3. Aritmetik ve Geometrik Diziler

📌 Aritmetik ve Geometrik Diziler: Adım Adım Rehber

Sayıların belirli bir düzen ve ritimle dizilmesi matematikte büyüleyici yapılara yol açar. Bir merdiveni sabit adımlarla tırmanmak ile bir bakterinin her adımda çoğalarak büyümesi arasındaki fark; Aritmetik ve Geometrik dizilerin temel mantığını oluşturur.

Bu bölümde, dizilerdeki ritmi sembolize eden Toplam Sembolü ($\sum$), sabit artış gösteren Aritmetik Diziler ve katlanarak ilerleyen Geometrik Diziler konularını özgün örneklerle inceleyeceğiz.

 1️⃣ Toplam Sembolü ($\sum$)

Uzun ve ardışık sayı dizilerini toplarken tek tek yazmak yerine, matematiksel olarak kestirme bir yol kullanırız. Yunanca Sigma ($\sum$) harfiyle gösterilen bu simge, belirli bir kurala göre sıralanan terimleri toplama komutudur.

 📐 Tanım ve Bileşenler

$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ ve $k, r, n \in \mathbb{Z}$ ($r \leq n$) olmak üzere;

$$\sum_{k=r}^n f(k) = f(r) + f(r+1) + f(r+2) + \dots + f(n)$$

 $k$ (İndis/Değişken): Adım adım artacak olan değişkendir.

 $r$ (Alt Sınır): Saymaya başlanacak ilk tamsayı değeridir.

 $n$ (Üst Sınır): Saymanın biteceği son tamsayı değeridir.

 ✍️ Çözümlü Özgün Örnekler

 🧩 Örnek 1

$$\sum_{k=3}^{7} (2k - 1)$$

ifadesinin değerini hesaplayınız.

Çözüm:

Değişkenimiz $k$, $3$'ten başlayıp $7$'ye kadar birer birer artarak fonksiyonda yerine yazılır:

 $k = 3 \implies 2(3) - 1 = 5$

 $k = 4 \implies 2(4) - 1 = 7$

 $k = 5 \implies 2(5) - 1 = 9$

 $k = 6 \implies 2(6) - 1 = 11$

 $k = 7 \implies 2(7) - 1 = 13$

Elde edilen değerler toplanır:

$$\sum_{k=3}^{7} (2k - 1) = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = \mathbf{45}$$

 🧩 Örnek 2

$$6 + 10 + 14 + 18 + \dots + 38$$

ardışık toplamını toplam sembolü ($\sum$) kullanarak ifade ediniz.

Çözüm:

1. Kuralı Bulalım: Terimler 4'er 4'er artmaktadır. Dolayısıyla kural $4k + b$ formundadır.

   İlk terim ($k=1$ için) $6$ olmalıdır: $4(1) + 2 = 6$. Kuralımız $f(k) = 4k + 2$ olur.

2. Üst Sınırı Bulalım: Son terim $38$'dir.

   $$4k + 2 = 38 \implies 4k = 36 \implies k = 9$$

Toplam sembolü gösterimi:

$$\sum_{k=1}^{9} (4k + 2)$$

 🧩 Örnek 3

$$\sum_{k=1}^{5} (3k - 2)$$

ifadesinin açık toplamını yazarak sonucunu bulunuz.

Çözüm:

İndis değişkeni $k$, $1$'den başlayarak $5$'e kadar birer artırılarak fonksiyonda yerine yazılır:

 $k = 1 \implies 3(1) - 2 = 1$

 $k = 2 \implies 3(2) - 2 = 4$

 $k = 3 \implies 3(3) - 2 = 7$

 $k = 4 \implies 3(4) - 2 = 10$

 $k = 5 \implies 3(5) - 2 = 13$

$$\sum_{k=1}^{5} (3k - 2) = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = \mathbf{35}$$

 🧩 Örnek 4

$$7 + 11 + 15 + 19 + \dots + 43$$

ardışık toplamını toplam sembolü ($\sum$) kullanarak gösteriniz.

Çözüm:

1. Genel Kuralı Bulalım: Terimler 4'er 4'er artmaktadır. Kural $4k + b$ formundadır.

   İlk terim ($k = 1$ için) $7$ olmalıdır: $4(1) + 3 = 7$. Buradan $f(k) = 4k + 3$ bulunur.

2. Üst Sınırı Bulalım: Son terim $43$'tür.

   $$4k + 3 = 43 \implies 4k = 40 \implies k = 10$$

İfadenin gösterimi:

$$\sum_{k=1}^{10} (4k + 3)$$

 🧩 Örnek 5 (Çoktan Seçmeli / Farklı Gösterimler)

$$9 + 14 + 19 + \dots + 64$$

toplamının $\sum$ sembolü ile ifadesi aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) $\sum_{k=1}^{12} (5k + 4)$

B) $\sum_{k=0}^{11} (5k + 9)$

C) $\sum_{k=2}^{13} (5k - 1)$

D) $\sum_{k=1}^{12} (5k + 9)$

Çözüm:

Dizinin terimleri 5'er artmaktadır.

 A Şıkkı: $k=1 \implies 9$, $k=12 \implies 64$. Doğru.

 B Şıkkı: $k=0 \implies 9$, $k=11 \implies 64$. Doğru (indis ötelemesi yapılmış).

 C Şıkkı: $k=2 \implies 9$, $k=13 \implies 64$. Doğru.

 D Şıkkı: $k=1 \implies 14$ olur, ilk terimi $9$ vermediği için bu toplamı ifade edemez.

Cevap: D

 2️⃣ Aritmetik Diziler ve Özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir.

 📐 Temel Kavramlar ve Formüller

 Ortak Fark ($d$): Dizideki iki ardışık terim arasındaki sabit farktır:

  $$d = a_{n+1} - a_n$$

 Genel Terim ($a_n$): İlk terimi $a_1$ ve ortak farkı $d$ olan dizinin $n$. terimi:

  $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

 Terimler Arası Geçiş: Herhangi bir $a_p$ teriminden $a_n$ terimine ulaşmak için:

  $$a_n = a_p + (n - p) \cdot d \implies d = \frac{a_n - a_p}{n - p}$$

 Aritmetik Orta ve Eşit Uzaklık:

  Bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin aritmetik ortalamasıdır:

  $$a_k = \frac{a_{k-m} + a_{k+m}}{2}$$

  Ayrıca, baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı eşittir:

  $$x + y = z + t \implies a_x + a_y = a_z + a_t$$

 ✍️ Çözümlü Özgün Örnekler

 🧩 Örnek 6

Bir aritmetik dizide 5. terim $a_5 = 19$ ve 11. terim $a_{11} = 43$'tür.

a) Bu dizinin ortak farkını ($d$) bulunuz.

b) Dizinin genel terimini ($a_n$) yazınız.

Çözüm:

a) Terimler arası fark formülünden:

$$d = \frac{a_{11} - a_5}{11 - 5} = \frac{43 - 19}{6} = \frac{24}{6} = \mathbf{4}$$

b) Genel terimi bulmak için $a_5$'i kullanalım:

$$a_n = a_5 + (n - 5) \cdot d$$

$$a_n = 19 + (n - 5) \cdot 4$$

$$a_n = 19 + 4n - 20 = \mathbf{4n - 1}$$

 🧩 Örnek 7

Bir aritmetik dizide $a_3 + a_7 + a_{11} + a_{15} = 72$ olduğuna göre, bu dizinin 9. terimi ($a_9$) kaçtır?

Çözüm:

İndislerin simetrisine dikkat edelim:

 $3 + 15 = 18 \implies a_3 + a_{15} = 2 \cdot a_9$

 $7 + 11 = 18 \implies a_7 + a_{11} = 2 \cdot a_9$

Denklemde yerlerine koyalım:

$$(a_3 + a_{15}) + (a_7 + a_{11}) = 72$$

$$2 \cdot a_9 + 2 \cdot a_9 = 72$$

$$4 \cdot a_9 = 72 \implies a_9 = \mathbf{18}$$

 🧩 Örnek 8

Bir aritmetik dizide 4. terim $a_4 = 15$ ve 8. terim $a_8 = 31$'dir.

a) Dizinin ortak farkını ($d$) bulunuz.

b) Dizinin 12. terimini ($a_{12}$) bulunuz.

Çözüm:

a) İki terim arasındaki fark formülünden:

$$d = \frac{a_8 - a_4}{8 - 4} = \frac{31 - 15}{4} = \frac{16}{4} = \mathbf{4}$$

b) $a_{12}$ terimini $a_8$ kullanarak bulalım:

$$a_{12} = a_8 + (12 - 8) \cdot d = 31 + 4 \cdot 4 = 31 + 16 = \mathbf{47}$$

 🧩 Örnek 9 (Araya Terim Yerleştirme)

$4$ ile $46$ sayıları arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik bir dizi oluşturacak şekilde 6 tane terim yerleştiriliyor. Oluşan dizinin ortak farkı ($d$) kaçtır?

Çözüm:

İlk terim $a_1 = 4$, son terim ise $a_8 = 46$ olur (Araya 6 terim eklenince toplam terim sayısı $1 + 6 + 1 = 8$ olur).

$$a_8 = a_1 + 7d \implies 46 = 4 + 7d \implies 42 = 7d \implies d = \mathbf{6}$$

 🧩 Örnek 10 (Aritmetik Dizi Doğrulama)

Bir dizide $a_2 = 8$, $a_6 = 20$ ve $a_9 = 30$ olarak verilmiştir. Bu dizi bir aritmetik dizi olabilir mi?

Çözüm:

Ortak farkın ($d$) sabit olması gerekir:

 $a_2$ ve $a_6$ arasından: $d_1 = \dfrac{20 - 8}{6 - 2} = \dfrac{12}{4} = 3$

 $a_6$ ve $a_9$ arasından: $d_2 = \dfrac{30 - 20}{9 - 6} = \dfrac{10}{3}$

$d_1 \neq d_2$ olduğundan terimler arasındaki artış miktarı sabit değildir. Bu nedenle dizi bir aritmetik dizi olamaz.

 3️⃣ Aritmetik Dizinin İlk $n$ Teriminin Toplamı ($S_n$)

Bir aritmetik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ olarak gösterilir.

 📐 Formüller

 Son Terim ($a_n$) Biliniyorsa:

  $$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$$

 Ortak Fark ($d$) Biliniyorsa:

  $$S_n = \frac{n}{2} \cdot \left[2a_1 + (n - 1)d\right]$$

 💡Altın Kural:

 Bir dizinin ilk $n$ terim toplamı $S_n$ verildiyse, herhangi bir $a_n$ terimi şu şekilde bulunur:

 $$a_n = S_n - S_{n-1}$$

 ✍️ Çözümlü Özgün Örnekler

 🧩 Örnek 11

İlk terimi $a_1 = 6$ ve ortak farkı $d = 3$ olan bir aritmetik dizinin ilk 16 teriminin toplamını ($S_{16}$) bulunuz.

Çözüm:

$n = 16$, $a_1 = 6$ ve $d = 3$ değerlerini formülde uygulayalım:

$$S_{16} = \frac{16}{2} \cdot \left[2(6) + (16 - 1) \cdot 3\right]$$

$$S_{16} = 8 \cdot \left[12 + 15 \cdot 3\right]$$

$$S_{16} = 8 \cdot (12 + 45) = 8 \cdot 57 = \mathbf{456}$$

 🧩 Örnek 12

İlk $n$ teriminin toplamı $S_n = 2n^2 + 5n$ olan bir dizinin 7. terimini ($a_7$) bulunuz.

Çözüm:

$a_7$ terimini bulmak için ilk 7 terimin toplamından ($S_7$) ilk 6 terimin toplamını ($S_6$) çıkarmalıyız:

 $S_7 = 2(7)^2 + 5(7) = 98 + 35 = 133$

 $S_6 = 2(6)^2 + 5(6) = 72 + 30 = 102$

$$a_7 = S_7 - S_6 = 133 - 102 = \mathbf{31}$$

 🧩 Örnek 13

İlk terimi $a_1 = 10$ ve 15. terimi $a_{15} = 66$ olan bir aritmetik dizinin ilk 15 teriminin toplamını ($S_{15}$) bulunuz.

Çözüm:

Son terim bilindiği için $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$ formülünü kullanırız:

$$S_{15} = \frac{15}{2}(10 + 66) = \frac{15}{2} \cdot 76 = 15 \cdot 38 = \mathbf{570}$$

 🧩 Örnek 14

İlk $n$ teriminin toplamı $S_n = 2n^2 - n$ olan bir aritmetik dizinin:

a) 8. terimini ($a_8$) bulunuz.

b) Ortak farkını ($d$) bulunuz.

Çözüm:

a) $a_8 = S_8 - S_7$

 $S_8 = 2(8)^2 - 8 = 128 - 8 = 120$

 $S_7 = 2(7)^2 - 7 = 98 - 7 = 91$

 $a_8 = 120 - 91 = \mathbf{29}$

b) Ortak fark için $a_1$ ve $a_2$'yi bulalım:

 $a_1 = S_1 = 2(1)^2 - 1 = 1$

 $S_2 = 2(2)^2 - 2 = 6 \implies a_2 = S_2 - S_1 = 6 - 1 = 5$

 $d = a_2 - a_1 = 5 - 1 = \mathbf{4}$

 🧩 Örnek 15 (Simetrik İndis ve Toplam Bağıntısı)

Bir aritmetik dizide $a_2 + a_4 + a_8 + a_{10} = 48$ veriliyor. Buna göre bu dizinin ilk 11 terim toplamı ($S_{11}$) kaçtır?

Çözüm:

İndis simetrisine bakalım: $2 + 10 = 4 + 8 = 12 \implies a_2 + a_{10} = a_4 + a_8 = 2 \cdot a_6$

$$(a_2 + a_{10}) + (a_4 + a_8) = 48 \implies 4a_6 = 48 \implies a_6 = 12$$

İlk 11 terim toplamı:

$$S_{11} = \frac{11}{2}(a_1 + a_{11}) = \frac{11}{2}(2 \cdot a_6) = 11 \cdot a_6 = 11 \cdot 12 = \mathbf{132}$$

 4️⃣ Geometrik Diziler ve Özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki oranı sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Terimler bir katlanma veya küçülme ritmiyle ilerler.

 📐 Temel Kavramlar ve Formüller

 Ortak Çarpan ($r$): Ardışık iki terim arasındaki orandır:

  $$r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

 Genel Terim ($a_n$): İlk terimi $a_1$ ve ortak çarpanı $r$ olan dizinin genel terimi:

  $$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$

 Terimler Arası Geçiş:

  $$a_n = a_k \cdot r^{n-k} \implies r^{n-k} = \frac{a_n}{a_k}$$

 Geometrik Orta: Pozitif terimli bir geometrik dizide bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasıdır:

  $$a_k = \sqrt{a_{k-m} \cdot a_{k+m}}$$

 📌Özel Durum:

 Bir dizi hem aritmetik hem de geometrik ise terimleri arasındaki fark $0$, oranı $1$'dir. Yani bu dizi bir sabit dizidir ($a_1 = a_2 = a_3 = \dots$).

 ✍️ Çözümlü Özgün Örnekler

 🧩 Örnek 16

Pozitif terimli bir geometrik dizide $a_2 = 12$ ve $a_6 = 192$ olduğuna göre:

a) Dizinin ortak çarpanını ($r$) bulunuz.

b) Dizinin ilk terimini ($a_1$) bulunuz.

Çözüm:

a) Terimler arası ilişkiyi kurgulayalım:

$$a_6 = a_2 \cdot r^{6-2} \implies 192 = 12 \cdot r^4$$

$$r^4 = \frac{192}{12} = 16 \implies r = \mathbf{2} \quad (\text{Pozitif terimli olduğu için } r > 0)$$

b) $a_1$ terimini bulalım:

$$a_2 = a_1 \cdot r \implies 12 = a_1 \cdot 2 \implies a_1 = \mathbf{6}$$

 🧩 Örnek 17

$(x - 1)$, $(x + 2)$ ve $(x + 8)$ terimleri sırasıyla pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk üç terimidir. Buna göre $x$ kaçtır?

Çözüm:

Geometrik ortalama özelliğine göre ortadaki terimin karesi, baştaki ve sondaki terimin çarpımına eşittir:

$$(x + 2)^2 = (x - 1) \cdot (x + 8)$$

$$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 7x - 8$$

Her iki taraftaki $x^2$ terimleri sadeleşir:

$$4x + 4 = 7x - 8$$

$$12 = 3x \implies x = \mathbf{4}$$

Kontrol: $x = 4$ için terimler $x-1=3$, $x+2=6$, $x+8=12$ olur. Gerçekten $\dfrac{6}{3} = \dfrac{12}{6} = 2$ olduğundan ortak çarpan sabittir ve terimler pozitiftir. ✓

 🧩 Örnek 18 (Dizi Türünü Belirleme ve Terim Bulma)

Genel terimleri $(a_n) = 4n + 1$ ve $(b_n) = 3 \cdot 2^n$ olan iki diziden hangisi geometrik dizidir? Geometrik dizi olanın 5. terimini bulunuz.

Çözüm:

 $(a_n)$ dizisinde artış toplamsaldır ($+4$), yani aritmetik dizidir.

 $(b_n)$ dizisinde ardışık oran $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{3 \cdot 2^{n+1}}{3 \cdot 2^n} = 2$ sabittir. Dolayısıyla $(b_n)$ geometrik dizidir.

5. terim: $b_5 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = \mathbf{96}$

 🧩 Örnek 19 (Eşit Uzaklıktaki Terimlerin Çarpımı)

$$\left(\frac{1}{4},\ \frac{1}{2},\ a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ 32\right)$$

dizisi pozitif terimli bir geometrik dizi olduğuna göre $b \cdot c$ çarpımı kaçtır?

Çözüm:

Sırasıyla $a_1=\frac14$, $a_2=\frac12$, $a_3=a$, $a_4=b$, $a_5=c$, $a_6=d$, $a_7=e$, $a_8=32$ olsun. Ortak çarpan $r = \dfrac{a_2}{a_1} = 2$'dir; kontrol: $a_8 = a_1 \cdot r^7 = \frac14 \cdot 128 = 32$ ✓ (dizi tutarlıdır).

Geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı sabittir:

$$a_1 \cdot a_8 = a_2 \cdot a_7 = a_3 \cdot a_6\ (a \cdot d) = a_4 \cdot a_5\ (b \cdot c)$$

$$b \cdot c = a_1 \cdot a_8 = \frac{1}{4} \cdot 32 = \mathbf{8}$$

 🧩 Örnek 20 (Üstel Bağıntılar ve Çarpım)

Pozitif terimli bir geometrik dizide $a_n \cdot a_{n+2} \cdot a_{n+4} = 8^{n-2}$ bağıntısı sağlandığına göre $a_4$ terimi kaçtır?

Çözüm:

Eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortasından: $a_n \cdot a_{n+4} = (a_{n+2})^2$ olur.

$$(a_{n+2})^2 \cdot a_{n+2} = (a_{n+2})^3 = 8^{n-2} = (2^3)^{n-2} = 2^{3n-6}$$

Her iki tarafın küp kökü alınırsa:

$$a_{n+2} = 2^{n-2}$$

$a_4$ için $n=2$ yazılır:

$$a_4 = 2^{2-2} = 2^0 = \mathbf{1}$$

 5️⃣ Geometrik Dizinin İlk $n$ Teriminin Toplamı ($S_n$)

İlk terimi $a_1$ ve ortak çarpanı $r$ ($r \neq 1$) olan bir geometrik dizinin ilk $n$ terim toplamı şu formülle hesaplanır:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{veya} \quad S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$$

 ✍️ Çözümlü Özgün Örnekler

 🧩 Örnek 21

İlk terimi $a_1 = 3$ ve ortak çarpanı $r = 2$ olan bir geometrik dizinin ilk 8 teriminin toplamını ($S_8$) bulunuz.

Çözüm:

Formülü uygulayalım:

$$S_8 = a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1} = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} = 3 \cdot 255 = \mathbf{765}$$

 🧩 Örnek 22 (İlk $n$ Terim Toplamı ve Oran)

İlk terimi $a_1 = 3$ ve ortak çarpanı $r = 2$ olan pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk 8 teriminin toplamının ($S_8$), ilk 4 teriminin toplamına ($S_4$) oranı kaçtır?

Çözüm:

$S_n = a_1 \cdot \dfrac{r^n - 1}{r - 1}$ formülünden taraf tarafa oranlayalım:

$$\frac{S_8}{S_4} = \frac{a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1}}{a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1}} = \frac{r^8 - 1}{r^4 - 1}$$

İki kare farkı açılımı yaparsak:

$$\frac{S_8}{S_4} = \frac{(r^4 - 1)(r^4 + 1)}{r^4 - 1} = r^4 + 1$$

$r = 2$ yerine koyalım:

$$2^4 + 1 = 16 + 1 = \mathbf{17}$$

 6️⃣ Karma ve Gerçek Hayat Problemleri

 🧩 Örnek 23 (Hem Aritmetik Hem Geometrik Dizi)

$$(2x - 3,\ 5,\ 3y + 2)$$

üçlüsü hem aritmetik hem de geometrik bir dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre $x + y$ toplamı kaçtır?

Çözüm:

 💡Altın Kural: Bir dizi hem aritmetik hem geometrik ise sabit dizidir (tüm terimleri birbirine eşittir).

1. $2x - 3 = 5 \implies 2x = 8 \implies x = 4$

2. $3y + 2 = 5 \implies 3y = 3 \implies y = 1$

$$x + y = 4 + 1 = \mathbf{5}$$

 🧩 Örnek 24 (Günlük Hayat / Büyüme Problemi)

Bir dijital içerik üreticisinin takipçi sayısı her ay bir önceki ayın 3 katına çıkmaktadır.

İlk ay 200 takipçisi olan bu üreticinin 6 ay boyunca kazandığı toplam takipçi sayısını veren hesabı yapınız.

Çözüm:

 İlk terim ($a_1$): $200$

 Ortak çarpan ($r$): $3$

 Ay sayısı ($n$): $6$

Altı ay boyunca elde edilen toplam takipçi sayısı ilk 6 terimin toplamıdır ($S_6$):

$$S_6 = a_1 \cdot \frac{r^6 - 1}{r - 1} = 200 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 200 \cdot \frac{729 - 1}{2}$$

$$S_6 = 200 \cdot \frac{728}{2} = 100 \cdot 728 = \mathbf{72.800}$$

 

 🧩 Örnek 25 (Bakteri Çoğalması)

Bir laboratuvardaki bakteri türü her 20 dakikada bir ikiye katlanmaktadır.

Başlangıçta kapta 10 bakteri bulunduğuna göre, 3 saatin sonunda ortamda toplam kaç bakteri oluşur?

Çözüm:

 Zaman: 3 saat = 180 dakika.

 Adım sayısı ($n$): $\dfrac{180}{20} = 9$ kez çoğalma gerçekleşir.

 İlk durum $a_0 = 10$, ortak çarpan $r = 2$.

9. adım sonundaki terim:

$$a_9 = a_0 \cdot r^9 = 10 \cdot 2^9 = 10 \cdot 512 = \mathbf{5120\ \text{bakteri}}$$

 🧩 Örnek 26 (Koltuk Düzeni / Tiyatro Salonu)

Bir tiyatro salonunda ilk sırada 12 koltuk vardır. Sonraki her sıra bir önceki sıradan 3 koltuk daha fazla barındırmaktadır.

Salonun toplam kapasitesi 390 koltuk olduğuna göre, salonda kaç sıra koltuk bulunmaktadır?

Çözüm:

 $a_1 = 12$, $d = 3$, $S_n = 390$

 $S_n = \dfrac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]$ formülünü uygulayalım:

$$390 = \frac{n}{2}[2(12) + (n - 1)3]$$

$$780 = n[24 + 3n - 3]$$

$$780 = n(3n + 21) \implies 780 = 3n^2 + 21n$$

Her iki tarafı 3'e bölelim:

$$n^2 + 7n - 260 = 0$$

Çarpanlarına ayıralım: $(n + 20)(n - 13) = 0$

Sıra sayısı negatif olamayacağından $n = \mathbf{13}$ bulunur.

 🧩 Örnek 27 (Bilye Paylaşımı)

Ahmet, Burak ve Mert isimli üç arkadaş bir torbadaki bilyeleri şu kurala göre paylaşıyor:

1. Ahmet ilk adımda $x$ tane bilye alır.

2. Burak, Ahmet'ten $d$ tane fazla bilye alır ($x + d$).

3. Mert, Burak'tan $d$ tane fazla bilye alır ($x + 2d$).

Bu şekilde sırayla bilye almaya devam eden arkadaşlar 4'er kez bilye aldıklarında torbadaki 384 bilyenin tamamı tükenmektedir. Mert'in aldığı toplam bilye sayısı 144 olduğuna göre, Ahmet ilk adımda kaç bilye almıştır ($x$)?

Çözüm:

Toplam 12 çekim yapılmıştır ve alınan bilyeler ortak farkı $d$ olan bir aritmetik dizi oluşturur.

 İlk terim $a_1 = x$, terim sayısı $n = 12$, toplam $S_{12} = 384$.

$$S_{12} = \frac{12}{2}[2x + 11d] = 384 \implies 6(2x + 11d) = 384 \implies \mathbf{2x + 11d = 64}$$

Mert'in aldığı terimler $a_3, a_6, a_9, a_{12}$'dir:

$$a_3 + a_6 + a_9 + a_{12} = 144$$

$$(x + 2d) + (x + 5d) + (x + 8d) + (x + 11d) = 144 \implies \mathbf{4x + 26d = 144}$$

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim:

1. İlk denklemi $-2$ ile çarpıp ikincisiyle toplayalım:

$$-4x - 22d = -128$$

$$4x + 26d = 144$$

$$4d = 16 \implies \mathbf{d = 4}$$

2. $d = 4$ değerini birinci denklemde yerine koyalım:

$$2x + 11(4) = 64 \implies 2x + 44 = 64 \implies 2x = 20 \implies \mathbf{x = 10}$$

Kontrol: $a_1=10, d=4$ ile terimler: $10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,54$. Toplam $=384$ ✓. Mert'in terimleri $a_3=18, a_6=30, a_9=42, a_{12}=54$, toplamları $=144$ ✓.

Ahmet ilk adımda 10 bilye almıştır.

 💡 Özet Karşılaştırma Tablosu