5. Deneysel ve Teorik Olasılık

Bölüm 2: Deneysel ve Teorik Olasılık — Giriş

 Olasılık konusunun ikinci ana kolu

Bölüm 1'de teorik çerçevede çalıştık: koşullu olasılık, bağımlı/bağımsız olaylar ve bileşik olaylar. Bu hesaplar, matematiksel model ve eş olası durum varsayımına dayanır.

Bölüm 2'de ikinci bir bakış açısı devreye girer: gerçek deneylerin sonuçları.

- Teorik olasılık, "olması gerekeni" söyler.

- Deneysel olasılık, "denemelerde gerçekten ne olduğunu" söyler.

AYT'de bu iki kavram çoğu zaman birlikte sorulur: teorik değer hesaplanır, deneysel sonuçla karşılaştırılır veya deneme sayısından beklenen frekans bulunur.

 Bölüm 2.1: Deneysel ve Teorik Olasılığın İlişkilendirilmesi

 Tanım

Teorik olasılık, eş olası durumlara dayanan matematiksel bir hesaptır; deney yapılmadan, örnek uzayın yapısından belirlenir:

$$P(A) = \frac{\text{A olayını sağlayan eş olası durum sayısı}}{\text{Tüm eş olası durum sayısı}}$$

Deneysel olasılık (göreli sıklık), gerçek bir deneyin sonuçlarından elde edilen gözlemsel bir orandır:

$$f = \frac{k}{n} \qquad \Rightarrow \qquad P(A) \approx \frac{k}{n}$$

- $k$: A olayının gerçekleşme sayısı, $n$: toplam deneme sayısı.

- $\approx$ işareti, deneysel sonucun teorik değere yaklaşımını ifade eder; $=$ değildir.

Deneysel ve teorik olasılığın ilişkilendirilmesi, matematiksel olarak hesaplanan olasılık değerinin, gerçek deneylerde elde edilen göreli sıklıkla karşılaştırılması ve deneme sayısı arttıkça deneysel sonucun teorik değere yaklaşması ilkesidir:

 Teorik olasılık, uzun vadede deneysel sonucun yaklaşması beklenen değerdir; deneysel olasılık ise bu beklentinin kısa vadeli gözlemlenmiş halidir.

Bu ilişkinin temelini Büyük Sayılar Yasası oluşturur: deneme sayısı arttıkça, deneysel olasılık (göreli sıklık) teorik olasılığa yaklaşır. Ama bu bir yakınsama ilkesidir, kesinlik değildir — $n$ arttıkça $k/n$'in $P(A)$'ya yaklaşması beklenir, her deneyde birebir eşitlenmesi garanti edilmez.

Beklenen frekans, $n$ denemede A olayının beklenen gerçekleşme sayısıdır:

$$\text{Beklenen frekans} = n \cdot P(A)$$

 Dikkat: "Beklenen" bir garanti değil, ortalama tahmindir. Beklenen frekans ile gerçekleşen frekans ($k$) farklı kavramlardır; birbirine yakın ama genelde eşit olmayan iki değerdir.

 İki kavramı yan yana koyalım

Sözel fark:

 Teorik olasılık henüz deney yapılmadan hesaplanır; deneysel olasılık deney yapıldıktan sonra gözlemlenen orandır.

 Dört önemli nokta

1. Teorik olasılık deneyden bağımsızdır — zar hiç atılmasa bile $P(6) = 1/6$ hesaplanabilir; bu, örnek uzayın yapısına dayanır.

2. Deneysel olasılık deneye bağımlıdır — aynı deney farklı kişilerce tekrarlandığında farklı $k/n$ değerleri çıkabilir, özellikle $n$ küçükken.

3. Büyük Sayılar Yasası bir yakınsama ilkesidir, kesinlik değil.

4. Beklenen frekans ile gerçekleşen frekans farklıdır — beklenen frekans ($n \cdot P(A)$) teorik bir hesap, gerçekleşen frekans ($k$) deneyde fiilen sayılan sonuçtur.

 Görsel düşünme: Deneme sayısı arttıkça yakınsama

Adil bir madeni para tekrar tekrar atılıyor; A: tura gelmesi, teorik olasılık $P(A) = 0{,}5$.

Grafiğin sözel okuması: Az denemede ($n=10$) deneysel sonuç teorikten belirgin sapabilir ($0{,}60$, teorikten $0{,}10$ uzakta); çok denemede ($n=10\,000$) deneysel sonuç teorik değere iyice yaklaşır ($0{,}5008$, teorikten yalnızca $0{,}0008$ uzakta).

 Beklenen ile gerçekleşenin karşılaştırılması

Adil bir zarla 600 atış yapılıyor; beklenen frekans $600 \times \frac{1}{6} = 100$ idi.

 Aynı deneyde 600 atışın sonunda 6 sayısının 98 kez geldiği gözlemlenmiş olsun. Beklenen frekans $100$ idi, gerçekleşen frekans ise $98$'dir — aradaki fark yalnızca $2$'dir ve bu, "ortalama tahmin" ilkesiyle tamamen tutarlı, makul bir sapmadır.

 Somut örnekle sözel anlatım

Bir kutuda eş olası 5 top vardır: 2'si kırmızı, 3'ü mavi. Kutudan geri koyularak 500 kez top çekiliyor ve 187 kez kırmızı top geldiği gözlemleniyor.

Teorik olasılık:

 Kutuda 5 top var, 2'si kırmızı → $P(\text{kırmızı}) = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$

Deneysel olasılık:

 500 denemede 187 kez kırmızı geldi → $f = \dfrac{187}{500} = 0{,}374$

Karşılaştırma:

 Teorik değer $0{,}4$, deneysel değer $0{,}374$'tür. Aradaki fark $0{,}026$ — 500 denemede beklenen küçük bir sapmadır; deneme sayısı arttıkça bu farkın küçülmesi beklenir.

Beklenen frekans:

 500 çekimde kırmızı topun beklenen gerçekleşme sayısı: $500 \times \frac{2}{5} = 200$. Gerçekte gözlemlenen sayı ise 187'dir — beklenenden 13 az, ama makul bir sapma aralığındadır.

 Sınavda kullanılabilecek ifadeler

Hangi formülü kullanmalı? Karar mantığı:

 Soruda "kaç kez gözlemlendi / denendi" gibi somut deney verisi varsa deneysel formül ($k/n$) kullanılır. Deney verisi yoksa, eş olası durumlardan teorik formül ($P(A)$) hesaplanır. Teorik değer bulunduktan sonra, soruda deneme sayısı $n$ ayrıca verilmişse, beklenen frekans ($n \cdot P(A)$) da hesaplanabilir.

 Sık yapılan hatalar

1. Deneysel olasılığı kesin sonuç sanmak — $f = k/n$ bir yaklaşık değerdir; $\approx$ yerine $=$ kullanmak kavramsal bir hatadır.

2. Az deneme sayısıyla teorik değere itiraz etmek — "100 atışta 6 hiç gelmedi, demek ki zar hileli" gibi bir çıkarım yanlıştır; küçük örneklemde büyük sapmalar normaldir, Büyük Sayılar Yasası yalnızca n çok büyükken yakınsama garantisi verir.

3. Beklenen frekansı garanti sanmak — "600 atışta kesinlikle 100 kez 6 gelir" demek yanlıştır; beklenen frekans bir ortalama tahmindir, kesin sonuç değildir.

4. Teorik ve deneysel olasılığı karıştırmak — Soru "deneyde kaç kez gözlemlendi" diyorsa deneysel formül ($k/n$), "eş olası durumlara göre" diyorsa teorik formül kullanılmalıdır.

Hızlı hatırlatma

- Teorik $P(A)$: deney yapılmadan, örnek uzaydan hesaplanır.

- Deneysel $f = k/n$: deney sonrası gözlemlenen oran, $P(A)$'ya yaklaşık eşittir.

- Büyük Sayılar Yasası: $n$ arttıkça $k/n \to P(A)$ — garanti değil, eğilim.

- Beklenen frekans $n \cdot P(A)$ ≠ gerçekleşen frekans $k$; ikisi farklı kavramlar.

- Küçük $n$'de büyük sapmalar normaldir; bunu "hile" gibi yorumlamak hatadır.

 Çözümlü Sorular

1. 6 eş dilime ayrılmış bir çark, üzerlerinde 1'den 6'ya kadar sayılar olacak şekilde 60 kez çevriliyor. Sonuçlar:

61. çevirmede ibrenin çift sayıda durmasının teorik olasılığı $A$, deneysel olasılığı $B$ ise, $\lvert A-B \rvert$ kaçtır?

 Çözüm: Teorik: çift sayılar $\{2,4,6\}$ → $A = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. Deneysel: çift gelen toplam $= 12+11+12 = 35$ → $B = \dfrac{35}{60} = \dfrac{7}{12}$. $\lvert A-B \rvert = \left\lvert \dfrac{6}{12} - \dfrac{7}{12} \right\rvert = \dfrac{1}{12}$

2. 40 kartlık bir destede (10 kupa, 10 karo, 10 sinek, 10 maça) iadeli olarak 80 kez kart çekiliyor; 24'ünde kupa geldiği görülüyor. Deneysel olasılığın teorik olasılığına oranı kaçtır?

 Çözüm: Teorik: $P(\text{kupa}) = \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$. Deneysel: $f = \dfrac{24}{80} = 0{,}30$. Oran: $\dfrac{0{,}30}{0{,}25} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$

3. "ANKARA" kelimesinin harfleri ayrı ayrı kartlara yazılıp bir torbaya konuluyor. Torbadan iadeli olarak 50 kez kart çekiliyor. "A" harfinin gelme deneysel olasılığı, teorik olasılığına eşitse, A harfi kaç kez çekilmiştir?

 Çözüm: ANKARA: 6 harf, A harfi 3 kez geçiyor → $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. Deneysel $=$ Teorik $\Rightarrow \dfrac{k}{50} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow k = 25$

4. 200 öğrenciye en sevdikleri spor dalı soruluyor:

201. öğrencinin basketbolu tercih etmesinin deneysel olasılığı kaçtır?

 Çözüm: $f = \dfrac{52}{200} = \dfrac{13}{50} = 0{,}26$

5. Bir fabrikada üretilen 150 ürünün kalite puanları aşağıdaki sütun grafiğinde gruplandırılmıştır: 60-69 aralığı 18 ürün, 70-79 aralığı 36 ürün, 80-89 aralığı 54 ürün, 90-100 aralığı 42 ürün.

151. ürünün 80-89 puan aralığında olmasının deneysel olasılığı kaçtır?

 Çözüm: Toplam $=18+36+54+42=150$. $f = \dfrac{54}{150} = \dfrac{9}{25} = 0{,}36$

6. Aşağıdaki ifadeler doğru mudur, yanlış mıdır?

a) "Deneysel olasılık, deneme sayısı ne olursa olsun her zaman teorik olasılığa tam olarak eşittir."

b) "Teorik olasılığın hesaplanabilmesi için deneyin fiilen yapılmış olması gerekmez."

 Çözüm: a) Yanlış — deneysel olasılık, deneme sayısı arttıkça teorik olasılığa yaklaşır; ama hiçbir zaman eşitlik garanti edilmez (Büyük Sayılar Yasası bir yakınsama ilkesidir, kesinlik değil). b) Doğru — teorik olasılık, örnek uzayın yapısından hesaplanır; deney yapılmasına gerek yoktur.

7. Aşağıdaki terimleri karşılarındaki tanımlarla eşleştiriniz.

 Çözüm: 1-d, 2-b, 3-c, 4-a

8. 5 eş dilimli bir dart tahtasında dilimler 1, 2, 3, 4, 5 olarak numaralandırılmış. 40 atış sonucu:

41. atışta 3'ten büyük bir sayı gelmesinin teorik olasılığı $T$, deneysel olasılığı $D$ olsun. $T$ ve $D$'yi küçükten büyüğe sıralayınız.

 Çözüm: Teorik: $\{4,5\}$ → $T = \dfrac{2}{5} = 0{,}40$. Deneysel: $10+8=18$ → $D = \dfrac{18}{40} = 0{,}45$. Sıralama: $T < D$

9. 1'den 10'a kadar numaralı kartlardan iadeli olarak 100 kez çekiliş yapılıyor; 58'inde tek sayı geldiği görülüyor. 101. çekilişte tek sayı gelmesinin teorik ve deneysel olasılıkları arasındaki fark yüzde kaç puandır?

 Çözüm: Teorik: $\{1,3,5,7,9\}$ → $\dfrac{5}{10}=\%50$. Deneysel: $\dfrac{58}{100}=\%58$. Fark: $\%58-\%50=\%8$

10. Bir öğrenci bilgisayar simülasyonuyla adil bir parayı tekrar tekrar atıyor. Deneme sayısını $n=20$, $n=200$, $n=2000$ yaptığında yazı gelme oranı sırasıyla $0{,}65$, $0{,}53$, $0{,}502$ çıkıyor.

a) Bu sonuçlar Büyük Sayılar Yasası'yla nasıl açıklanır?

b) $n=2000$'den sonra oranın kesinlikle $0{,}5$ olacağı garanti edilebilir mi?

 Çözüm: a) Deneme sayısı arttıkça ($20\to200\to2000$), deneysel oran teorik değer $0{,}5$'e giderek yaklaşıyor ($0{,}65\to0{,}53\to0{,}502$)  bu, Büyük Sayılar Yasası'nın somut bir örneğidir. b) Hayır. Yakınsama bir eğilimdir, garanti değildir; $n$ ne kadar büyük olursa olsun, deneysel oranın $0{,}5$'ten küçük de büyük de sapması mümkündür, sadece bu sapmanın büyüklüğü istatistiksel olarak küçülme eğilimindedir.