3. Değişken Değiştirme Yöntemi (u-Dönüşümü)
3. Değişken Değiştirme Yöntemi (u-Dönüşümü)
Zincir kuralının tersi · [f(x)]ⁿ·f′(x) tipi integraller
3.1 Kavram
Bölüm 2'de kuvvet kuralıyla $\int x^n\,dx$ tipi integralleri, Bölüm 3'te ise $\int e^x\,dx$ ve $\int \frac{1}{x}\,dx$ gibi temel formülleri gördük. Ama sınavda karşına şöyle bir ifade çıkarsa ne yapacaksın?
$$\int 2x \cdot (x^2+1)^5\,dx$$
Burada güç kuralını doğrudan uygulayamayız çünkü $(x^2+1)$ tek bir değişken gibi davranmıyor, içinde $x^2$ var. Ama dikkatli bak: $2x$, tam olarak $(x^2+1)$'in türevidir. İşte bu "içteki ifadenin türevi dışarıda var" yapısını fark edip, içerdeki karmaşık ifadeyi tek bir harfle ($u$) temsil edersek, integral basitleşir. Buna u-dönüşümü (değişken değiştirme) denir. Aslında yaptığımız şey, zincir kuralını tersine çevirmektir.
Genel kural: $\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx$ tipinde:
1. $u = g(x)$ seç (içteki karmaşık ifade).
2. $du = g'(x)\,dx$ al.
3. $g'(x)\,dx$ yerine $du$, $f(g(x))$ yerine $f(u)$ yaz.
4. $u$'ya göre integral al, $+c$ ekle.
5. $u$ yerine $g(x)$ yaz.
Logaritmik form (sık kullanılan özel durum):
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + c$$
Müfredatta öne çıkan üç kalıp:
İntegral biçimi | Dönüşüm | Temel fikir |
$\int [f(x)]^n\cdot f'(x)\,dx$ | $u=f(x)$ | İçteki ifade ve türevi birlikte bulunur |
$\int \dfrac{f'(x)}{[f(x)]^n}\,dx$ | $u=f(x)$ | Paydadaki iç ifade tek değişkene dönüştürülür |
$\int f'(g(x))\cdot g'(x)\,dx$ | $u=g(x)$ | Zincir kuralı ters yönde kullanılır |
Son kalıpta doğrudan:
$$\int f'(g(x))\cdot g'(x)\,dx=f(g(x))+c$$
3.2 Örnekler
Örnek 1 — Klasik u-dönüşümü:
$$\int 2x \cdot (x^{2} + 1)^{5} \, dx$$
$u = x^2+1$, $du = 2x\,dx$:
$$\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + c = \frac{(x^{2}+1)^{6}}{6} + c$$
Kontrol: Zincir kuralı → $6(x^2+1)^5 \cdot 2x/6 = 2x(x^2+1)^5$ ✓
Örnek 2 — Eksik katsayı:
$$\int x \cdot \sqrt{x^{2}+3}\,dx$$
$u = x^2+3$, $du = 2x\,dx$ → $x\,dx = du/2$:
$$\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}u^{3/2} + c = \frac{1}{3}(x^{2}+3)^{3/2} + c$$
Örnek 3 — Logaritmik form:
$$\int \frac{2x}{x^{2}+3}\,dx = \ln(x^{2}+3) + c$$
Payda $x^2+3 > 0$ olduğundan mutlak değer gerekmez. Çünkü her $x$ reel sayısı için $x^2 \geq 0$, dolayısıyla $x^2+3 \geq 3 > 0$ daima pozitiftir.
Örnek 4 — Kök dönüşümü (t-substitüsyonu):
$$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx$$
$t = \sqrt{x+1}$, $t^2 = x+1$, $x = t^2-1$, $dx = 2t\,dt$:
$$\int \frac{t^2-1}{t}\cdot 2t\,dt = \int 2(t^2-1)\,dt = \frac{2t^3}{3}-2t+c =\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-2\sqrt{x+1}+c$$
3.3 Sık Yapılan Hatalar
Hata | Doğrusu | Açıklama |
$du = 2x\,dx$ bulduğunda, integralde $x\,dx$ varsa $du$ yerine $du/2$ yazmayı unutmak | $\frac{1}{2}\int u^n\,du$ | Eksik katsayıyı dışarı çıkar |
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$ yerine $\ln f(x)$ yazarken mutlak değeri unutmak | $\ln|f(x)| + c$ | $f(x)$ negatif olabilir; logaritma tanımı gerektirir |
$u$'ya göre integral aldıktan sonra sonuca geri dönmemek | $u$ yerine $g(x)$ yaz | Adım 5 atlanmamalı |
u-dönüşümü yapılabilecek integrali doğrudan kuvvet kuralıyla çözmeye kalkmak | Önce içteki ifadenin türevi dışarıda mı diye kontrol et | Yapıyı fark etmeden hesap yapma |
3.4 Ek Sorular (Çözümlü)
Örnek 1:
$$\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$$
Çözüm:
$u = x^2+1$ dönüşümü yapalım, o zaman $du = 2x\,dx$ → $x\,dx = \dfrac{du}{2}$
$$\int x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du$$
$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C =\frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C$$
Örnek 2:
$$\int \frac{\ln x}{x}\,dx \quad (x>0)$$
Çözüm:
$u = \ln x$ dönüşümü yapalım, o zaman $du = \dfrac{1}{x}dx$
$$\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$
Örnek 3:
$$\int \frac{x}{x^2+4}\,dx$$
Çözüm:
$u = x^2+4$ dönüşümü yapalım, o zaman $du = 2x\,dx$ → $x\,dx = \dfrac{du}{2}$
$$\int \frac{x}{x^2+4}\,dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du$$
$$= \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln(x^2+4) + C$$
(Not: $x^2+4 > 0$ olduğundan mutlak değer işareti gerekmez.)
Örnek 4:
$$\int x^2(x^3-1)^4\,dx$$
Çözüm:
$u = x^3-1$ dönüşümü yapalım, o zaman $du = 3x^2\,dx$ → $x^2\,dx = \dfrac{du}{3}$
$$\int x^2(x^3-1)^4\,dx = \int u^4 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^4\,du$$
$$= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{(x^3-1)^5}{15} + C$$
Örnek 5:
$$\int \frac{2x+1}{x^2+x+3} \, dx$$
Çözüm:
Payda $x^2+x+3$'ün türevi $2x+1$ = pay. Logaritmik form uygulanır:
$$= \ln|x^2+x+3| + c$$
Konu Testi ve Alıştırma
Öğrendiklerini pekiştirmek ve seviyeni görmek için hemen soru çözmeye başla!