$$

 Temel formüller tablosundan:

• $\int \sin x\,dx = -\cos x + c_1$
• $\int \cos x\,dx = \sin x + c_2$

 Dolayısıyla:

 $$= -\cos x - 2\sin x + c$$

 3.3 Sık Yapılan Hatalar

 3.4 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $$\int x^{-3/4} \, dx$$

 Çözüm:

 $$= \frac{x^{1/4}}{1/4} + c = 4x^{1/4} + c = 4\sqrt[4]{x} + c$$

 Örnek 2:

 $$\int (4x^3 - 3x^2 + 2x - 1) \, dx$$

 Çözüm:

 $$= x^4 - x^3 + x^2 - x + c$$

 Örnek 3:

 $$\int \frac{x^3 + 1}{x^2} \, dx$$

 Çözüm:

 $$= \int \left(x + \frac{1}{x^2}\right) dx = \int x \, dx + \int x^{-2} \, dx = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + c$$

 Örnek 4:

 $$\int (2^x + e^x) \, dx$$

 Çözüm:

 $$= \frac{2^x}{\ln 2} + e^x + c$$

 Örnek 5:

 $$\int (\sin x + \cos x + x) \, dx$$

 Çözüm:

 $$= -\cos x + \sin x + \frac{x^2}{2} + c$$

 Örnek 6:

 $x>0$ için $$\int \frac{x^2+1}{x}\,dx$$

 Çözüm:

 Önce kesri ayıralım:

 $$\int \frac{x^2+1}{x}\,dx = \int \left(x + \frac{1}{x}\right)dx$$

 $$= \frac{x^2}{2} + \ln x + C$$

 Örnek 7:

 $$\int 5^x\,dx$$

 Çözüm:

 Temel formüller tablosundan, $a^x$ ($a>0, a\neq1$) için:

 $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$

 $a = 5$ olduğundan:

 $$\int 5^x\,dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C$$

 Örnek 8:

 $$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx$$

 Çözüm:

 $\dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ olduğundan, temel formüller tablosundan:

 $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$

 Dolayısıyla:

 $$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$$

 Örnek 9:

 $$\int \left(e^x - \frac{1}{x} + \cos x\right)dx$$

 Çözüm:

 Terim terim integre edelim:

 $$\int e^x\,dx - \int\frac{1}{x}\,dx + \int\cos x\,dx$$

 $$= e^x - \ln|x| + \sin x + c$$