2. İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

İki bilinmeyenli denklem sistemlerini daha önce gördün — iki doğrunun kesişim noktasını bulmak gibi düşünebilirsin. Şimdi denklemlerden biri (ya da ikisi birden) ikinci dereceden olduğunda ne değiştiğini inceliyoruz. Geometrik karşılığı artık iki doğrunun değil, bir doğru ile bir parabol ya da iki parabol kesişiminin bulunmasıdır. Bu kesişim 0, 1 veya 2 nokta olabilir.

 1. Tanım

Aşağıdaki biçimde yazılan denklem çiftine ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir:

$$\begin{cases} ax^2 + bx + cy + d = 0 \\ ex + fy + g = 0 \end{cases}$$

Genel olarak sistemin bir denklemi ikinci dereceden, diğeri birinci dereceden olur. Her iki denklem de ikinci dereceden olabilir ancak AYT'de en yaygın biçim bir ikinci derece + bir birinci derece kombinasyonudur.

Sistemin çözümü, her iki denklemi de aynı anda sağlayan $(x, y)$ ikililerinin kümesidir.

 2. Çözüm Yöntemi: Yerine Koyma

İkinci dereceden sistemleri çözmek için standart yöntem yerine koymadır (substitution). Toplama/çıkarma yöntemi burada genellikle işe yaramaz çünkü denklemlerin derecesi farklıdır.

 Adımlar

1. Birinci dereceden denklemden bir bilinmeyeni yalnız bırak.

2. Elde ettiğin ifadeyi ikinci dereceden denkleme yerine koy.

3. Tek bilinmeyenli ikinci dereceden denklemi çöz ($x$ değerlerini bul).

4. Bulunan her $x$ değerini birinci dereceden denkleme koyarak karşılık gelen $y$ değerlerini hesapla.

5. Çözüm kümesini $(x, y)$ ikilisi olarak yaz.

 Neden birinci dereceden denklemden başlarız? Çünkü birinci dereceden denklemden $y = \ldots$ ya da $x = \ldots$ biçiminde yalnız bırakmak her zaman daha kolaydır. İkinci dereceden denklemden yalnız bırakmak karekök alınmasını gerektireceğinden işlemi gereksiz yere karmaşıklaştırır.

 3. Örnekler

 Örnek 1 — Temel Sistem

$$\begin{cases} x^2 + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$$

Adım 1: İkinci denklemden $y$'yi yalnız bırak:

$$y = 3 - x$$

Adım 2: Birinci denkleme koy:

$$x^2 + (3 - x) = 5$$

$$x^2 - x + 3 = 5$$

$$x^2 - x - 2 = 0$$

Adım 3: Çarpanlara ayır:

$$(x-2)(x+1) = 0 \implies x = 2 \quad \text{veya} \quad x = -1$$

Adım 4: Her $x$ için $y$ değerini bul:

- $x = 2 \Rightarrow y = 3 - 2 = 1$

- $x = -1 \Rightarrow y = 3 - (-1) = 4$

Çözüm kümesi: $\{(2,\ 1),\ (-1,\ 4)\}$

 Örnek 2 — Tek Çözümlü Sistem (Teğet Durum)

$$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$

Adım 1: İkinci denklemden $y$'yi yalnız bırak:

$$y = 2x - 1$$

Adım 2: Birinci denkleme koy:

$$x^2 - (2x - 1) = 0$$

$$x^2 - 2x + 1 = 0$$

$$(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$$

Adım 3: $y$ değerini bul:

$$y = 2(1) - 1 = 1$$

Çözüm kümesi: $\{(1,\ 1)\}$

$(x-1)^2 = 0$ ifadesinde diskriminant sıfır — bu doğrunun parabolü tek noktada (teğet olarak) kestiği anlamına gelir.

 

 Örnek 3 — Çözümsüz Sistem (Kesişmeme Durumu)

$$\begin{cases} x^2 + y = -5 \\ x - y = 3 \end{cases}$$

Adım 1: İkinci denklemden $y$'yi yalnız bırakın:

$$y = x - 3$$

Adım 2: Birinci denklemde yerine koyun:

$$x^2 + (x - 3) = -5$$

$$x^2 + x - 3 = -5$$

$$x^2 + x + 2 = 0$$

Adım 3: Diskriminantı ($\Delta$) kontrol edin:

$$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$$

$\Delta < 0$ olduğundan denklemin reel kökü yoktur. Bu durum, sistemin çözüm kümesinin boş küme ($\emptyset$) olduğu ve grafiklerin analitik düzlemde asla kesişmediği anlamına gelir.

 📊GRAFİK: $y = -5 - x^2$ parabolü ile $y = x - 3$ doğrusunun kesişmediği durum gösterilmeli.

 4. Çözüm Sayısı ve Diskriminant İlişkisi

Yerine koyma sonucunda elde edilen ikinci dereceden denklemin diskriminantı sistemin kaç çözümü olduğunu belirler:

 5. Çözüm Kümesinin Özellikleri

- Sistem en fazla 2 çözüm içerir (birinci derece + ikinci derece kombinasyonu).

- Her çözüm bir sıralı ikili $(x, y)$ olarak yazılır.

- Çözüm kümesi boş olabilir: $\emptyset$