7. Türevin Geometrik Yorumu

7. Türevin Geometrik Yorumu

 1. Doğrunun Eğimi (Analitik Geometri Hatırlatması)

Türevin şekilsel ve geometrik anlamına geçmeden önce, soruları daha rahat çözebilmek için analitik geometrilden bildiğimiz doğru ve eğim kavramlarını hatırlayalım.

 i. Doğrunun Eğimi ve Yönü

Bir doğrunun $x$ ekseni ile pozitif yönde (saat yönünün tersi) yaptığı açıya eğim açısı denir. Eğimi, bu açının tanjantı verir ($m = \tan\theta$).

- $d_1$ doğrusunun eğimi: Eğer açı dar ise ($0 < \alpha < 90^\circ$);

  $m_1 = \tan\alpha 0$ dır. (Sağa yatık doğru)

- $d_2$ doğrusunun eğimi: Eğer açı geniş ise ($90^\circ < \beta < 180^\circ$);

  $m_2 = \tan\beta < 0$ dır. (Sola yatık doğru)

 ii. Paralel Doğrular ($d_1 \parallel d_2$)

Birbirine paralel olan doğruların eğimleri birbirine eşittir.

- $m_1 = m_2$ dir.

- O hâlde doğruların denklemleri yazılırken $x$'in katsayıları aynı olmak zorundadır.

  $d_1: y_1 = m_1x + k$ ise 

  $d_2: y_2 = m_1x + p$ dir.

 iii. Dik Kesişen Doğrular ($d_1 \perp d_2$)

Birbirine dik olan doğruların (eksenlere paralel değillerse) eğimleri çarpımı -1'dir.

- $m_1 \cdot m_2 = -1$ dir.

- O hâlde birinin eğimi diğerinin çarpmaya göre tersinin zıt işaretlisidir.

  $d_1: y_1 = m_1x + k$ ise

  $d_2: y_2 = -\frac{1}{m_1}x + p$ dir.

 iv. Yatay Doğrular (x Eksenine Paralel)

$x$ eksenine paralel olan doğruların (yani $y = k$ biçimindeki sabit doğruların) eğim açısı $0^\circ$'dir ve $\tan 0^\circ = 0$'dır.

- $d_1: y = k$ ise

- $m = 0$ dır.

 2. Teğetin Eğimi (Türevin Geometrik Anlamı)

 💡 Bilgi

$K \subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere, $f: K \to \mathbb{R}$ bir fonksiyon ve $y = f(x)$ türevlenebilen bir fonksiyon olsun.

$y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerinde birbirine çok yakın iki nokta alalım:

- $A(a, f(a))$ 

- $B(a + h, f(a + h))$ 

Keseni (Kiriş) AB'nin Eğimi:

Noktalar arasındaki doğru parçası $\overline{AB}$ (keseni) $k$ doğrusuyla gösterilirse, bu kesentin eğimi:

$$m_{AB} = \tan\alpha = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Teğetin Oluşması (Limit Süreci):

$h \to 0$ iken (yani $B$ noktası eğri boyunca $A$'ya yaklaştıkça):

- Keseni $\overline{AB}$ noktası etrafında döner

- Keseni $k$ doğrusu, $A$ noktasındaki teğet doğrusu $t$'nin konumuna yaklaşır

- Nihayet $h = 0$ olduğunda (yani limit alındığında), keseni teğet doğrusuyla çakışır (üst üste gelir)

Teğet Doğrusunun Eğimi:

Bu durumda, $y = f(x)$ eğrisinin $x = a$ noktasındaki teğet doğrusunun eğimi, keseni AB'nin eğiminin $h \to 0$ için limitine eşit olur:

$$m_t = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)$$

 ⭐ Temel Sonuç

$$\boxed{y = f(x) \text{ eğrisinin } x = a \text{ noktasındaki teğet doğrusunun eğimi} = f'(a)}$$

Başka bir deyişle: Bir noktadaki türev, o noktada eğriye çizilen teğet doğrusunun eğimidir.

 3. Örnekler

 📚 Örnek 1

$f(x) = x^3 + \frac{1}{x^2}$

eğrisinin $x = 1$ deki teğetinin eğimini bulalım.

Çözüm

Bir eğriye çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türeve eşittir. Yani $x = 1$ deki teğetin eğimi = $f'(1)$'dir.

Adım 1: Fonksiyonun türevini al

Fonksiyonu üslü yazarak işlemi kolaylaştıralım:

$$f(x) = x^3 + \frac{1}{x^2} = x^3 + x^{-2}$$

Kuvvet kuralını uygulayarak türev alalım:

$$f'(x) = 3x^2 + (-2)x^{-3}$$

$$f'(x) = 3x^2 - \frac{2}{x^3}$$

Adım 2: x = 1 değerini yerine koy

$$f'(1) = 3(1)^2 - \frac{2}{(1)^3}$$

$$f'(1) = 3 - 2$$

$$f'(1) = 1$$

Cevap: Teğetin eğimi $m_t = 1$ dir.

 📚 Örnek 2

$f(x) = \frac{ax + b}{x + 1}$

eğrisinin $x = 1$ apsisli noktasındaki teğetinin $x$ ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı $30°$ olduğuna göre, $a - b$ farkını bulalım.

Çözüm

Bir doğrunun $x$ ekseni ile yaptığı açı $\theta$ ise, doğrunun eğimi $m = \tan\theta$ olur.

Adım 1: Teğetin eğimini açı bilgisinden bul

$30°$ açı yapan teğetin eğimi:

$$m_t = \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Adım 2: Fonksiyonun türevini al (Bölümün Türevi)

$f(x) = \frac{ax + b}{x + 1}$ için bölümün türevi kuralını uygulayalım:

$$f'(x) = \frac{a(x + 1) - (ax + b) \cdot 1}{(x + 1)^2}$$

$$f'(x) = \frac{ax + a - ax - b}{(x + 1)^2}$$

$$f'(x) = \frac{a - b}{(x + 1)^2}$$

Adım 3: x = 1 noktasındaki türev değerini hesapla

$$f'(1) = \frac{a - b}{(1 + 1)^2} = \frac{a - b}{4}$$

Adım 4: Teğetin eğimi ile eşitle

Teğetin eğimi $f'(1)$'e eşit olmalıdır:

$$f'(1) = m_t$$

$$\frac{a - b}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$a - b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Cevap: $a - b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

 📚 Örnek 3

$y = ax^2 + 2x + 1$ eğrisinin $y = 2$ doğrusuna teğet olması için $a$ kaç olmalıdır?

Çözüm

İki eğrinin teğet olması demek, bir noktada kesişmeleri ve o noktada aynı eğime sahip olmalarıdır.

Adım 1: Teğet doğrunun eğimini belirle

$y = 2$ yatay doğrusunun eğimi:

$$m = 0$$

Adım 2: Parabolün teğet noktasındaki eğimini bulmanın şartı

Parabolün türevini alalım:

$$y' = 2ax + 2$$

Teğet olması için bu noktadaki eğim de $0$ olmalıdır:

$$2ax + 2 = 0$$

$$x = -\frac{1}{a}$$

(Not: $a \neq 0$ varsayımı ile)

Adım 3: Teğet noktasının koordinatlarını bul

Teğet noktasında $y = 2$ olmalı. Parabolün denkleminde $x = -\frac{1}{a}$ koyalım:

$$y = a\left(-\frac{1}{a}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{a}\right) + 1$$

$$y = a \cdot \frac{1}{a^2} - \frac{2}{a} + 1$$

$$y = \frac{1}{a} - \frac{2}{a} + 1$$

$$y = -\frac{1}{a} + 1$$

Adım 4: Teğet şartını uygula

Bu değer $2$'ye eşit olmalı:

$$-\frac{1}{a} + 1 = 2$$

$$-\frac{1}{a} = 1$$

$$a = -1$$

Kontrol: $a = -1$ için parabolün denklemi $y = -x^2 + 2x + 1$

- Türev: $y' = -2x + 2 = 0$ ⟹ $x = 1$

- $y$ değeri: $y = -(1)^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$ ✓

Cevap: $a = -1$

 4. Teğet ve Normal Doğrularının Denklemleri

 💡 Teğet Doğrusunun Denklemi

Eğimi $m$ ve üzerindeki bir noktası $(x_0, y_0)$ bilinen doğru denklemi:

$$y - y_0 = m(x - x_0)$$

formülünden yararlanarak, $y = f(x)$ eğrisine $x = x_0$ noktasında çizilen teğetin denklemi şu şekilde yazılır:

$$m_t = f'(x_0) \quad \text{ve} \quad y_0 = f(x_0)$$

olmak üzere,

$$y - y_0 = m_t(x - x_0)$$

$$\Rightarrow y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0)$$

 💡 Normal Doğrusunun Tanımı ve Denklemi

$y = f(x)$ eğrisinin $A(x_0, y_0)$ noktasındaki teğetine, değme noktasında dik olan doğruya, eğrinin A noktasındaki normali (n) denir.

Normal Doğrusunun Eğimi:

Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı $-1$ olduğundan:

$$m_t \cdot m_n = -1 \Rightarrow m_n = \frac{-1}{m_t} = \frac{-1}{f'(x_0)}$$

Normal Doğrusunun Denklemi:

A noktasından geçen ve eğimi $m_n$ olan doğrunun denklemi:

$$y - y_0 = m_n(x - x_0)$$

$$\Rightarrow y - f(x_0) = \frac{-1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0)$$

 5. Örnekler (Teğet ve Normal Denklemleri)

 📚 Örnek 4

$f(x) = x^2 - 2x - 1$

eğrisine $x = 1$ noktasında çizilen teğetin denklemini bulalım.

Çözüm

Teğet doğrusunun denklemini bulmak için:

1. Türevi al

2. Türevin $x = 1$ deki değerini bul (eğim)

3. Fonksiyonun $x = 1$ deki değerini bul (nokta)

4. Teğet denklemi formülünü uygula

Adım 1: Türevi al

$$f'(x) = 2x - 2$$

Adım 2: Türevin x = 1 deki değerini bul

$$m_t = f'(1) = 2(1) - 2 = 0$$

Adım 3: Fonksiyonun x = 1 deki değerini bul

$$y_0 = f(1) = (1)^2 - 2(1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$$

Teğet noktası: $A(1, -2)$

Adım 4: Teğet denklemi formülünü uygula

$$y - y_0 = m_t(x - x_0)$$

$$y - (-2) = 0 \cdot (x - 1)$$

$$y + 2 = 0$$

$$y = -2$$

Cevap: Teğet doğrusunun denklemi $y = -2$ dir.

(Not: Eğim sıfır olduğu için teğet, $x$ eksenine paralel yatay bir doğrudur.)

 📚 Örnek 5

$f(x) = x^3 - x$

eğrisine $x = 1$ noktasında çizilen normalin denklemini bulalım.

Çözüm

Normalin denklemi, teğetin eğiminin negatif tersini kullandığı için:

Adım 1: Türevi al

$$f'(x) = 3x^2 - 1$$

Adım 2: Türevin x = 1 deki değerini bul

$$m_t = f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$$

Adım 3: Normalin eğimini bul

Teğet ve normalin eğimleri çarpımı $-1$ olduğundan:

$$m_n = \frac{-1}{m_t} = \frac{-1}{2}$$

Adım 4: Fonksiyonun x = 1 deki değerini bul

$$y_0 = f(1) = (1)^3 - (1) = 1 - 1 = 0$$

Normal noktası: $A(1, 0)$

Adım 5: Normal denklemi formülünü uygula

$$y - y_0 = m_n(x - x_0)$$

$$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1)$$

$$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$

Veya:

$$2y = -x + 1$$

$$x + 2y - 1 = 0$$

Cevap: Normalin denklemi $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ veya $x + 2y - 1 = 0$ dir.

 📚 Örnek 6

$f(a) = a^3 - 2a^2 - a + 2$

eğrisine $a = 0$ apsisli noktasından çizilen teğetin bu eğriyi kestiği diğer noktanın apsisini bulalım.

Çözüm

Adım 1: Teğet noktasındaki değerleri bul

Türev:

$$f'(a) = 3a^2 - 4a - 1$$

$a = 0$ noktasında:

- Fonksiyon değeri: $f(0) = 0 - 0 - 0 + 2 = 2$

- Türev (eğim): $f'(0) = 0 - 0 - 1 = -1$

Teğet noktası: $(0, 2)$

Adım 2: Teğet denklemini yaz

Teğet doğrusunun denklemi:

$$y - 2 = -1(a - 0)$$

$$y = -a + 2$$

Adım 3: Teğet ile eğrinin kesişim noktalarını bul

Teğet doğrusu ile eğrinin kesişmesi için:

$$f(a) = y$$

$$a^3 - 2a^2 - a + 2 = -a + 2$$

Sağ tarafı sola alalım:

$$a^3 - 2a^2 - a + 2 + a - 2 = 0$$

$$a^3 - 2a^2 = 0$$

$$a^2(a - 2) = 0$$

Çarpanları sıfıra eşitleyelim:

• $a^2 = 0$ ⟹ $a = 0$ (çift kök, teğet noktası)
• $a - 2 = 0$ ⟹ $a = 2$ (ikinci kesişim noktası)

Adım 4: Diğer kesişim noktasını kontrol et

$a = 2$ için eğrinin $y$ değeri:

$$f(2) = 2^3 - 2(2)^2 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0$$

Teğet doğrusunda:

$$y = -2 + 2 = 0$$ ✓

Kesişim noktası: $(2, 0)$

Cevap: Teğetin eğriyi kestiği diğer noktanın apsisi $a = 2$ dir.

 📚 Örnek 7

$f(x) = x^2 - 3x + 2$

eğrisine çizilen teğetlerden $y = x + 5$ doğrusuna paralel olan teğetin apsis değerini bulalım.

Çözüm

İki doğru paralel ise eğimleri eşittir.

Adım 1: Doğrunun eğimini belirle

$y = x + 5$ doğrusunun eğimi:

$$m_{\text{doğru}} = 1$$

Adım 2: Teğetin eğimini bul

Eğriye çizilen teğet, doğruya paralel olması için teğetin eğimi de 1 olmalıdır.

Eğrinin türevi:

$$f'(x) = 2x - 3$$

Teğetin eğimi 1 olduğunda:

$$f'(x) = 1$$

$$2x - 3 = 1$$

$$2x = 4$$

$$x = 2$$

Adım 3: Teğet noktasının koordinatlarını kontrol et

$x = 2$ için:

$$f(2) = (2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$$

Teğet noktası: $(2, 0)$

Adım 4: Teğetin denklemini yaz

$$y - 0 = 1(x - 2)$$

$$y = x - 2$$

Bu teğet, $y = x + 5$ doğrusuna paralel olmakla beraber, farklı konumdadır (paralel doğrular).

Cevap: Paralel teğetin apsis değeri $x = 2$ dir.

 6. İki Eğrinin Teğet Olma Durumu

 💡 İki Eğrinin Birbirine Teğet Olması

$y = f(x)$ ve $y = g(x)$ eğrileri bir $x = a$ apsisli noktada birbirine dıştan (veya içten) teğet iseler, bu noktada hem y-değerleri (fonksiyon görüntüleri) eşittir hem de bu noktadan çizilen teğetleri ortak olduğu için türevleri eşittir.

Bu durumun iki şartı vardır:

1. Ortak Nokta Şartı: $f(a) = g(a)$ (Kesişiyorlar)

2. Ortak Eğim (Türev) Şartı: $f'(a) = g'(a)$ (Eğimleri aynı)

 💡 İki Eğrinin Dik Kesişmesi (Ortogonal Eğriler)

İki eğrinin bir kesişim noktasındaki teğetleri birbirine dik ise, bu eğrilere aynı zamanda "dik kesişen (ortogonal) eğriler" denir.

Kesişim noktası $x = a$ ise şartlar:

1. Ortak Nokta Şartı: $f(a) = g(a)$ (Kesişme noktası)

2. Diklik Şartı: $f'(a) \cdot g'(a) = -1$ (Teğetlerin dikliği)

 7. Örnekler (İki Eğrinin Konumu)

 📚 Örnek 8 (Eğrilerin Teğet Olması)

$f(x) = x^2 + 2x + a$ parabolü ile $g(x) = -x^2 + 6x + b$ parabolü $x = 1$ apsisli noktada birbirlerine teğet iseler, $a - b$ farkı kaçtır?

Çözüm

Eğriler $x = 1$ de birbirine teğet ise, o noktada hem türevleri hem de fonksiyon değerleri eşittir.

Adım 1: Türev Şartı (Eğim Eşitliği)

Her iki fonksiyonun türevi alınıp $x=1$ noktasında birbirine eşitlenir:

$$f'(x) = 2x + 2$$

$$g'(x) = -2x + 6$$

$x = 1$ de eğimler eşittir:

$$f'(1) = g'(1)$$

$$2(1) + 2 = -2(1) + 6$$

$$4 = 4$$ (Bu bize türev şartının sağlandığını, teğet noktasının var olduğunu doğrular. Bu şart otomatik sağlandığından $a$ ve $b$ hakkında bilgi vermedi; ancak bu şart daima kontrol edilmelidir.)

Adım 2: Görüntü Şartı (Kesişim Eşitliği)

$x = 1$ noktasında fonksiyon değerleri de birbirine eşit olmak zorundadır.

$$f(1) = g(1)$$

$$(1)^2 + 2(1) + a = -(1)^2 + 6(1) + b$$

$$1 + 2 + a = -1 + 6 + b$$

$$3 + a = 5 + b$$

Bizden istenen $a - b$ farkını yalnız bırakalım:

$$a - b = 5 - 3$$

$$a - b = 2$$

Cevap: $a - b = 2$

 📚 Örnek 9 (Eğrilerin Dik Kesişmesi)

$f(x) = x^2$ eğrisi ile $g(x) = ax^2 + b$ eğrisi, $x = 1$ apsisli noktada dik kesiştiklerine göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Çözüm

İki eğri bir noktada dik kesişiyorsa:

1. O noktada türevlerinin (teğet eğimlerinin) çarpımı $-1$'dir.

2. O nokta her iki eğrinin de üzerinde olduğundan, fonksiyonların o noktadaki görüntüleri birbirine eşittir.

Adım 1: Diklik şartını uygula (Ortak Eğim Çarpımı = -1)

Her iki fonksiyonun türevini alalım:

$$f'(x) = 2x$$

$$g'(x) = 2ax$$

$x = 1$ deki teğet eğimleri:

$$m_1 = f'(1) = 2(1) = 2$$

$$m_2 = g'(1) = 2a(1) = 2a$$

Eğriler dik kesiştiği için eğimler çarpımı $-1$ olmalıdır:

$$m_1 \cdot m_2 = -1$$

$$2 \cdot (2a) = -1$$

$$4a = -1 \implies a = -\frac{1}{4}$$

Adım 2: Kesişim şartını uygula (Ortak Nokta)

Eğriler $x = 1$ noktasında kesiştiklerine göre bu noktadaki $y$ değerleri eşittir:

$$f(1) = g(1)$$

$$1^2 = a(1)^2 + b$$

$$1 = a + b$$

Birinci adımda $a = -\frac{1}{4}$ bulmuştuk, yerine yazalım:

$$1 = -\frac{1}{4} + b$$

$$b = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$

Adım 3: İsteneni bul

Bizden $a \cdot b$ çarpımı isteniyor:

$$a \cdot b = \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{5}{16}$$

Cevap: $-\frac{5}{16}$