3. Değişken Değiştirme Yöntemi (u-Dönüşümü)

3. Değişken Değiştirme Yöntemi (u-Dönüşümü)

Zincir kuralının tersi · [f(x)]ⁿ·f′(x) tipi integraller

 3.1 Kavram

Bölüm 2'de kuvvet kuralıyla $\int x^n\,dx$ tipi integralleri, Bölüm 3'te ise $\int e^x\,dx$ ve $\int \frac{1}{x}\,dx$ gibi temel formülleri gördük. Ama sınavda karşına şöyle bir ifade çıkarsa ne yapacaksın?

$$\int 2x \cdot (x^2+1)^5\,dx$$

Burada güç kuralını doğrudan uygulayamayız çünkü $(x^2+1)$ tek bir değişken gibi davranmıyor, içinde $x^2$ var. Ama dikkatli bak: $2x$, tam olarak $(x^2+1)$'in türevidir. İşte bu "içteki ifadenin türevi dışarıda var" yapısını fark edip, içerdeki karmaşık ifadeyi tek bir harfle ($u$) temsil edersek, integral basitleşir. Buna u-dönüşümü (değişken değiştirme) denir. Aslında yaptığımız şey, zincir kuralını tersine çevirmektir.

Genel kural: $\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx$ tipinde:

1. $u = g(x)$ seç (içteki karmaşık ifade).

2. $du = g'(x)\,dx$ al.

3. $g'(x)\,dx$ yerine $du$, $f(g(x))$ yerine $f(u)$ yaz.

4. $u$'ya göre integral al, $+c$ ekle.

5. $u$ yerine $g(x)$ yaz.

Logaritmik form (sık kullanılan özel durum):

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + c$$

 3.2 Örnekler

 Örnek 1 — Klasik u-dönüşümü:

 $$\int 2x \cdot (x^{2} + 1)^{5} \, dx$$

 $u = x^2+1$, $du = 2x\,dx$:

 $$\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + c = \frac{(x^{2}+1)^{6}}{6} + c$$

 Kontrol: Zincir kuralı → $6(x^2+1)^5 \cdot 2x/6 = 2x(x^2+1)^5$ ✓

 Örnek 2 — Eksik katsayı:

 $$\int x \cdot \sqrt{x^{2}+3}\,dx$$

 $u = x^2+3$, $du = 2x\,dx$ → $x\,dx = du/2$:

 $$\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}u^{3/2} + c = \frac{1}{3}(x^{2}+3)^{3/2} + c$$

 Örnek 3 — Logaritmik form:

 $$\int \frac{2x}{x^{2}+3}\,dx = \ln(x^{2}+3) + c$$

 Payda $x^2+3 > 0$ olduğundan mutlak değer gerekmez. Çünkü her $x$ reel sayısı için $x^2 \geq 0$, dolayısıyla $x^2+3 \geq 3 > 0$ daima pozitiftir.

 Örnek 4 — Kök dönüşümü (t-substitüsyonu):

 $$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx$$

 $t = \sqrt{x+1}$, $t^2 = x+1$, $x = t^2-1$, $dx = 2t\,dt$:

 $$\int \frac{t^2-1}{t}\cdot 2t\,dt = \int 2(t^2-1)\,dt = \frac{2t^3}{3}-2t+c =\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-2\sqrt{x+1}+c$$

 3.3 Sık Yapılan Hatalar

 3.4 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $$\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$$

 Çözüm:

 $u = x^2+1$ dönüşümü yapalım, o zaman $du = 2x\,dx$ → $x\,dx = \dfrac{du}{2}$

 $$\int x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du$$

 $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C =\frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C$$

 Örnek 2:

 $$\int \frac{\ln x}{x}\,dx \quad (x>0)$$

 Çözüm:

 $u = \ln x$ dönüşümü yapalım, o zaman $du = \dfrac{1}{x}dx$

 $$\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$

 Örnek 3:

 $$\int \frac{x}{x^2+4}\,dx$$

 Çözüm:

 $u = x^2+4$ dönüşümü yapalım, o zaman $du = 2x\,dx$ → $x\,dx = \dfrac{du}{2}$

 $$\int \frac{x}{x^2+4}\,dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du$$

 $$= \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln(x^2+4) + C$$

 (Not: $x^2+4 > 0$ olduğundan mutlak değer işareti gerekmez.)

 Örnek 4:

 $$\int x^2(x^3-1)^4\,dx$$

 Çözüm:

 $u = x^3-1$ dönüşümü yapalım, o zaman $du = 3x^2\,dx$ → $x^2\,dx = \dfrac{du}{3}$

 $$\int x^2(x^3-1)^4\,dx = \int u^4 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^4\,du$$

 $$= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{(x^3-1)^5}{15} + C$$

 4. Kısmi İntegrasyon (Parçalara Ayırma)

LİATE kuralı · ∫u dv = uv − ∫v du

 4.1 Kavram

u-dönüşümüyle içteki fonksiyonun türevinin dışarıda olduğu integralleri çözdük. Ama $\int x \cdot e^x\,dx$, $\int x \cdot \ln x\,dx$ veya $\int x \cdot \cos x\,dx$ gibi integrallere baktığında, dışarıda hiçbir türev göremeyi. İki fonksiyonun çarpımı var ama içtekinin türevi dışarıda yok. u-dönüşümü burada işe yaramaz.

Bu durumda çarpımın türev kuralının tersi olan kısmi integrasyon kullanılır. İki fonksiyonu bir parçası u, diğeri dv olarak ayırırız; biri türev alınarak basitler, diğeri integral alınarak büyür. Amacımız, yeni oluşan $\int v\,du$ integralinin eskisinden daha basit olmasıdır.

$$\boxed{\int u\,dv = uv - \int v\,du}$$

$u$ ve $dv$ nasıl seçilir? — LİATE kuralı (üstteki öncelikli):

Listede üstte olanı $u$ seç — türevi alınınca basitleşsin. Altta kalanı $dv$ yap, integral alınınca sorun çıkarmasın.

 4.2 Örnekler

 Örnek 1 — Polinom × Üstel:

 $$\int x \cdot e^{x}\,dx$$

 $u=x$ (A), $dv=e^x\,dx$ (E) → $du=dx$, $v=e^x$

 $$= x\cdot e^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + c = e^x(x-1)+c$$

 Kontrol: $[e^x(x-1)]' = e^x(x-1)+e^x = xe^x$ ✓

 Örnek 2 — Logaritma:

 $$\int \ln x\,dx$$

 $u=\ln x$ (L), $dv=dx$ → $du=\frac{1}{x}dx$, $v=x$

 $$= x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + c$$

 Örnek 3 — Polinom × Trigonometrik:

 $$\int x\cdot\cos x\,dx$$

 $u=x$ (A), $dv=\cos x\,dx$ (T) → $du=dx$, $v=\sin x$

 $$= x\sin x - \int\sin x\,dx = x\sin x + \cos x + c$$

 4.3 Sık Yapılan Hatalar

 4.4 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $$\int x \cdot \cos(x^2) \, dx$$

 Çözüm:

 $u = x^2$, $du = 2x \, dx$ → $x \, dx = \dfrac{du}{2}$

 $$= \frac{1}{2} \int \cos u \, du = \frac{1}{2} \sin u + c = \frac{1}{2}\sin(x^2) + c$$

 Örnek 2:

 $$\int x \cdot e^{x^2} \, dx$$

 Çözüm:

 $u = x^2$, $du = 2x \, dx$ → $x \, dx = \dfrac{du}{2}$

 $$= \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + c = \frac{1}{2}e^{x^2} + c$$

 Örnek 3:

 $$\int x \cdot \ln x \, dx$$

 Çözüm: (Kısmi integrasyon)

 $u = \ln x$, $dv = x \, dx$ → $du = \dfrac{1}{x}dx$, $v = \dfrac{x^2}{2}$

 $$= \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + c$$

 Örnek 4:

 $$\int x^2 \cdot e^x \, dx$$

 Çözüm: (2 kez kısmi integrasyon)

 İlk adım: $u = x^2$, $dv = e^x dx$ → $du = 2x dx$, $v = e^x$

 $= x^2 e^x - \int 2x e^x dx$

 İkinci adım: $u = 2x$, $dv = e^x dx$ → $du = 2 dx$, $v = e^x$

 $\int 2x e^x dx = 2x e^x - 2e^x$

 Sonuç: $x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + c = e^x(x^2 - 2x + 2) + c$