1. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

 Bölüm 1: Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 

 Değişimin ve Büyümenin Matematiksel Modeli

Daha önceki sınıflarda doğrusal ($y = ax+b$) ve ikinci dereceden ($y = ax^2+bx+c$) fonksiyonları inceledik. Bu fonksiyonlarda değişken tabanda, sabitler ise derece veya katsayı konumundaydı.

Bölüm 1'de ise değişimin çok daha hızlı gerçekleştiği yeni bir yapı devreye girer: değişkenin üste olduğu durumlar.

- Polinom tipi fonksiyonlar, sabit bir güçle değişimi söyler ($x^2, x^3$).

- Üstel fonksiyonlar, katlanarak büyümeyi veya küçülmeyi söyler ($2^x, e^x$).

AYT'de ve okul sınavlarında bu yapı; fonksiyonun tanım şartı (taban kısıtlaması), grafik yorumlama (artanlık/azalanlık) ve bir sonraki adım olan Logaritma Fonksiyonu'nun temelini oluşturması bakımından kritik bir yere sahiptir.

 Bölüm 1.1: Üstel Fonksiyon ve Üstel Fonksiyonun Grafiği

 Tanım

$a$ sayısı $1$'den farklı pozitif bir gerçek sayı ($a \in \mathbb{R}^+ - \{1\}$) olmak üzere; tanım kümesi tüm gerçek sayılar, değer kümesi pozitif gerçek sayılar olan

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \quad f(x) = a^x$$

biçimindeki fonksiyonlara tabanı $a$ olan üstel fonksiyon denir.

 Önemli Şart: Bir fonksiyonun üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının 1'den farklı pozitif bir gerçek sayı olması şarttır.

• Taban neden negatif olamaz? Tabana negatif bir sayı verildiğinde (örneğin $a = -3$), $x = 1/2$ için $(-3)^{1/2} = \sqrt{-3} \notin \mathbb{R}$ olur ve fonksiyon reel sayılarda sürekliliğini kaybeder.
• Taban neden 1 olamaz? $a = 1$ alındığında $f(x) = 1^x = 1$ elde edilir. Bu ise üstel bir artış/azalış değil, sabit fonksiyon belirtir.

 Hatırlatma (Üslü İfadeler)

İlkokul ve ortaokuldan hatırlayacağınız gibi $2 \times 2 \times 2$ çarpımı kısaca $2^3$ şeklinde yazılır. Genel olarak; $x \in \mathbb{R}$ bir sayı, $n \in \mathbb{Z}^+$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $x$'in kendisiyle $n$ defa çarpılması işlemine üslü ifade denir ve $x^n$ biçiminde gösterilir. Burada $x$'e taban, $n$'e ise üs adı verilir.

Üstel fonksiyon analizine geçmeden önce, altyapıyı oluşturan temel üslü ifade kurallarını bir tabloda toparlayalım ($x, y \in \mathbb{R}$ ve $m, n \in \mathbb{Z}^+$):

 Nerelerde Kullanılır? (Günlük Hayat Modelleri)

Üstel fonksiyonlar, bir niceliğin sabit bir zaman aralığında belirli bir oranda katlanarak çoğaldığı veya azaldığı pek çok bilimsel ve ticari alanda karşımıza çıkar:

 Üstel Fonksiyon Türleri ve Grafik Bahsi

Bir üstel fonksiyonun grafiği çizilirken, ilk olarak bağımsız değişken $x$'e birkaç farklı gerçek sayı değeri atanır ve bu değerlere karşılık gelen $f(x)$ çıktıları hesaplanır. Hesaplanan bu $(x, f(x))$ nokta çiftleri, bir değer tablosu şeklinde düzenlenir. Ardından bu noktalar koordinat düzlemine işaretlenir ve işaretlenen noktalar, fonksiyonun tanım kümesindeki sürekliliğine uygun olarak düzgün, kesintisiz bir eğri ile birleştirilir.

Bir üstel fonksiyonun ($f(x) = a^x$) grafik davranışı tamamen tabanın ($a$) değer aralığına bağlıdır.

Sözel fark:

 Taban $1$'den büyükse fonksiyon değerleri katlanarak büyür (artan); taban $0$ ile $1$ arasındaysa değerler her adımda küçülerek sıfıra yaklaşır (azalan).

 Dört Önemli Nokta

1. Grafik $x$ eksenini asla kesmez — $a^x > 0$ olduğu için grafik daima $x$ ekseninin üstünde kalır ($y=0$ çizgisi yatay asimptottur).

2. Y eksenini kestiği nokta sabittir — $x = 0$ için $f(0) = a^0 = 1$ olduğundan tüm $f(x) = a^x$ grafikleri $(0,1)$ noktasından geçer.

3. Fonksiyon bire birdir — Grafiğe uygulanan yatay doğru testinde her yatay çizgi grafiği yalnızca tek bir noktada keser.

4. Fonksiyon örten bir fonksiyondur — Değer kümesi $\mathbb{R}^+$ alındığında, her pozitif gerçek sayının pratik bir karşılığı bulunur ($f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^+$).

 Geleceğe Not: $f(x) = a^x$ fonksiyonunun bire bir ve örten olması, tersinin alınabilir olduğunu gösterir. Bu fonksiyonun tersi, bir sonraki konuda inceleyeceğimiz Logaritma Fonksiyonu olacaktır.

 Görsel Düşünme: Örnek Fonksiyon Tipleri

İki farklı üstel fonksiyon ile üstel olmayan iki yapıyı inceleyelim:

- $f(x) = 3^x$ $\rightarrow$ Taban $3 > 1$ olduğundan üstel ve artandır.

- $g(x) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x$ $\rightarrow$ Taban $0 < 1/4 < 1$ olduğundan üstel ve azalandır.

- $s(x) = 3^{-x} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ $\rightarrow$ Düzenlendiğinde taban $1/3$ olur; üstel ve azalandır.

- $h(x) = (-2)^{-x}$ $\rightarrow$ Taban negatif ($-2$) olduğu için üstel fonksiyon değildir.

- $k(x) = 1^{x+5}$ $\rightarrow$ Taban $1$ olduğu için üstel fonksiyon değildir (sabit fonksiyondur).

 Sık Yapılan Hatalar

1. Değişkeni tabanda olan ifadelerle karıştırmak — $f(x) = x^2$ bir polinom fonksiyondur; $g(x) = 2^x$ ise bir üstel fonksiyondur. İkisinin türev ve grafik davranışları tamamen farklıdır.

2. Negatif işaretin konumunu karıştırmak — $f(x) = -3^x$ ifadesinde taban $3$'tür, önündeki eksi işareti fonksiyonun sonucunu negatif yapar (üsteldir). Ancak $f(x) = (-3)^x$ ifadesinde taban $-3$ olduğu için üstel fonksiyon değildir.

3. $0 < a < 1$ durumunda tanımı kaçırmak — $f(x) = (0{,}2)^x$ ifadesi kafa karıştırabilir; $0{,}2 = 1/5$ olduğundan bu basitçe azalan bir üstel fonksiyondur.

4. Grafiğin $x$ eksenine değdiğini varsaymak — $x \to -\infty$ giderken $2^x$ sıfıra çok yaklaşır ama asla $0$ olmaz. $x$ ekseni teğet değil, asimptottur.

 Hızlı Hatırlatıcı

- Taban şartı: $a > 0$ ve $a \neq 1$.

- Tanım ve Değer Kümesi: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$.

- Artanlık: $a > 1$ ise grafik sağa doğru tırmanır.

- Azalanlık: $0 < a < 1$ ise grafik sağa doğru $x$ eksenine yaklaşır.

- Karakteristik Özellik: Bire bir ve örtendir (Tersi logaritmadır).

 Çözümlü Örnekler

Bu bölümde, yukarıda işlenen konuların pekiştirilmesi amacıyla üç başlık altında çözümlü örnekler sunulmuştur.

 A. Üslü İfade Hesaplamaları

1. $2^6 \cdot 4^3 \cdot 8^{-3}$ işleminin sonucunu bulunuz.

 Çözüm:

 Tüm terimleri $2$ tabanına çevirelim:

 $$2^6 \cdot (2^2)^3 \cdot (2^3)^{-3} = 2^6 \cdot 2^6 \cdot 2^{-9} = 2^{6+6-9} = 2^3 = 8$$

2. $\dfrac{5^{2020} + 5^{2021}}{5^{2022} - 5^{2023}}$ işleminin sonucunu bulunuz.

 Çözüm:

 Pay ve paydada ortak çarpan parantezine alalım:

 $$\text{Pay} = 5^{2020}(1+5) = 6 \cdot 5^{2020}$$

 $$\text{Payda} = 5^{2022}(1-5) = -4 \cdot 5^{2022} = -4 \cdot 5^2 \cdot 5^{2020} = -100 \cdot 5^{2020}$$

 $$\frac{6 \cdot 5^{2020}}{-100 \cdot 5^{2020}} = -\frac{6}{100} = -\frac{3}{50}$$

3. $\left(-\dfrac{1}{32}\right)^{-\frac{6}{5}}$ işleminin sonucunu bulunuz.

 Çözüm:

 $-\dfrac{1}{32} = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^5$ olduğundan (tek üs, negatif tabanla tanımlıdır):

 $$\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^5\right)^{-\frac{6}{5}} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-6} = (-2)^6 = 64$$

4. $\dfrac{2^{3,6}}{4^{-0,2}} + \dfrac{3^{-2}}{9^{-1,5}}$ işleminin sonucunu bulunuz.

 Çözüm:

 $4^{-0,2} = 2^{-0,4}$ olduğundan birinci terim: $2^{3,6-(-0,4)} = 2^{4} = 16$.

 $9^{-1,5} = 3^{-3}$ olduğundan ikinci terim: $3^{-2-(-3)} = 3^{1} = 3$.

 Toplam: $16 + 3 = 19$.

5. $\dfrac{a^4 + a^{14} + a^{24}}{a^{-4} + a^{6} + a^{16}}$ ifadesinin en sade hâlini bulunuz.

 Çözüm:

 Pay ve paydada ortak çarpan parantezine alalım:

 $$\text{Pay} = a^4(1 + a^{10} + a^{20}), \quad \text{Payda} = a^{-4}(1 + a^{10} + a^{20})$$

 Ortak çarpan sadeleşince: $\dfrac{a^4}{a^{-4}} = a^{4-(-4)} = a^8$.

6. $n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $\dfrac{5^{n+3} - 2\cdot5^{n+2} - 3\cdot5^{n+1}}{5^{n+2} + 3\cdot5^{n+1} - 20\cdot5^n}$ işleminin sonucunu bulunuz.

 Çözüm:

 Pay: $5^{n+1}(5^2 - 2\cdot5 - 3) = 5^{n+1}(25-10-3) = 12\cdot5^{n+1}$

 Payda: $5^n(5^2 + 3\cdot5 - 20) = 5^n(25+15-20) = 20\cdot5^n$

 $$\frac{12\cdot5^{n+1}}{20\cdot5^n} = \frac{12\cdot5}{20} = 3$$

7. $\dfrac{(-3^2)\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3}{(-3^{-1})^2\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^{-1}}$ işleminin sonucunu bulunuz.

 Çözüm:

 Pay: $(-9)\cdot\left(-\dfrac{1}{27}\right) = \dfrac{1}{3}$

 Payda: $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 \cdot (-9) = \dfrac{1}{9}\cdot(-9) = -1$

 $$\frac{\frac{1}{3}}{-1} = -\frac{1}{3}$$

 B. Değişken Dönüştürme ve Fonksiyon Değeri

8. $2^x=a$, $3^x=b$ ve $11^x=c$ olduğuna göre $198^x$ ifadesinin $a, b, c$ türünden eşitini bulunuz.

 Çözüm:

 $198 = 2\cdot3^2\cdot11$ olduğundan:

 $$198^x = 2^x\cdot(3^x)^2\cdot11^x = a\cdot b^2\cdot c$$

9. $5^m = \dfrac{1}{3}$ olduğuna göre $5^{1-2m}$ değerini bulunuz.

 Çözüm:

 $$5^{1-2m} = 5\cdot5^{-2m} = 5\cdot(5^m)^{-2} = 5\cdot3^2 = 45$$

10. $48^x = 3^{x+1}$ olduğuna göre $2^{4x-1}$ değerini bulunuz.

 Çözüm:

 $48 = 16\cdot3$ olduğundan:

 $$48^x = 16^x\cdot3^x = 3^{x+1} = 3^x\cdot3 \implies 16^x = 3 \implies (2^4)^x = 3 \implies 2^{4x} = 3$$

 Buradan $2^{4x-1} = \dfrac{2^{4x}}{2} = \dfrac{3}{2}$.

11. $x=2$ ve $y=-3$ olduğuna göre $y^{-x} + x^{-y}$ değerini bulunuz.

 Çözüm:

 $$y^{-x} = (-3)^{-2} = \frac{1}{9}, \qquad x^{-y} = 2^{3} = 8$$

 $$\frac{1}{9} + 8 = \frac{73}{9}$$

12. $f(x) = 2^{x+2} - 5$ olduğuna göre $f(1)$ ve $f(-3)$ değerlerini bulunuz.

 Çözüm:

 $$f(1) = 2^{3} - 5 = 3$$

 $$f(-3) = 2^{-1} - 5 = \frac{1}{2} - 5 = -\frac{9}{2}$$

13. $f(x) = 5^{x-1} + 4$ olduğuna göre $f(2)$ ve $f(-2)$ değerlerini bulunuz.

 Çözüm:

 $$f(2) = 5^{1} + 4 = 9$$

 $$f(-2) = 5^{-3} + 4 = \frac{1}{125} + 4 = \frac{501}{125}$$

 C. Tanımlanabilirlik ve Grafik Yorumlama

14. $p(x)=4^x$, $r(x)=\left(\frac15\right)^x$, $u(x)=(-2)^{-x}$, $v(x)=1^{x-3}$, $w(x)=5^{-x}$, $z(x)=x^3+3^x$ fonksiyonlarından hangileri üstel fonksiyondur?

 Çözüm:

• $p$: taban $4>0$, $4\neq1$ → üsteldir.
• $r$: taban $\frac15>0$, $\neq1$ → üsteldir.
• $u$: taban $-2$ negatif → üstel değildir.
• $v$: taban $1$ → üstel değildir (sabit fonksiyon).
• $w$: $5^{-x}=\left(\frac15\right)^x$, taban $\frac15>0$ → üsteldir.
• $z$: hem $x^3$ hem $3^x$ terimi birlikte bulunduğundan saf üstel fonksiyon formunda değildir → üstel değildir.

 Cevap: $p, r, w$.

15. $f(x) = (3m-6)^x$ fonksiyonu bir üstel fonksiyon olduğuna göre $m$'nin en geniş değer aralığını bulunuz.

 Çözüm:

 $3m-6>0 \implies m>2$

 $3m-6\neq1 \implies m\neq\dfrac{7}{3}$

 Cevap: $(2,\infty) - \left\{\dfrac{7}{3}\right\}$

16. $f(x) = (6m-18)^x$ fonksiyonu bir üstel fonksiyon olduğuna göre $m$'nin en geniş değer aralığını bulunuz.

 Çözüm:

 $6m-18>0 \implies m>3$

 $6m-18\neq1 \implies m\neq\dfrac{19}{6}$

 Cevap: $(3,\infty) - \left\{\dfrac{19}{6}\right\}$

17. $f(x)=a^x$, $g(x)=b^x$ ve $h(x)=c^x$ fonksiyonlarının grafikleri aynı koordinat düzleminde çizildiğinde, $x>0$ bölgesinde en üstte $f$, ortada $g$, en altta $h$ eğrisi yer almakta ve her üç eğri de artan bir görünüm sergilemektedir. Buna göre $a, b, c$ arasındaki sıralamayı bulunuz.

 Çözüm:

 Üç fonksiyon da artan olduğundan tabanları $1$'den büyüktür. $x>0$ bölgesinde taban büyüdükçe eğri daha hızlı yükseldiğinden, en üstteki eğri en büyük tabana sahiptir.

Cevap: $a > b > c > 1$

18. $f(x) = 5^x$ fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

 I. Fonksiyon artandır.

 II. Görüntü kümesi $\mathbb{R}^+$'dır.

 III. Fonksiyonun tersi alınabilir.

 IV. Grafik $(1,0)$ noktasından geçer.

 Çözüm:

 Taban $5>1$ olduğundan fonksiyon artandır (I doğru). Değer kümesi $\mathbb{R}^+$'dır (II doğru). Fonksiyon bire bir ve örten olduğundan tersi alınabilir (III doğru). Ancak $x=0$ için $f(0)=5^0=1$ olduğundan grafik $(0,1)$ noktasından geçer, $(1,0)$ noktasından geçmez (IV yanlış).

 Cevap: IV

 Kazanım Testi (Çözümlü)

1. Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangileri üstel fonksiyondur?

I. $f(x) = 5^x$

II. $g(x) = \left(\sqrt{2}\right)^x$

III. $h(x) = (-4)^x$

IV. $k(x) = 1^{x+2}$

 Çözüm:

 I. Taban $5 > 0$ ve $5 \neq 1$ olduğundan üstel fonksiyondur.

 II. Taban $\sqrt{2} > 0$ ve $\sqrt{2} \neq 1$ olduğundan üstel fonksiyondur.

 III. Taban $-4 < 0$ (negatif) olduğundan üstel fonksiyon değildir.

 IV. Taban $1$ olduğu için üstel fonksiyon değildir (sabit fonksiyondur).

 Cevap: I ve II.

2. $f(x) = (a - 3)^x$ fonksiyonunun bir üstel fonksiyon belirtmesi için $a$ gerçek sayısının alabileceği en geniş değer aralığını bulunuz.

 Çözüm:

 Üstel fonksiyon olma şartı: Taban pozitif olmalı ve $1$'e eşit olmamalıdır.

 1. $a - 3 > 0 \implies a > 3$

 2. $a - 3 \neq 1 \implies a \neq 4$

 Buradan en geniş tanım aralığı $(3, \infty) - \{4\}$ olarak bulunur.

3. $f(x) = \left(\dfrac{m-1}{4}\right)^x$ fonksiyonu azalan bir üstel fonksiyon olduğuna göre, $m$ tam sayısı kaç farklı değer alabilir?

 Çözüm:

 Fonksiyonun azalan üstel fonksiyon olması için tabanın $0$ ile $1$ arasında olması gerekir:

 $$0 < \frac{m-1}{4} < 1$$

 Her tarafı $4$ ile çarpalım:

 $$0 < m - 1 < 4$$

 Her tarafa $1$ ekleyelim:

 $$1 < m < 5$$

 Bu aralıktaki tam sayılar $m \in \{2, 3, 4\}$'tür.

 Cevap: $m$, $3$ farklı tam sayı değeri alabilir.

4. $f(x) = 3^{x-1} + 2$ fonksiyonunun grafiğinin $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

 Çözüm:

 Bir grafiğin $y$ eksenini kestiği noktayı bulmak için $x = 0$ verilir:

 $$f(0) = 3^{0-1} + 2 = 3^{-1} + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$$

 Grafik $y$ eksenini $(0, 7/3)$ noktasında keser.

5. $f(x) = a^x$ üstel fonksiyonunun grafiği $(2, 16)$ noktasından geçmektedir. Buna göre $f(-1)$ değeri kaçtır?

 Çözüm:

 Nokta denklemi sağlar. $x = 2$ için $f(2) = 16$ olmalıdır:

 $$a^2 = 16 \implies a = 4 \quad (a > 0 \text{ şartından dolayı } a \neq -4)$$

 Fonksiyonumuz $f(x) = 4^x$ şeklindedir.

 Buradan $f(-1) = 4^{-1} = \dfrac{1}{4}$ bulunur.