4. Bileşik Olaylar

 Bölüm 1.3: Bileşik Olaylar

 Bağlam: Olayları birleştirmek

Bölüm 1.1 ve 1.2'de olayların birbirini nasıl etkilediğini (bağımlı) veya etkilemediğini (bağımsız) inceledik. O konularda temel soru çoğunlukla şuydu: "Bir olayın ardından diğerinin gelme olasılığı nedir?"

Şimdi ise olayları "ve", "veya" bağlaçlarıyla birleştirerek daha geniş kümeler oluşturacağız. AYT olasılık sorularının en tuzaklı kısımları, bu birleştirme mantığının (özellikle "veya" bağlacının) tam anlaşılamamasından kaynaklanır.

 Basit olay ve bileşik olay nedir?

Bir deneyin tüm olası çıktılarını barındıran örnek uzayda, tanımlanan olayların kapsadığı çıktı sayısına göre iki temel ayrım yaparız:

 Basit Olay: Yalnızca tek bir çıktıdan oluşan olaydır.

   Örnek: Bir zar atıldığında üst yüze "6" gelmesi. Burada istenen küme sadece $\{6\}$ elemanından oluşur.

 Bileşik Olay: Örnek uzayın birden fazla çıktısını kapsayan olaydır.

   Örnek: Bir zar atıldığında üst yüze "asal sayı" gelmesi. Burada istenen küme $\{2, 3, 5\}$ elemanlarını içerir ve aslında üç farklı basit olayın birleşimidir.

Bileşik olaylar sadece tek bir deneydeki geniş kümeleri değil, farklı deneylerin sonuçlarının birbirine bağlandığı (zarın asal gelmesi veya paranın yazı gelmesi gibi) durumları da ifade eder.

 "Veya" bağlacının uygulaması: Birleşim Kuralı

Bölüm 1'deki hatırlatmadan biliyoruz ki "veya" bağlacı birleşim ($\cup$) işlemine karşılık gelir ve:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Bu formül neden $P(A) + P(B)$'den küçüktür? $P(A)$ ve $P(B)$'yi ayrı ayrı topladığımızda, hem A'da hem B'de bulunan çıktıları (yani $A \cap B$ kesişimini) iki kez saymış oluruz. Formüldeki çıkarma işlemi, bu çift saymayı düzeltip her çıktının olasılığını yalnızca bir kez hesaba katar.

 🖼️ GÖRSEL YERİ: Birleşim Kuralı — Venn Şeması

Bileşik olay sorularında bu formülün asıl işi, kesişimi doğru bulmaktır — A ve B bağımlıysa çarpma kuralıyla ($P(A) \cdot P(B|A)$, §1.1), bağımsızsa doğrudan çarpımla ($P(A) \cdot P(B)$, §1.2) hesaplanır. Yani bileşik olaylar, önceki iki bölümde öğrendiklerimizi birleşim formülüyle birleştirdiğimiz yerdir.

Olaylar ayrık ise ($P(A \cap B) = 0$, yani A ile B aynı anda gerçekleşemiyorsa) formül kısalır: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Yukarıdaki şemanın sağ tarafı tam olarak bu durumu gösterir — kümeler arasında ortak bölge olmadığı için çıkarılacak bir şey yoktur.

 📌 En sık hata: Sorudaki "veya" kelimesini görüp sadece $P(A) + P(B)$ yapmak. Olaylar ayrık değilse (aynı anda olabiliyorlarsa), kesişimi çıkarmayı asla unutmayın.

 Kazanım Testi — Çözümlü Örnekler

 Örnek 1: Temel Ağaç Diyagramı ve Bileşik Durumlar

Soru: Art arda 2 kez atılan hilesiz bir madenî paranın, ikinci atışta tura gelme olasılığını bulunuz.

Çözüm:

Bu, tüm durumları listeleyerek (örnek uzayı yazarak) çözülebilecek yapısal bir sorudur.

1. Atış: Y (Yazı) veya T (Tura)

2. Atış: Y veya T

Tüm olası durumlar (Örnek Uzay): $\{YY, YT, TY, TT\}$ olmak üzere toplam 4 eş olası durum vardır.

Bizden istenen olay (İkinci atışın tura olması): $\{YT, TT\}$ olmak üzere 2 durumdur.

$$P(\text{İkinci atışta tura}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Cevap: $\dfrac{1}{2}$

 Örnek 2: Bağımsız Olaylarda "Veya" Bağlacı

Soru: Bir zar ile bir madenî para birlikte atılıyor. Paranın yazı veya zarın asal sayı gelme olasılığını bulunuz.

Çözüm:

Soru bizden birleşim kümesinin olasılığını istiyor. Olayları tanımlayalım:

 A Olayı: Paranın yazı gelmesi $\rightarrow P(A) = \dfrac{1}{2}$

 B Olayı: Zarın asal gelmesi $\{2, 3, 5\} \rightarrow P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

Öncelikle $P(A \cap B)$ (hem yazı hem asal gelme) durumunu bulmalıyız. Para ve zar birbirini etkilemediği için bunlar bağımsız olaylardır (Bkz. Bölüm 1.2):

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Şimdi birleşim formülünde yerine koyalım:

$$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Cevap: $\dfrac{3}{4}$

 Örnek 3: Tablo Yöntemi ile Kümeleri Yönetmek

Soru: Sınıf Dijital platformundaki bir deneme sınavına katılan 30 kişilik bir öğrenci grubuna dair veriler aşağıdadır:

Gruptan rastgele seçilen bir öğrencinin Sayısal öğrencisi veya Mezun olma olasılığını bulunuz.

Çözüm:

Bu tür tablo sorularında formül kullanmak yerine, istenen kitleyi tablodan doğrudan saymak çok daha güvenlidir.

"Sayısal VEYA Mezun" olanları seçeceğiz.

 Tüm Sayısal öğrencileri: 15 kişi (11 on ikinci sınıf + 4 mezun)

 Tüm Mezunlar: 12 kişi (4 sayısal + 8 eşit ağırlık)

Eğer $15 + 12$ yaparsak, Sayısal ve Mezun olan o 4 kişiyi iki kere toplamış oluruz.

Doğru sayım: Sayısal öğrencileri (15) + Geriye kalan Eşit Ağırlık Mezunları (8) = 23 kişi.

Olasılık hesabı:

$$P(\text{Sayısal} \cup \text{Mezun}) = \frac{\text{İstenen Toplam}}{\text{Genel Toplam}} = \frac{23}{30}$$

Cevap: $\dfrac{23}{30}$

 Örnek 4: Kesişen Basit Olayların Bileşimi

Soru: Nesli ve Zeynep'in de aralarında bulunduğu 8 kişilik bir arkadaş grubundan rastgele 3 kişi seçilerek bir oyun takımı kurulacaktır. Kurulan bu takımda Nesli veya Zeynep'in bulunma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Burada istenen olay (Nesli'nin olması $\cup$ Zeynep'in olması) oldukça geniş bir kümedir. Sadece Nesli olabilir, sadece Zeynep olabilir veya ikisi birden takımda olabilir. Bu üç durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplamak uzundur.

Alternatif Pratik Çözüm (Tümleyen Kuralı):

Bir olayın kendisi ile tümleyeni (olumsuzu) toplamı 1'dir.

"Nesli veya Zeynep'in bulunması" durumunun tümleyeni $\rightarrow$ İkisinin de kesinlikle bulunmamasıdır.

1. Tüm Durumlar: 8 kişi arasından 3 kişinin seçilmesi.

$$\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$$

2. İstenmeyen Durum (Nesli ve Zeynep yok): Nesli ve Zeynep'i 8 kişiden çıkarırız. Geriye kalan 6 kişi arasından 3 kişi seçeriz.

$$\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$$

3. Olasılık:

$$P(\text{İstenmeyen}) = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$$

Bizden istenen, bunun tam tersiydi:

$$P(\text{İstenen}) = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$$

Cevap: $\dfrac{9}{14}$

Örnek 5: Labirent Sorusu

 🖼️ GÖRSEL YERİ: Örnek 5 — Labirent Karar Ağacı Şeması

Çözüm:

Şekle göre $M$ noktasına ulaşmak için önce üst yolu, ardından $M$ çıkışını seçmek gerekir. $N$ noktasına ulaşmak için ise önce alt yolu, ardından $N$ çıkışını seçmek gerekir. Bu yolların olasılıklarını hesaplayalım:

 M Noktasına Ulaşma Olasılığı:

$$P(M) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

 N Noktasına Ulaşma Olasılığı:

$$P(N) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

$M$ ve $N$ noktalarına aynı anda ulaşmak fiziksel olarak imkânsız olduğundan bu olaylar ayrık olaylardır. Ayrık olayların birleşiminde kesişim kümesi boş küme olduğundan doğrudan olasılıkları toplarız:

$$P(M \cup N) = P(M) + P(N) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$$

Cevap: $\dfrac{5}{12}$

 Örnek 6: Torbadan Bilye Çekme (Saf Cebirsel Çözüm)

Soru: İçerisinde sarı, yeşil ve mor özdeş bilyeler bulunan bir torbadan çekilen bilyenin sarı olma olasılığının $\dfrac{1}{4}$, yeşil olma olasılığının $\dfrac{1}{5}$ olduğu biliniyor. Torbada 22 mor bilye bulunduğuna göre, çekilen bilyenin sarı veya mor olma olasılığını bulunuz.

(Not: Bu soru görsel gerektirmez, doğrudan matematiksel adımlarla çözülür.)

Çözüm:

Toplam bilye sayısı $s$, sarı bilye sayısı $a$, yeşil bilye sayısı $b$ olsun.

1. Sarı gelme olasılığı:

$$P(\text{Sarı}) = \frac{a}{s} = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad s = 4a$$

2. Yeşil gelme olasılığı:

$$P(\text{Yeşil}) = \frac{b}{s} = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad s = 5b$$

Bu durumda toplam bilye sayısı $s$, hem 4'ün hem de 5'in katı olmalıdır. Kolaylık olsun diye $s = 20k$ diyelim:

 $s = 4a \Rightarrow 20k = 4a \Rightarrow a = 5k$ (Sarı bilye sayısı)

 $s = 5b \Rightarrow 20k = 5b \Rightarrow b = 4k$ (Yeşil bilye sayısı)

Torbada sadece sarı, yeşil ve mor bilyeler olduğuna göre:

$$s = a + b + 22$$

$$20k = 5k + 4k + 22$$

$$11k = 22 \quad \Rightarrow \quad k = 2$$

Değerleri yerine yerleştirelim:

 Toplam bilye sayısı: $s = 20 \cdot 2 = 40$

 Sarı bilye sayısı: $a = 5 \cdot 2 = 10$

 Yeşil bilye sayısı: $b = 4 \cdot 2 = 8$

 Mor bilye sayısı: 22 (Soruda verilmişti)

Sarı ve mor gelme olayları ayrık olaylar olduğundan:

$$P(\text{Sarı} \cup \text{Mor}) = P(\text{Sarı}) + P(\text{Mor}) = \frac{10}{40} + \frac{22}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$$

Cevap: $\dfrac{4}{5}$ (veya %80)

 Örnek 7: Ağaç Diyagramı (Geri Bırakmalı Çekiliş)

Soru: Bir kutuda özdeş 3 kırmızı (K), 2 mavi (M) top vardır. Kutudan art arda (çekilen top geri konularak) 3 top çekiliyor ve her çekilişte topun rengi not ediliyor. Buna göre;

 a) En az ikisinin kırmızı gelme olayını ($A$),

 b) Üçünün de mavi gelme olayını ($B$),

 c) Yalnızca birinin kırmızı gelme olayını ($C$)

kümeler hâlinde yazınız.

 🖼️ GÖRSEL YERİ: Örnek 7 — 3 Aşamalı Ağaç Diyagramı

Çözüm:

Çekilen top geri konulduğu için her aşamada torbadaki top sayısı ve renk dağılımı (3 Kırmızı, 2 Mavi) korunur. Tüm olası çıktıları barındıran örnek uzayımız (8 eleman):

$$E = \{KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK, MMM\}$$

Diyagramı takip ederek istenen olay kümelerini kolayca yazabiliriz:

 a) En az iki kırmızı (2 veya 3 kırmızı olan durumlar):

$$A = \{KKK, KKM, KMK, MKK\}$$

 b) Üçünün de mavi olması:

$$B = \{MMM\}$$

 c) Yalnızca birinin kırmızı olması (1 kırmızı, 2 mavi olan durumlar):

$$C = \{KMM, MKM, MMK\}$$

 Hızlı hatırlatma

- "Veya" → birleşim: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

- Ayrıksa ($P(A \cap B)=0$): formül kısalır → $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

- Kesişim, bağımlıysa çarpma kuralıyla (§1.1), bağımsızsa doğrudan çarpımla (§1.2) bulunur.

- Çok sayıda alt durum varsa: tümleyen kuralı ($1 - P(\text{istenmeyen})$) hesabı kısaltır.

- Tablo/küme sorularında formül yerine doğrudan sayım çoğu zaman daha güvenlidir.