8. Türevin Uygulamaları: Artan ve Azalan Fonksiyonlar

 8. Türevin Uygulamaları: Artan ve Azalan Fonksiyonlar

 1. Artan Fonksiyon

 💡 Tanım

$f: (a, b) \to \mathbb{R}$, $y = f(x)$ türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere:

$(a, b)$ aralığındaki her $x_1, x_2$ değeri için,

$$x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$$

koşulu sağlanıyorsa, $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında artan fonksiyon denir.

 📊 Artan Fonksiyonun Grafikleri

 🖼️ Durum 1: Pozitif Tanımlı Artan Fonksiyon

Açıklama: $(a, b)$ aralığındaki her $x_1 < x_2$ için $0 < f(x_1) < f(x_2)$ olduğundan, $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında pozitif tanımlı artan fonksiyondur.

 🖼️ Durum 2: Negatif Tanımlı Artan Fonksiyon

Açıklama: $(a, b)$ aralığındaki her $x_1 < x_2$ için $f(x_1) < f(x_2) < 0$ olduğundan, $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında negatif tanımlı artan fonksiyondur.

🖼️ Durum 3: İşaret Değiştiren Artan Fonksiyon

Açıklama: $(a, b)$ aralığındaki her $x_1 < x_2$ için $f(x_1) < f(x_2)$ (işaret fark etmeksizin) olduğundan, $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında artan fonksiyondur.

 💡 Türev ile Artan Fonksiyonun İlişkisi

Teorem:

Yukarıdaki şekilde, $(a, b)$ aralığının her noktasında $y = f(x)$'in bütün teğetlerinin eğimi pozitif olduğundan, aynı aralıkta $f'(x)$ daima pozitiftir.

$$\boxed{f'(x)  0 \iff y = f(x) \text{ fonksiyonu } (a, b) \text{ aralığında artandır}}$$

 2. Azalan Fonksiyon

 💡 Tanım

$f: (a, b) \to \mathbb{R}$, $y = f(x)$ türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere:

$(a, b)$ aralığındaki her $x_1, x_2$ değeri için,

$$x_1 < x_2 \implies f(x_1)  f(x_2)$$

koşulu sağlanıyorsa, $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında azalan fonksiyon denir.

📊 Azalan Fonksiyonun Grafikleri

 🖼️ Durum 1: Pozitif Tanımlı Azalan Fonksiyon

Açıklama: $(a, b)$ aralığındaki her $x_1 < x_2$ için $0 < f(x_2) < f(x_1)$ olduğundan, $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında pozitif tanımlı azalan fonksiyondur.

 🖼️ Durum 2: Negatif Tanımlı Azalan Fonksiyon

Açıklama: $(a, b)$ aralığındaki her $x_1 < x_2$ için $f(x_2) < f(x_1) < 0$ olduğundan, $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında negatif tanımlı azalan fonksiyondur.

🖼️ Durum 3: İşaret Değiştiren Azalan Fonksiyon

Açıklama: $(a, b)$ aralığındaki her $x_1 < x_2$ için $f(x_2) < f(x_1)$ (işaret fark etmeksizin) olduğundan, $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında azalan fonksiyondur.

 💡 Türev ile Azalan Fonksiyonun İlişkisi

Bilgi:

Yukarıdaki şekilde, $(a, b)$ aralığının her noktasında $y = f(x)$'in bütün teğetlerinin eğimi negatif olduğundan, aynı aralıkta $f'(x)$ daima negatiftir.

$$\boxed{f'(x) < 0 \iff y = f(x) \text{ fonksiyonu } (a, b) \text{ aralığında azalandır}}$$

 3. Sabit Fonksiyon

 💡 Tanım

$f: (a, b) \to \mathbb{R}$, $y = f(x)$ türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere:

$(a, b)$ aralığındaki her $x_1, x_2$ değeri için,

$$f(x_1) = f(x_2)$$

koşulu sağlanıyorsa, $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında sabit fonksiyon denir.

 📊 Sabit Fonksiyonun Grafiği

Açıklama: $(a, b)$ aralığındaki her $x_1 < x_2$ için $f(x_1) = f(x_2) = c$ (sabit) olduğundan, $f(x)$ fonksiyonu $(a, b)$ aralığında sabit fonksiyondur.

 💡 Türev ile Sabit Fonksiyonun İlişkisi

Bilgi:

Sabit bir fonksiyonda, $x_1 < x_2$ olmak üzere $f(x_1) = f(x_2)$ ise, fonksiyonun grafiği yatay bir doğrudur. Bu nedenle, sabit fonksiyonun türevi (teğetlerin eğimi) her noktada sıfırdır.

$$\boxed{f'(x) = 0 \iff y = f(x) \text{ fonksiyonu } (a, b) \text{ aralığında sabittir}}$$

 4. Örnekler

 📚 Örnek 1 (Artan Aralıkları Bulma)

$$f(a) = a^4 - 8a^2 + 4$$

fonksiyonunun artan olduğu aralıkları bulalım.

Çözüm

Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için:

1. Türevini al

2. Türevin sıfır olduğu noktaları bul (kritik noktalar)

3. İşaret tablosu oluştur

4. $f'(a)  0$ olan aralıkları belirle

Adım 1: Türev al

$$f'(a) = 4a^3 - 16a$$

Adım 2: Türevi çarpanlarına ayır

$$f'(a) = 4a^3 - 16a = 4a(a^2 - 4) = 4a(a-2)(a+2)$$

Adım 3: Kritik noktaları bul (f'(a) = 0)

$$4a(a-2)(a+2) = 0$$

Çarpanları sıfıra eşitleyelim:

- $a = 0$

- $a - 2 = 0 \implies a = 2$

- $a + 2 = 0 \implies a = -2$

Kritik noktalar: $a \in \{-2, 0, 2\}$

Adım 4: İşaret Tablosu Oluştur

Adım 5: Sonuç

$f'(a)  0$ olan aralıklar, fonksiyonun artan olduğu aralıklardır.

Cevap: $f(a)$ fonksiyonu $(-2, 0)$ ve $(2, \infty)$ aralıklarında artandır.

 📚 Örnek 2 (Parametreli Artan Fonksiyon)

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^3 + kx^2 + 3x$$

fonksiyonu $(-\infty, \infty)$ aralığında artan olduğuna göre, $k$'nın alabileceği değerleri bulalım.

Çözüm

Bir fonksiyon sonsuza kadar (tüm reel sayılar üzerinde) artan ise, türevi daima pozitif (veya sıfır) olmalıdır:

$$f'(x) \geq 0 \quad \text{(her } x \in \mathbb{R} \text{ için)}$$

Adım 1: Türev al

$$f'(x) = 3x^2 + 2kx + 3$$

Adım 2: Türevin daima pozitif olması şartı

$f'(x) = 3x^2 + 2kx + 3$ ikinci dereceden bir trinomiyomdur. Bu trinomiyom her $x$ değeri için $\geq 0$ olması için:

- Katsayı $3  0$ (yukarı açık parabol)

- Diskriminant $\Delta \leq 0$ (x eksenini kesmemeli veya teğet olmalı)

Adım 3: Diskriminant şartını uygula

$$\Delta = b^2 - 4ac \leq 0$$

Burada $a = 3$, $b = 2k$, $c = 3$ olduğundan:

$$(2k)^2 - 4(3)(3) \leq 0$$

$$4k^2 - 36 \leq 0$$

$$4k^2 \leq 36$$

$$k^2 \leq 9$$

$$|k| \leq 3$$

Adım 4: Sonuç

$$-3 \leq k \leq 3$$

Cevap: $k \in [-3, 3]$ (Yani $k$ değeri $-3$ ile $3$ arasında olmalıdır.)

 📚 Örnek 3 (Rasyonel Fonksiyon - Bölüm Kuralı)

$$f: \mathbb{R} - \{-2\} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{x-1}{x+2}$$

fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım.

Çözüm

Adım 1: Türev al (Bölüm Kuralı)

Bölüm kuralı: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Burada $u = x - 1$, $v = x + 2$ olduğundan:

$$f'(x) = \frac{(1)(x+2) - (x-1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{x + 2 - x + 1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}$$

Adım 2: Türevin işaretini incele

$$f'(x) = \frac{3}{(x+2)^2}$$

- Pay: $3  0$ (daima pozitif)

- Payda: $(x+2)^2  0$ (her zaman pozitif, $x \neq -2$)

Sonuç: $f'(x) 0$ her $x \in \mathbb{R} - \{-2\}$ için.

Adım 3: Tanım Kümesini Göz Önüne Al

Fonksiyonun tanım kümesi: $\mathbb{R} - \{-2\} = (-\infty, -2) \cup (-2, \infty)$

Cevap: 

- $f(x)$ fonksiyonu $(-\infty, -2)$ aralığında artandır.

- $f(x)$ fonksiyonu $(-2, \infty)$ aralığında artandır.

(Not: İki ayrı aralıkta artan olması, birleştirilmiş olarak "sürekli artan" demek değildir. Fonksiyon $x = -2$'de tanımsız olduğundan, burada bir dikey asimptot vardır.)

 📚 Örnek 4 (Karesel Fonksiyon - En Geniş Azalan Aralık)

$$f(x) = x^2 - 8x + 25$$

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık hangisidir?

Çözüm

Adım 1: Türev al

$$f'(x) = 2x - 8$$

Adım 2: Kritik noktaları bul (f'(x) = 0)

$$2x - 8 = 0$$

$$x = 4$$

Adım 3: İşaret Tablosu Oluştur

Adım 4: Azalan Aralığı Belirle

$f'(x) \leq 0$ eşitsizliğinin sağlandığı bölge dikkate alınır. Tablodan görüleceği üzere, fonksiyon $(-\infty, 4)$ aralığında azalandır.

Cevap: Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık $\boxed{(-\infty, 4]}$ aralığıdır.

(Önemli Not: Fonksiyonun sürekli olduğu kritik uç noktalarda türev sıfır gelse dahi, bu noktalar "en geniş azalan/artan aralık" sorulduğunda aralığa dahil edilir (köşeli parantez kullanılır). Ayrıca $x = 4$ noktası bu parabolün tepe (yerel minimum) noktasıdır.)

 📚 Örnek 5 (Kübik Fonksiyon - Azalan Aralık)

$$f(x) = \frac{x^3}{3} - 5x^2 + 16x + 11$$

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

Adım 1: Türev al

$$f'(x) = \frac{3x^2}{3} - 10x + 16 = x^2 - 10x + 16$$

Adım 2: Kritik noktaları bul (f'(x) = 0)

$$x^2 - 10x + 16 = 0$$

$$(x - 2)(x - 8) = 0$$

Kritik noktalar: $x = 2$ ve $x = 8$

Adım 3: İşaret Tablosu Oluştur

Adım 4: Azalan Aralığı Belirle

Azalan aralık için $f'(x) \leq 0$ eşitsizliğine bakılır. 

Tablodan görüleceği üzere bu koşulu sağlayan bölge $(2, 8)$ aralığıdır. MEB müfredatı gereği sınır noktalarında fonksiyon sürekli olduğundan bu noktalar aralığa dahil edilir.

Cevap: Fonksiyonun azalan olduğu en geniş değer aralığı $\boxed{[2, 8]}$ aralığıdır.

 📚 Örnek 6 (Kübik Fonksiyon - Azalan Aralık)

$$f(x) = x^3 - 2x^2 + x$$

(Not: Bu soru konu anlatımı içinden "Örnekler" bölümüne taşınmıştır ve değişken 'x' olarak güncellenmiştir.)

fonksiyonunun azalan olduğu aralığı bulalım.

Çözüm

Adım 1: Türev al

$$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$

Adım 2: Kritik noktaları bul (f'(x) = 0)

$$3x^2 - 4x + 1 = 0$$

$$(3x - 1)(x - 1) = 0$$

Kritik noktalar: $x = \frac{1}{3}$ ve $x = 1$

Adım 3: İşaret Tablosu Oluştur

Adım 4: Sonuç

$f'(x) \leq 0$ olan aralık, fonksiyonun azalan olduğu aralıktır. Sınır noktaları dahildir.

Cevap: $f(x)$ fonksiyonu $\boxed{\left[\frac{1}{3}, 1\right]}$ aralığında azalandır.

 📚 Örnek 7 (Sabit Fonksiyon Şartı)

$$f(x) = \frac{ax + 6}{2x - 3}$$

fonksiyonu uygun tanım aralığında sabit bir fonksiyon olduğuna göre, $a$ kaçtır?

Çözüm

1. Yol (Kısa Yol - AYT Pratiği):

$f(x) = \frac{mx + n}{px + q}$ formundaki rasyonel fonksiyonların sabit olması için pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayıları oranı birbirine eşit olmalıdır:

$$\frac{m}{p} = \frac{n}{q}$$

Buna göre:

$$\frac{a}{2} = \frac{6}{-3}$$

$$\frac{a}{2} = -2 \implies a = -4$$

2. Yol (Türev Mantığı):

Sabit fonksiyonun türevi daima sıfırdır: $f'(x) = 0$

Bölüm kuralı uygulandığında payın sıfır olması gerekir:

$f'(x) = \frac{a(-3) - 6(2)}{(2x - 3)^2} = 0$

$-3a - 12 = 0 \implies 3a = -12 \implies a = -4$

Cevap: $\boxed{a = -4}$