İndirgemeli Diziler ve İndirgeme Bağıntısı

📌 İndirgemeli Diziler ve İndirgeme Bağıntısı

Matematikte bir dizinin terimlerini bulmak için her zaman elimizde doğrudan $n$'e bağlı kapalı bir formül ($a_n = f(n)$) bulunmayabilir. Bazı durumlarda bir terim, kendinden önceki bir veya daha fazla terimin adımlarıyla inşa edilir.  

Bir terimin, kendinden önceki terimler cinsinden ifade edilmesine indirgeme bağıntısı, bu şekilde kurgulanan dizilere ise indirgemeli dizi denir.

 🔍 Genel Terim ile İndirgeme Bağıntısının Farkı

 Genel Terim ($a_n$): Sizi doğrudan hedefe götüren bir asansör gibidir. Örneğin $a_n = 5n - 1$ ise $a_{50}$'yi bulmak için tek yapmanız gereken $n = 50$ yazmaktır: $a_{50} = 249$.  

 İndirgeme Bağıntısı: Merdivenleri basamak basamak çıkmak gibidir. Bir sonraki adımı ($a_{n+1}$), durduğunuz basamağa ($a_n$) göre belirlersiniz.

 Unutmayın: Tek bir genel terimden birden fazla indirgeme bağıntısı üretebilirsiniz.  

 Örneğin $a_n = 4n + 1$ dizisini düşünelim:

 Tek adım geriye giderek: $a_{n+1} = a_n + 4$  

 Sabit terimsiz ve iki adım geriye giderek: $a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n$

 İki bağıntı da tamamen aynı sayı dizisini üretir.

Şekil 1. Genel terim (asansör) ve indirgeme bağıntısı (merdiven) arasındaki fark, Örnek 1'deki $(b_n)$ dizisi üzerinden:

 1. Adım Adım İlerleme Yöntemi (Yakın Terimler)

İstenen terim, elimizdeki terime birkaç adım uzaklıktaysa, bağıntıyı ardışık olarak işletip sonuca ulaşabiliriz.

 ✍️ Örnek 1

Bir $(b_n)$ dizisinde her $n \in \mathbb{Z}^+$ için $b_{n+1} = b_n - 3$ bağıntısı geçerlidir. $b_2 = 15$ olduğuna göre $b_6$ kaçtır?  

Çözüm:  

Bağıntı bize "her adımda sayıdan 3 çıkar" demektedir:

 $n = 2 \implies b_3 = b_2 - 3 = 15 - 3 = 12$  

 $n = 3 \implies b_4 = b_3 - 3 = 12 - 3 = 9$  

 $n = 4 \implies b_5 = b_4 - 3 = 9 - 3 = 6$  

 $n = 5 \implies b_6 = b_5 - 3 = 6 - 3 = 3$

 ✍️ Örnek 2 (İki Terime Bağlı Yapı)

$c_{n+2} = 2c_{n+1} + c_n$ bağıntısıyla tanımlı bir dizide $c_1 = 1$ ve $c_2 = 3$ veriliyor. $c_5$ kaçtır?  

Çözüm:  

Bu kez bir terimi bulmak için önündeki iki terim kullanılır:

 $n = 1 \implies c_3 = 2c_2 + c_1 = 2(3) + 1 = 7$  

 $n = 2 \implies c_4 = 2c_3 + c_2 = 2(7) + 3 = 17$  

 $n = 3 \implies c_5 = 2c_4 + c_3 = 2(17) + 7 = 41$

 ✍️ Örnek 3 (İki Terime Bağlı Yapı — Ek Uygulama)

$a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_n$ bağıntısıyla tanımlı bir dizide $a_1 = 2$ ve $a_2 = 5$ veriliyor. $a_5 + a_6$ toplamı kaçtır?

Çözüm:

Sırasıyla ileri terimleri buluruz:

 $n=1 \implies a_3 = 2a_2+a_1 = 2(5)+2=12$

 $n=2 \implies a_4 = 2a_3+a_2 = 2(12)+5=29$

 $n=3 \implies a_5 = 2a_4+a_3 = 2(29)+12=70$

 $n=4 \implies a_6 = 2a_5+a_4 = 2(70)+29=169$

$$a_5+a_6 = 70+169=\boxed{239}$$

 ✍️ Örnek 4 (Çoktan Seçmeli — İki Terime Bağlı Yapı)

Genel terimi $a_n$ olan bir dizide $a_1=5$, $a_2=3$ ve $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$ ($n\geq 1$) olduğuna göre $a_5$ kaçtır?

A) 81  B) 93  C) 105  D) 117  E) 129

Çözüm:

 $n=1 \implies a_3 = 4a_2 - a_1 = 4(3)-5=7$

 $n=2 \implies a_4 = 4a_3-a_2 = 4(7)-3=25$

 $n=3 \implies a_5 = 4a_4-a_3 = 4(25)-7=93$

Doğru cevap: B) 93

 2. Taraf Tarafa İşlem Yöntemleri (Uzak Terimler)

Hedef terim çok uzaktaysa (örneğin $a_1$'den $a_{40}$'a gitmek gerekiyorsa) tek tek hesaplamak vakit kaybıdır. Bunun yerine bağıntıları alt alta yazıp taraf tarafa toplama veya çarpma ile aradaki terimleri zincirleme şekilde yok ederiz.

 💡 Hangi Durumda Hangi Yöntem?

  Taraf Tarafa Toplama

 ✍️ Örnek 5

$a_{n+1} = a_n + 2n$ ve $a_1 = 5$ olduğuna göre $a_{20}$ değerini bulunuz.  

Çözüm:  

Bağıntıda $n$'e $1$'den $19$'a kadar değerler verip alt alta yazalım:

$$a_2 = a_1 + 2(1)$$

$$a_3 = a_2 + 2(2)$$

$$a_4 = a_3 + 2(3)$$

$$\vdots$$

$$a_{20} = a_{19} + 2(19)$$  

Taraf tarafa topladığımızda, eşitliğin her iki tarafında yer alan $a_2, a_3, \dots, a_{19}$ terimleri birbirini yok eder:

$$a_{20} = a_1 + 2(1 + 2 + 3 + \dots + 19)$$

$$1 \text{'den } 19 \text{'a kadar sayıların toplamı: } \frac{19 \cdot 20}{2} = 190$$

$$a_{20} = 5 + 2(190) = 5 + 380 = 385$$

Şekil 2. Taraf tarafa toplamada ara terimlerin sadeleşmesi — yukarıdaki Örnek 5'in $a_1,\dots,a_{20}$ zinciri üzerinden:

  ✍️ Örnek 6 (Çoktan Seçmeli — Taraf Tarafa Toplama)

$a_{n+1}=3n+a_n$ ($n\geq1$) bağıntısı ve $a_1=3$ bilgisi verilen dizinin $a_{15}$ terimi kaçtır?

A) 318  B) 321  C) 325  D) 330  E) 336

Çözüm:

$n$'e $1$'den $14$'e kadar değerler yazıp taraf tarafa toplarsak:

$$a_{15}=a_1+3(1+2+\dots+14)=3+3\cdot\frac{14\cdot15}{2}=3+3(105)=3+315=318$$

Doğru cevap: A) 318

 ✍️ Örnek 7 (Taraf Tarafa Toplama — Ek Uygulama)

$a_{n+1}=a_n+5$ ($n\geq1$) ve $a_1=2$ olduğuna göre $a_{12}$ kaçtır?

Çözüm:

Bağıntıda $n$'e $1$'den $11$'e kadar değerler yazıp taraf tarafa toplarsak, ara terimler sadeleşir ve toplamda $11$ tane $+5$ eklenmiş olur:

$$a_{12}=a_1+11\cdot5=2+55=57$$

  Taraf Tarafa Çarpma

 ✍️ Örnek 8

$a_{n+1} = \left(\frac{n+1}{n}\right) \cdot a_n$ ve $a_1 = 2$ veriliyor. $a_{50}$ değerini hesaplayınız.  

Çözüm:  

Bağıntıda $n$'e $1$'den $49$'a kadar değerler yazıp eşitlikleri taraf tarafa çarpalım:

$$a_2 = \frac{2}{1} \cdot a_1$$

$$a_3 = \frac{3}{2} \cdot a_2$$

$$a_4 = \frac{4}{3} \cdot a_3$$

$$\vdots$$

$$a_{50} = \frac{50}{49} \cdot a_{49}$$  

Çarptığımızda sol taraftaki $a_2, a_3, \dots, a_{49}$ ile sağ taraftaki aynı terimler sadeleşir:

$$a_{50} = \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{50}{49} \right) \cdot a_1$$  

Kesirlerdeki çapraz sadeleşmeden sadece $\frac{50}{1}$ kalır:

$$a_{50} = 50 \cdot a_1 = 50 \cdot 2 = 100$$

Şekil 3. Taraf tarafa çarpmada çapraz sadeleşme — yukarıdaki Örnek 8'in kesir zinciri üzerinden:

 ✍️ Örnek 9 (Çoktan Seçmeli — Taraf Tarafa Çarpma)

$a_1=12$ ve $a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{n+1}$ ($n\geq1$) indirgeme bağıntısı verildiğine göre $a_{10}$ değeri hangisidir?

A) $\dfrac{3^9}{9!}$  B) $\dfrac{4\cdot3^{10}}{10!}$  C) $\dfrac{4\cdot3^9}{9!}$  D) $\dfrac{3^{10}}{10!}$  E) $\dfrac{12\cdot3^{10}}{9!}$

Çözüm:

$n=1,2,\dots,9$ için bağıntıları taraf tarafa çarparsak ortak terimler sadeleşir:

$$a_{10}=a_1\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{3}{10}=a_1\cdot\frac{3^9}{2\cdot3\cdot4\cdots10}=12\cdot\frac{3^9}{10!}=\frac{12\cdot3^9}{10!}=\frac{4\cdot3^{10}}{10!}$$

Doğru cevap: B

 ✍️ Örnek 10 (Çoktan Seçmeli — Oranlı Yapılar / Geometrik Dizi)

$(a_n)$ pozitif terimli bir geometrik dizi olmak üzere $\dfrac{a_{n+5}}{a_{n+1}}=16$ bağıntısı veriliyor. Buna göre $\dfrac{a_{15}}{a_5}$ oranı kaçtır?

A) 64  B) 128  C) 256  D) 512  E) 1024

Çözüm:

Geometrik dizide ortak çarpan $r$ olsun. $\dfrac{a_{n+5}}{a_{n+1}}=r^4=16 \implies r=2$ (pozitif terimli olduğundan $r>0$).

$\dfrac{a_{15}}{a_5}$ oranında indis farkı $10$'dur, dolayısıyla taraf tarafa çarpma mantığıyla:

$$\frac{a_{15}}{a_5}=r^{10}=2^{10}=1024$$

Doğru cevap: E) 1024

 ✍️ Örnek 11 (Taraf Tarafa Çarpma — Ek Uygulama)

$a_{n+1}=2^n\cdot a_n$ ($n\geq1$) ve $a_1=3$ olduğuna göre $a_5$ kaçtır?

Çözüm:

Bağıntıda $n$'e $1$'den $4$'e kadar değerler yazıp taraf tarafa çarparsak:

$$a_2=2^1a_1,\quad a_3=2^2a_2,\quad a_4=2^3a_3,\quad a_5=2^4a_4$$

Çarptığımızda ara terimler sadeleşir:

$$a_5=a_1\cdot2^{1+2+3+4}=3\cdot2^{10}=3\cdot1024=3072$$

Şekil 4. Toplama ve çarpma yöntemlerinin soyut/genel örüntüsü — iki tekniğin yan yana özeti:

 3. İndirgeme Bağıntısından Genel Terim Elde Etme

Aynı zincirleme sadeleştirme tekniğini belirli bir sabit sayıya kadar değil de $n$ değişkenine kadar sürdürürsek, dizinin kapalı formdaki genel terimine ($a_n$) ulaşırız.

 ✍️ Örnek 12

$a_{n} = a_{n-1} + 3$ bağıntısı ve $a_1 = 4$ başlangıç değeri verilen dizinin genel terimini yazınız.  

Çözüm:  

$n$ yerine $2, 3, \dots, n$ yazalım:

$$a_2 = a_1 + 3$$

$$a_3 = a_2 + 3$$

$$a_4 = a_3 + 3$$

$$\vdots$$

$$a_n = a_{n-1} + 3$$  

Taraf tarafa toplandığında $a_2, \dots, a_{n-1}$ terimleri yok olur. Burada toplamda $(n-1)$ tane eşitlik yazılmıştır:

$$a_n = a_1 + 3 \cdot (n - 1)$$

$$a_n = 4 + 3n - 3$$

$$a_n = 3n + 1$$

 ✍️ Örnek 13 (Toplama Yöntemiyle Genel Terim Bulma)

$a_{n+1}=a_n+8n$ ($n\geq1$) bağıntısı ve $a_1=5$ ile tanımlı dizinin genel terimini bulunuz.

Çözüm:

$n$ yerine $1,2,\dots,n-1$ yazıp taraf tarafa toplarsak:

$$a_n=a_1+8(1+2+\dots+(n-1))=5+8\cdot\frac{(n-1)n}{2}=5+4n(n-1)$$

$$a_n=4n^2-4n+5$$

 ✍️ Örnek 14 (Genel Terim Bulma — Ek Uygulama)

$a_n=a_{n-1}-4$ ($n\geq2$) ve $a_1=10$ olan dizinin genel terimini bulunuz.

Çözüm:

$n$ yerine $2,3,\dots,n$ yazıp taraf tarafa toplarsak, ara terimler sadeleşir ve toplamda $(n-1)$ tane $-4$ eklenmiş olur:

$$a_n=a_1-4(n-1)=10-4n+4$$

$$a_n=14-4n$$

 4. Kült İndirgemeli Dizi: Fibonacci Dizisi

İndirgemeli dizilerin doğadaki en ünlü örneği Fibonacci Dizisi'dir. İlk iki terimi $1$ olan dizide, $3.$ terimden itibaren her terim kendisinden hemen önceki iki terimin toplanmasıyla elde edilir.

$$\boxed{F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n \geq 3)}$$  

Dizinin ilk terimleri:

$$(F_n) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \dots)$$

 ✍️ Örnek 15

Fibonacci dizisinde $F_9 = 34$ ve $F_{11} = 89$ olduğuna göre $F_{10}$ değerini bulunuz.  

Çözüm:  

Fibonacci tanımı gereği $F_{11} = F_{10} + F_9$ olur.

$$89 = F_{10} + 34 \implies F_{10} = 89 - 34 = 55$$

 ✍️ Örnek 16 (Çoktan Seçmeli — Fibonacci)

$(1,1,2,3,5,8,13,x-y,34,55,x+y,144,\dots)$ dizisi bir Fibonacci dizisi olduğuna göre $x\cdot y$ çarpımı kaçtır?

A) 1849  B) 1869  C) 1870  D) 1880  E) 1890

Çözüm:

Dizideki eksik terimler sırasıyla $F_8$ ve $F_{11}$ konumundadır: $F_8=21$, $F_{11}=89$.

$$x-y=21, \quad x+y=89$$

İki denklemi taraf tarafa toplayıp çıkararak: $2x=110 \implies x=55$, $2y=68 \implies y=34$.

$$x\cdot y = 55\cdot34=1870$$

(Dikkat: $(x-y)(x+y)=x^2-y^2=21\cdot89=1869$ değeri $xy$ ile karıştırılmamalıdır — bu, B şıkkının hedeflediği klasik bir çeldiricidir.)

Doğru cevap: C) 1870

 ✍️ Örnek 17 (Fibonacci)

$F_1=1,F_2=1$ ve $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ ($n>2$) tanımlı Fibonacci dizisinde $F_7+F_9$ toplamı kaçtır?

A) 47  B) 55  C) 62  D) 68  E) 75

Çözüm:

Fibonacci dizisinin ilk terimleri: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots$ Buradan $F_7=13$ ve $F_9=34$.

$$F_7+F_9=13+34=47$$

Doğru cevap: A) 47