12. Türevin Fiziksel Yorumu

 12. Türevin Fiziksel Yorumu

 Hız, İvme ve Güç

 📘 Bilgi

1. Hız:

$t$ zamanında aldığı yolu $s = s(t)$ denklemiyle verilen bir hareketlinin $t$ ye bağlı hızı:

$$\boxed{V(t) = s'(t)}$$

yani yolun zamana göre birinci türevidir.

2. İvme:

$t$ zamanındaki hızı $V = V(t)$ olan bir hareketlinin $t$ ye bağlı ivmesi:

$$\boxed{a(t) = V'(t) = s''(t)}$$

yani hızın zamana göre birinci türevi, yolun zamana göre ikinci türevidir.

3. Güç:

$t$ zamanında yaptığı iş $W = W(t)$ denklemiyle verilen bir sistemin $t$ ye bağlı gücü:

$$\boxed{P(t) = W'(t)}$$

yani işin zamana göre türevidir.

 📌 Örnek 1

$t$ saniyede aldığı yol $s(t) = 2t^2 + 5t + 3$ metre olan bir hareketlinin $t$'inci saniyedeki hızını ve ivmesini bulalım.

✅ Çözüm:

Hız:

$$V(t) = s'(t) = 4t + 5 \quad \text{(m/s)}$$

İvme:

$$a(t) = V'(t) = s''(t) = 4 \quad \text{(m/s}^2\text{)}$$

İvme sabit olduğundan bu hareket sabit ivmeli harekettir.

 Polinom-Türev İlişkisi

 📘 Bilgi

$P(x)$ polinomu $(x - a)^n$ ifadesine tam bölünüyorsa:

$$P(a) = 0, \quad P'(a) = 0, \quad P''(a) = 0, \quad \ldots, \quad P^{(n-1)}(a) = 0$$

olur.

$$\boxed{P(x) \text{ , } (x-a)^n \text{ ye tam bölünür} \implies P(a) = P'(a) = P''(a) = \cdots = P^{(n-1)}(a) = 0}$$

Yorumu: $x = a$, $P(x)$ nin en az $n$ katlı kökü ise ilk $(n-1)$ türev de $x = a$ da sıfır olur.

 📌 Örnek 2

$$P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$$

polinomu $(x+1)^3$ ile tam bölündüğüne göre, $a + b + c$ toplamını bulalım.

✅ Çözüm:

$P(x)$, $(x+1)^3 = (x-(-1))^3$ e tam bölündüğünden Polinom-Türev İlişkisi gereği:

$$P(-1) = 0, \quad P'(-1) = 0, \quad P''(-1) = 0$$

Türevleri al:

$$P'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$

$$P''(x) = 6x + 2a$$

$P''(-1) = 0$:

$$-6 + 2a = 0 \implies a = 3$$

$P'(-1) = 0$:

$$3 - 6 + b = 0 \implies b = 3$$

$P(-1) = 0$:

$$-1 + 3 - 3 + c = 0 \implies c = 1$$

Sonuç:

$$a + b + c = 3 + 3 + 1 = \boxed{7}$$

> Doğrulama: $P(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x+1)^3$ ✓

 📌 Örnek 3

$$P(x) = 3x^7 - mx^2 - 5x + u$$

polinomu $(x-1)^2$ ile tam bölünebildiğine göre, $P(x)$ polinomunun $x + 1$ ile bölümünden kalan kaçtır?

✅ Çözüm:

$P(x)$, $(x-1)^2$ e tam bölündüğünden:

$$P(1) = 0 \quad \text{ve} \quad P'(1) = 0$$

Türevleri al:

$$P'(x) = 21x^6 - 2mx - 5$$

$P'(1) = 0$:

$$21 - 2m - 5 = 0 \implies 2m = 16 \implies m = 8$$

$P(1) = 0$:

$$3 - m - 5 + u = 0 \implies u - m = 2 \implies u = 10 \quad ()$$

$x + 1$ ile bölümden kalan = $P(-1)$:

$$P(-1) = 3(-1)^7 - m(-1)^2 - 5(-1) + u = -3 - m + 5 + u = 2 + (u - m)$$

$()$ den $u - m = 2$ olduğundan:

$$P(-1) = 2 + 2 = \boxed{4}$$

Not: $m$ ve $u$ değerlerini ayrı ayrı bulmadan, yalnızca $P(1) = 0$ koşulundan elde edilen $u - m = 2$ ilişkisini kullanarak da sonuca ulaşılabilir.