Özel Tanımlı Fonksiyonların Limiti

 Özel Tanımlı Fonksiyonların Limiti

 Kesirli Fonksiyonların Limiti

 Bilgi

Kesirli fonksiyonlarda paydayı sıfır yapan değerler kritik noktadır. Bu noktalarda limit soruluyor ise sağdan ve soldan limite bakılır.

 Örnek 1: Kesirli Fonksiyonun Limiti

$$f(a)=\frac{3}{a-2} \text{ fonksiyonunun } x=2 \text{ noktasındaki limitini hesaplayalım.}$$

Çözüm:

$x = 2$ noktası $f$ fonksiyonunun paydasını sıfır yaptığından sağdan ve soldan limite bakalım.

Sağdan Limit:

$$\lim_{a \to 2^+} f(a)=\lim_{a \to 2^+} \frac{3}{a-2}=\frac{3}{0^+}=+\infty$$

Soldan Limit:

$$\lim_{a \to 2^-} f(a)=\lim_{a \to 2^-} \frac{3}{a-2}=\frac{3}{0^-}=-\infty$$

Sonuç:

$\lim_{a \to 2^+} f(a) \neq \lim_{a \to 2^-} f(a)$ olduğundan, 

f fonksiyonunun $x=2$ noktasında limiti yoktur.

 Örnek 2: Çift Dereceli Kuvvet İçeren Kesirli Fonksiyonun Limiti

$$f(a)=\frac{1}{(a-3)^4} \text{ fonksiyonunun } x=3 \text{ noktasındaki limitini hesaplayalım.}$$

Çözüm:

$x=3$ noktası $f$ fonksiyonunun paydasını sıfır yaptığından sağdan ve soldan limite bakalım.

Sağdan Limit:

$a \to 3^+$ iken $(a-3)^+ \to 0^+$ olur. Dolayısıyla $(a-3)^4 \to 0^+$ (çünkü 4 çift kuvvettir).

$$\lim_{a \to 3^+} f(a)=\lim_{a \to 3^+} \frac{1}{(a-3)^4}=\frac{1}{0^+}=+\infty$$

Soldan Limit:

$a \to 3^-$ iken $(a-3)^- \to 0^-$ olur. Fakat $(a-3)^4 \to 0^+$ (çünkü çift kuvvet, negatif sayının çift kuvveti pozitiftir).

$$\lim_{a \to 3^-} f(a)=\lim_{a \to 3^-} \frac{1}{(a-3)^4}=\frac{1}{0^+}=+\infty$$

Sonuç:

$\lim_{a \to 3^+} f(a) = \lim_{a \to 3^-} f(a) = +\infty$ olduğundan,

$$\lim_{a \to 3} f(a)=+\infty.$$

Önemli Not: Paydanın çift kuvveti olması durumunda hem sağdan hem soldan aynı işaretli sonsuzluğa yaklaşır. Bundan dolayı limit sonsuzluk olarak vardır (veya "limit yoktur" yerine "limit $\infty$'dır" şeklinde yazılır).

 Örnek 3: Payı da Etkileyen Kesirli Fonksiyonun Limiti

$$f(a)=\frac{a}{a+1} \text{ fonksiyonunun } a=-1 \text{ noktasındaki limitini hesaplayalım.}$$

Çözüm:

$a=-1$ noktası paydayı sıfır yaptığından sağdan ve soldan limite bakalım.

Sağdan Limit:

$a \to -1^+$ iken $a \to -1$ (yukarıdan, yani $-1$'den biraz büyük değerler):

- Pay: $a \to -1$

- Payda: $(a+1) \to 0^+$ (pozitif olarak sıfıra yaklaşır)

$$\lim_{a \to -1^+} f(a)=\lim_{a \to -1^+} \frac{a}{a+1}=\frac{-1}{0^+}=-\infty$$

Soldan Limit:

$a \to -1^-$ iken $a \to -1$ (aşağıdan, yani $-1$'den biraz küçük değerler):

- Pay: $a \to -1$

- Payda: $(a+1) \to 0^-$ (negatif olarak sıfıra yaklaşır)

$$\lim_{a \to -1^-} f(a)=\lim_{a \to -1^-} \frac{a}{a+1}=\frac{-1}{0^-}=+\infty$$

Sonuç:

$\lim_{a \to -1^+} f(a) \neq \lim_{a \to -1^-} f(a)$ olduğundan,

f fonksiyonunun $a=-1$ noktasında limiti yoktur.

Dikkat: Payın ve paydanın davranışını ayrı ayrı düşünmek gerekir. Burada pay sabit bir değere yaklaşırken, payda işaret değiştirerek sıfıra yaklaşmaktadır.

 Örnek 4: Trigonometrik Fonksiyonun Limiti

$$f(a)=\tan(a) \text{ fonksiyonunun } a=\frac{\pi}{2} \text{ noktasındaki limitini bulunuz.}$$

Çözüm:

$\tan(a) = \dfrac{\sin(a)}{\cos(a)}$ olduğunu biliyoruz. $a=\dfrac{\pi}{2}$ noktasında $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ olur ve payda sıfır olur. Sağdan ve soldan limite bakalım.


Sağdan Limit:

$a \to \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^+$ iken:

- Pay: $\sin(a) \to 1$

- Payda: $\cos(a) \to 0^-$ (negatif olarak sıfıra yaklaşır; çünkü $\dfrac{\pi}{2}$'nin sağında kosinüs negatiftir)

$$\lim_{a \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^+} \tan(a)=\lim_{a \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^+} \frac{\sin(a)}{\cos(a)}=\frac{1}{0^-}=-\infty$$

Soldan Limit:

$a \to \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^-$ iken:

- Pay: $\sin(a) \to 1$

- Payda: $\cos(a) \to 0^+$ (pozitif olarak sıfıra yaklaşır; çünkü $\dfrac{\pi}{2}$'nin solunda kosinüs pozitiftir)

$$\lim_{a \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-} \tan(a)=\lim_{a \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-} \frac{\sin(a)}{\cos(a)}=\frac{1}{0^+}=+\infty$$

Sonuç:

$\lim_{a \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^+} \tan(a) \neq \lim_{a \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-} \tan(a)$ olduğundan,

$\tan(a)$ fonksiyonunun $a=\dfrac{\pi}{2}$ noktasında limiti yoktur.

Not: $a=\dfrac{\pi}{2}$ noktası $\tan(a)$ fonksiyonunun dikey asimptotudur.

 Parçalı Fonksiyonların Limiti

 Bilgi

Parçalı fonksiyonun parçalara ayrıldığı noktalar kritik noktalardır. Bu noktalarda limit soruluyor ise sağdan ve soldan limite bakılır. Eğer fonksiyonun tanımlandığı parça üzerinde kritik noktası yoksa, normal limit hesaplaması yapılır.

 Örnek: Parçalı Fonksiyonun Farklı Noktalardaki Limiti

Aşağıdaki parçalı fonksiyon verilsin:

$$f(x) = \begin{cases}

\sqrt{x+7}, & x < 2 \\

x+1, & 2 \le x < 5 \\

x^2+4, & 5 \le x

\end{cases}$$

$x=-3$, $x=2$ ve $x=5$ noktalarındaki limitlerini araştıralım.

Çözüm:

I. $x = -3$ noktasında:

$x=-3$ noktası ilk parçada ($x<2$) yer almaktadır. Soldan ve sağdan yaklaşırken de aynı formülü kullanırız:

$$\lim_{x \to -3^-} f(x) = \sqrt{-3+7} = \sqrt{4} = 2$$

$$\lim_{x \to -3^+} f(x) = \sqrt{-3+7} = \sqrt{4} = 2$$

Dolayısıyla:

$$\lim_{x \to -3} f(x) = 2$$

Not: Bu durumda, limit vardır ve $f(-3)=2$'dir. Kritik nokta değildir.

II. $x=2$ noktasında:

$x=2$ parçaların ayrıldığı kritik noktadır. Sağdan ve soldan limite bakalım.

Soldan Limit ($x<2$ parçası):

$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$$

Sağdan Limit ($2 \le x < 5$ parçası):

$$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2+1 = 3$$

Sonuç:

$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3$$

Dolayısıyla:

$$\lim_{x \to 2} f(x) = 3$$

Not: Limit vardır. Ayrıca $f(2) = 2+1 = 3$ olduğu için fonksiyon $x=2$'de süreklidir.

III. $x=5$ noktasında:

$x=5$ parçaların ayrıldığı kritik noktadır. Sağdan ve soldan limite bakalım.

Soldan Limit ($2 \le x < 5$ parçası):

$$\lim_{x \to 5^-} f(x) = 5+1 = 6$$

Sağdan Limit ($5 \le x$ parçası):

$$\lim_{x \to 5^+} f(x) = 5^2+4 = 25+4 = 29$$

Sonuç:

$$\lim_{x \to 5^-} f(x) = 6 \neq 29 = \lim_{x \to 5^+} f(x)$$

Dolayısıyla:

$$\lim_{x \to 5} f(x) \text{ yoktur.}$$

Not: Limit yoktur. Fonksiyon $x=5$'de süreksizdir (sıçrama türü süreksizlik).

 Ek Örnek: Limit Koşulundan Parametre Bulma

Aşağıdaki parçalı fonksiyon verilsin:

$$f(x) = \begin{cases}

x^2+a, & x \le 1 \\

\arctan x, & x > 1

\end{cases}$$

Fonksiyonun $x=1$ noktasındaki limiti reel sayı olduğuna göre, $a$'yı bulalım.

Çözüm:

$x=1$ noktasında limit reel sayı olması, sağdan ve soldan limitlerinin eşit ve sonlu olması demektir.

Soldan Limit ($x \le 1$ parçası):

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + a = 1 + a$$

Sağdan Limit ($x > 1$ parçası):

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$$

Limitin reel sayı olması şartı:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$$

$$1 + a = \frac{\pi}{4}$$

$$a = \frac{\pi}{4} - 1$$

Sonuç:

$$a = \frac{\pi}{4} - 1 $$

veya tam olarak $a = \dfrac{\pi - 4}{4}$.

 Ek Örnek 2: Parçalı Fonksiyonda Limit Hesaplaması

$$f(x) = \begin{cases}

x^2+x+1, & x \le 1 \\

2^x+x, & x > 1

\end{cases}$$

fonksiyonunun $x=1$ noktasındaki limitini hesaplayalım.

Çözüm:

$x=1$ parçaların ayrıldığı kritik noktadır. Sağdan ve soldan limite bakalım.

Soldan Limit ($x \le 1$ parçası):

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 1 + 1 = 3$$

Sağdan Limit ($x > 1$ parçası):

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2^1 + 1 = 3$$

Sonuç:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$$

Dolayısıyla:

$$\lim_{x \to 1} f(x) = 3$$

 Mutlak Değer Fonksiyonunun Limiti

 Bilgi

$y = |f(x)|$ mutlak değer fonksiyonunda, $f(x) = 0$ yapan değerler kritik noktadır. Bu noktalarda limit soruluyorsa sağdan ve soldan limite bakılır. 

Mutlak değerin tanımı gereği:

$$|f(x)| = \begin{cases}

f(x), & f(x) \ge 0 \\

-f(x), & f(x) < 0

\end{cases}$$

Kritik noktada soldan yaklaşırken $f(x) < 0$ ise $|f(x)| = -f(x)$ kullanılır. Sağdan yaklaşırken $f(x) > 0$ ise $|f(x)| = f(x)$ kullanılır.

 Örnek: Mutlak Değer Fonksiyonunun Limiti

$$\lim_{a \to 2} |a^2-4| \text{ limitinin değerini bulalım.}$$

Çözüm:

Önce $f(a) = a^2 - 4$'ün sıfır yapan noktayı bulalım:

$$a^2 - 4 = 0 \Rightarrow (a-2)(a+2) = 0 \Rightarrow a = 2 \text{ veya } a = -2$$

$a = 2$ noktası kritik noktadır. Sağdan ve soldan limite bakalım.

Soldan Limit ($a < 2$ için):

$a < 2$ ve $a > -2$ olduğunda (yani $-2 < a < 2$):

- $a - 2 < 0$ ve $a + 2 > 0$ olduğundan $(a-2)(a+2) < 0$

- Dolayısıyla $a^2 - 4 < 0$ ve $|a^2-4| = -(a^2-4) = 4-a^2$

$$\lim_{a \to 2^-} |a^2-4| = \lim_{a \to 2^-} (4-a^2) = 4 - 4 = 0$$

Sağdan Limit ($a > 2$ için):

$a > 2$ olduğunda:

- $a - 2 > 0$ ve $a + 2 > 0$ olduğundan $(a-2)(a+2) > 0$

- Dolayısıyla $a^2 - 4 > 0$ ve $|a^2-4| = a^2-4$

$$\lim_{a \to 2^+} |a^2-4| = \lim_{a \to 2^+} (a^2-4) = 4 - 4 = 0$$

Sonuç:

$$\lim_{a \to 2^-} |a^2-4| = \lim_{a \to 2^+} |a^2-4| = 0$$

Dolayısıyla:

$$\lim_{a \to 2} |a^2-4| = 0$$

Not: Mutlak değerin içindeki ifade sıfıra eşit olduğu için limit de sıfıra eşit olmuştur.

 Ek Örnek: Mutlak Değerli Kesirli Fonksiyonun Limiti

$$f(a)=\frac{a-2}{|a-2|} \text{ fonksiyonunun } x=2 \text{ noktasındaki limitini hesaplayalım.}$$

Çözüm:

$a=2$ noktası paydadaki mutlak değeri sıfır yapan kritik noktadır. Sağdan ve soldan limite bakalım.

Soldan Limit ($a < 2$ için):

$a < 2$ olduğunda $a - 2 < 0$ olur. Dolayısıyla:

$$|a-2| = -(a-2) = 2-a$$

Fonksiyonun değeri:

$$f(a) = \frac{a-2}{2-a} = \frac{-(2-a)}{2-a} = -1$$

$$\lim_{a \to 2^-} f(a) = -1$$

Sağdan Limit ($a > 2$ için):

$a > 2$ olduğunda $a - 2 > 0$ olur. Dolayısıyla:

$$|a-2| = a-2$$

Fonksiyonun değeri:

$$f(a) = \frac{a-2}{a-2} = 1$$

$$\lim_{a \to 2^+} f(a) = 1$$

Sonuç:

$$\lim_{a \to 2^-} f(a) = -1 \neq 1 = \lim_{a \to 2^+} f(a)$$

Dolayısıyla:

$$\lim_{a \to 2} f(a) \text{ yoktur.}$$

Not: Bu örnekte mutlak değer, fonksiyonun sağdan ve soldan yaklaşımda farklı değerler almasına neden olmuştur. İşaret fonksiyonunun (sign function) özel bir durumudur.

 Ek Örnek 2: Mutlak Değer ve Çarpanlandırma

$$f(a)=\frac{|a^2-5a+6|}{a^2-4} \text{ fonksiyonunun } a=2 \text{ noktasındaki limitini bulalım.}$$

Çözüm:

Önce pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım:

- Pay: $a^2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)$

- Payda: $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$

$a = 2$ noktasında hem pay hem payda sıfır olur. Sağdan ve soldan yaklaşımda pay ve paydanın işaretlerini kontrol edelim.

$a = 2$ civarında pay ve paydanın işareti:

- $(a-2)$: $a < 2$ iken negatif, $a > 2$ iken pozitif

- $(a-3)$: $a = 2$ yakınında her zaman negatif (çünkü $a < 3$)

- $(a+2)$: Her zaman pozitif

Dolayısıyla:

- $a < 2$ için: $(a-2)(a-3) = (-)(-)  = (+)$ → pay pozitif

- $a > 2$ için: $(a-2)(a-3) = (+)(-) = (-)$ → pay negatif

Soldan Limit ($a < 2$ için):

$a < 2$ olduğunda $a^2 - 5a + 6 > 0$ olur, dolayısıyla $|a^2-5a+6| = a^2-5a+6$:

$$f(a) = \frac{(a-2)(a-3)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a-3}{a+2}$$

(Not: $a \to 2^-$ için $a \neq 2$ olduğundan $(a-2)$ sadeleşir.)

$$\lim_{a \to 2^-} f(a) = \frac{2-3}{2+2} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$$

Sağdan Limit ($2 < a < 3$ için):

$2 < a < 3$ olduğunda $a^2 - 5a + 6 < 0$ olur, dolayısıyla $|a^2-5a+6| = -(a^2-5a+6)$:

$$f(a) = \frac{-(a-2)(a-3)}{(a-2)(a+2)} = \frac{-(a-3)}{a+2} = \frac{3-a}{a+2}$$

$$\lim_{a \to 2^+} f(a) = \frac{3-2}{2+2} = \frac{1}{4}$$

Sonuç:

$$\lim_{a \to 2^-} f(a) = -\frac{1}{4} \neq \frac{1}{4} = \lim_{a \to 2^+} f(a)$$

Dolayısıyla:

$$\lim_{a \to 2} f(a) \text{ yoktur.}$$

Not: Mutlak değer, paydaki ifadenin işaretini değiştirerek sağdan ve soldan limitlerinin farklı olmasına neden olmuştur. Bu tür problemlerde çarpanlandırma ve işaret analizi çok önemlidir.