2. Logaritma Fonksiyonu

 1.2 Logaritma Fonksiyonu

 Üstel İşlemin Tersine Yolculuk

Üstel ifadelerde çoğu zaman kuvvetin kendisi aranır ve bu değer kolayca hesaplanabilir. Örneğin

$$5^2=25$$

eşitliğinde üssün $2$ olduğu doğrudan görülür. Ancak

$$5^x=30$$

denklemi söz konusu olduğunda durum değişir: bu eşitliği sağlayan $x$ değeri ne bir tam sayıdır ne de basit bir kesirle ifade edilebilir; sonuç, ondalık açılımı hiç bitmeyen irrasyonel bir sayıdır. İşte tam da bu noktada, "hangi üs?" sorusuna cevap veren logaritma kavramı imdadımıza yetişir.

Başka bir ifadeyle logaritma, bir sayının belirli bir tabanın kaçıncı kuvveti olduğunu gösteren işlemdir. Bu nedenle logaritma ile üstel fonksiyon birbirini tamamlayan iki matematiksel yapıdır.

 Logaritmanın Temel Fikri

Pozitif ve 1'den farklı bir $a$ sayısı için,

$$a^y=x$$

eşitliğini sağlayan $y$ değerine,

$$\log_a x$$

denir.

Bu ilişki

$$a^y=x \Longleftrightarrow \log_a x=y$$

şeklinde de ifade edilir.

Okunuşu:

 "$\log_a x$", "a'nın kaçıncı kuvveti x eder?" sorusunun matematiksel karşılığıdır.

 Logaritmanın Tanımlı Olabilmesi İçin

Bir logaritma ifadesinin anlamlı olabilmesi için üç koşul aynı anda sağlanmalıdır.

• Logaritmanın içindeki ifade pozitif olmalıdır.
• Taban pozitif olmalıdır.
• Taban 1'e eşit olmamalıdır.

Matematiksel olarak,

$$\log_a b$$

ifadesi için

$$a>0,\qquad a\neq1,\qquad b>0$$

şartları zorunludur.

 Değişken İçeren Logaritmalar

Tabanda veya logaritmanın içinde değişken bulunuyorsa her koşul ayrı ayrı incelenmelidir.

Örneğin,

$$f(x)=\log_{m(x)} n(x)$$

fonksiyonunun tanımlı olması için

- $n(x)>0$

- $m(x)>0$

- $m(x)\neq1$

eşitsizlikleri birlikte sağlanmalıdır.

 Kontrol Noktası

 Tanım kümesi sorularında öğrencilerin en sık yaptığı hata yalnızca logaritmanın içini incelemektir. Tabanın da gerekli koşulları sağlaması gerektiği unutulmamalıdır.

 Üstel Fonksiyon ile İlişkisi

Logaritma ve üstel fonksiyon birbirinin tersidir.

Bu nedenle bir fonksiyonun grafiğindeki her nokta, diğer grafikte koordinatları yer değiştirmiş hâlde görülür.

Örneğin,

üstel fonksiyon üzerinde bulunan

$$(2,8)$$

noktası,

logaritma grafiğinde

$$(8,2)$$

noktasına karşılık gelir.

Bu dönüşüm, grafiklerin

$$y=x$$

doğrusuna göre simetrik olmasını sağlar.

 Günlük Hayatta Logaritma

Logaritma yalnızca soyut bir işlem değildir; nicelikler arasındaki oranların çok büyük veya çok küçük olduğu durumlarda ölçüm yapmayı kolaylaştıran pratik bir araçtır:

 Logaritma Fonksiyonunun Grafiği

Grafiğin davranışı tabanın değerine bağlıdır.

 Grafikten Hatırlanması Gerekenler

• Grafik yalnızca pozitif $x$ değerlerinde tanımlıdır.
• Her logaritma grafiği $(1,0)$ noktasından geçer.
• Grafik hiçbir zaman $y$ eksenini kesmez.
• $x=0$ doğrusu düşey asimptottur.
• Taban büyüdükçe grafik daha yavaş yükselir.

 Görsel Önerisi

 En Yaygın Logaritma Türleri

 Onluk Logaritma: Günlük Hayatın Tabanı

Nicelikleri karşılaştırırken bilim insanları genellikle $10$ tabanını tercih eder, çünkü bu taban ondalık sayı sistemimizle doğrudan uyumludur. Bu yüzden tabanı $10$ olan logaritmaya onluk logaritma (bayağı logaritma) denir ve gösterimde taban genellikle belirtilmez:

$$\log_{10}x=\log x$$

 Nerelerde Kullanılır?

• Deprem büyüklükleri
• Ses şiddeti
• Kimyasal ölçümler
• Bilimsel hesaplamalar

 Doğal Logaritma: Büyüme ve Değişimin Tabanı

Doğada karşılaşılan sürekli büyüme ve azalma süreçlerinde (nüfus artışı, radyoaktif bozunma, bileşik faiz) ortaya çıkan özel bir sabit vardır:

$$e\approx2.71828$$

Bu sayı tabana alındığında elde edilen logaritmaya doğal logaritma denir ve

$$\ln x$$

sembolüyle gösterilir. Üstel gösterimle ilişkisi

$$e^y=x \Longleftrightarrow \ln x=y$$

biçimindedir.

Doğal logaritma özellikle büyüme modelleri, türev ve integral konularında önemli bir yere sahiptir.

 Matematik Tarihinden

17. yüzyılda uzun hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla logaritma kavramı geliştirildi. Bu fikir zamanla astronomiden mühendisliğe, finanstan fizik ve biyolojiye kadar birçok alanda temel hesaplama araçlarından biri hâline geldi.

Osmanlı bilim dünyasında ise logaritma cetvellerinin kullanımı üzerine hazırlanan çalışmalar, konunun eğitimde yaygınlaşmasına katkı sağlamıştır.

 Sık Yapılan Hatalar

 Yanlış 1

Tabanı negatif almak.

$$\log_{-3}9$$

tanımlı değildir.

 Yanlış 2

Logaritmanın içine sıfır ya da negatif bir sayı yazmak.

$$\log 0 \quad \text{ve} \quad \log(-7)$$

tanımsızdır; içteki ifade her zaman pozitif olmalıdır.

 Yanlış 3

Tabanı 1 seçmek.

$$\log_1 12$$

ifadesi tanımlı değildir.

 Yanlış 4

Taban ile logaritmanın içindeki sayıyı karıştırmak.

$$\log_3 9=2 \quad \text{iken} \quad \log_9 3=\frac{1}{2}$$

Taban ve iç kısım yer değiştirince sonuç değişir.

 Yanlış 5

Çarpma kuralını yanlış uygulamak.

$$\log_2(4\cdot8)=\log_2 32=5$$

ama

$$\log_2 4 \cdot \log_2 8=2\cdot3=6$$

$5\neq6$ olduğundan, bir çarpımın logaritması, logaritmaların çarpımına eşit değildir.

 Yanlış 6

Tanım kümesi incelenirken yalnızca içteki ifadeye bakıp tabanı unutmak.

$$f(x)=\log_{x-2}(5-x)$$

gibi bir ifadede yalnızca $5-x>0$ şartı kontrol edilip, tabanla ilgili $x-2>0$ ve $x-2\neq1$ şartlarının atlanması sık karşılaşılan bir hatadır.

 Bir Dakikada Tekrar

✅ Logaritma, üstel işlemin tersidir.

✅ Logaritmanın içi pozitiftir.

✅ Taban pozitiftir.

✅ Taban 1 olamaz.

✅ Tanım kümesi daima pozitif reel sayılardır.

✅ Görüntü kümesi tüm reel sayılardır.

✅ Grafik $(1,0)$ noktasından geçer.

✅ $x=0$ düşey asimptottur.

✅ $a>1$ ise grafik artan, $0<a<1$ ise azalandır.

 Çözümlü Örnekler

 A. Üstel-Logaritmik Dönüşüm ve Denklem Çözme

1. Aşağıdaki üstel eşitliklerde $x$'i logaritmik olarak ifade ediniz: $y=5^x$, $\ y=\left(\dfrac14\right)^x$, $\ y=3^{x-2}$.

 Çözüm:

 $y=5^x \implies x=\log_5 y$

 $y=\left(\dfrac14\right)^x \implies x=\log_{1/4} y$

 $y=3^{x-2} \implies x-2=\log_3 y \implies x=2+\log_3 y$

2. $7^x=11$ denklemini logaritma kullanarak çözünüz.

 Çözüm: $x=\log_7 11$

3. $3^x=14$ denklemini logaritma kullanarak çözünüz.

 Çözüm: $x=\log_3 14$

4. $5^{x+1}=8$ denklemini logaritma kullanarak çözünüz.

 Çözüm: $x+1=\log_5 8 \implies x=\log_5 8 - 1$

5. $6^{x-1}=13$ denklemini logaritma kullanarak çözünüz.

 Çözüm: $x-1=\log_6 13 \implies x=1+\log_6 13$

6. $\left(\dfrac14\right)^x=10$ denklemini logaritma kullanarak çözünüz.

 Çözüm: $x=\log_{1/4} 10$

 B. Temel Logaritma Değeri ve Bilinmeyen Bulma

7. $x=\log_3 81$ ve $x=\log_7 1$ değerlerini bulunuz.

 Çözüm: $\log_3 81=\log_3 3^4=4$. $\log_7 1=0$ (herhangi bir tabanın $0$. kuvveti $1$'dir).

8. $\log_{16} x = \dfrac12$ eşitliğinde $x$ değerini bulunuz.

 Çözüm: $x=16^{1/2}=4$

9. $\log_x 81 = 2$ eşitliğinde $x$ değerini bulunuz.

 Çözüm: $x^2=81 \implies x=9$ (taban pozitif olmalıdır, $x=-9$ elenir)

10. $\log_5(2x+3) = 2$ eşitliğinde $x$ değerini bulunuz.

 Çözüm: $2x+3=25 \implies 2x=22 \implies x=11$

11. $\log_x 3 = \dfrac14$ eşitliğinde $x$ değerini bulunuz.

 Çözüm: $x^{1/4}=3 \implies x=3^4=81$

 C. En Geniş Tanım Kümesi Soruları

12. $f(x)=\log_2(x^2-7x+10)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

 Çözüm: $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)>0 \implies x<2 \text{ veya } x>5$.

 Tanım kümesi: $(-\infty,2)\cup(5,\infty)$

13. $f(x)=\log_{(7-x)}(x-2)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

 Çözüm: Üç koşul birlikte sağlanmalı:

 - $x-2>0 \implies x>2$

 - $7-x>0 \implies x<7$

 - $7-x\neq1 \implies x\neq6$

 Tanım kümesi: $(2,6)\cup(6,7)$

14. $f(x)=\log_3(x^2-2mx+9)$ fonksiyonu $\forall x\in\mathbb{R}$ için tanımlı olduğuna göre $m$'nin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.

 Çözüm: İçteki ifadenin her $x$ için pozitif olması gerekir; bu, ikinci derece ifadenin diskriminantının negatif olmasıyla sağlanır:

 $$\Delta=(2m)^2-4\cdot9<0 \implies 4m^2<36 \implies m^2<9 \implies -3<m<3$$

 Tam sayı değerleri: $\{-2,-1,0,1,2\}$

15. $f(x)=\log_{(4-x)}(x^2-x-20)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

 Çözüm:

 - $x^2-x-20=(x-5)(x+4)>0 \implies x<-4 \text{ veya } x>5$

 - $4-x>0 \implies x<4$

 - $4-x\neq1 \implies x\neq3$

 $x<4$ şartıyla $x>5$ seçeneği çelişir, geriye yalnızca $x<-4$ kalır (bu aralıkta $x\neq3$ şartı zaten otomatik sağlanır).

 Tanım kümesi: $(-\infty,-4)$

16. $f(x)=\log_{(7-x)}(x+2)$ fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamını bulunuz.

 Çözüm:

 - $x+2>0 \implies x>-2$

 - $7-x>0 \implies x<7$

 - $7-x\neq1 \implies x\neq6$

 Tanım kümesi: $(-2,6)\cup(6,7)$. Bu aralıktaki tam sayılar: $-1,0,1,2,3,4,5$ ($6$ hariç, $(6,7)$ aralığında tam sayı yok).

 Toplam: $-1+0+1+2+3+4+5=14$

17. $f(x)=\dfrac{5}{3-\log_4(x^2-36)}$ fonksiyonunu tanımsız yapan $x$ doğal sayılarını bulunuz.

 Çözüm: Logaritmanın tanımlı olması için $x^2-36>0$ gerekir; doğal sayılarda bu $x\ge7$ için sağlanır ($x=0,1,2,3,4,5,6$ için ifade tanımsızdır).

 Ayrıca payda sıfır olmamalıdır: $3-\log_4(x^2-36)=0 \implies \log_4(x^2-36)=3 \implies x^2-36=64 \implies x^2=100 \implies x=10$.

 Tanımsız yapan doğal sayılar: $\{0,1,2,3,4,5,6,10\}$

 D. Ters Fonksiyon Soruları

18. $f(x)=3^{x-2}$ ise $f^{-1}(x)$ fonksiyonunu bulunuz.

 Çözüm: $y=3^{x-2} \implies x-2=\log_3 y \implies x=\log_3 y+2$. Değişkenler yer değiştirilirse:

 $$f^{-1}(x)=\log_3 x+2$$

19. $f(x)=\log_4(x-6)+3$ ise $f^{-1}(x)$ fonksiyonunu bulunuz.

 Çözüm: $y=\log_4(x-6)+3 \implies y-3=\log_4(x-6) \implies x-6=4^{y-3} \implies x=4^{y-3}+6$.

 $$f^{-1}(x)=4^{x-3}+6$$

20. $f(x)=\log_7(x-9)$ ise $f^{-1}(x)$ fonksiyonunu bulunuz.

 Çözüm: $y=\log_7(x-9) \implies x-9=7^y \implies x=7^y+9$.

 $$f^{-1}(x)=7^x+9$$

 E. Onluk ve Doğal Logaritma Hesaplamaları

21. Aşağıdaki değerleri bulunuz: $\log 100$, $\log 10000$, $\log \dfrac{1}{1000}$, $\log\sqrt{10}$.

 Çözüm:

 $\log100=\log10^2=2$

 $\log10000=\log10^4=4$

 $\log\dfrac1{1000}=\log10^{-3}=-3$

 $\log\sqrt{10}=\log10^{1/2}=\dfrac12$

22. $R=\log d$ formülünü kullanarak, maksimum genliği $100$ mm veya $0{,}01$ m olan depremlerin büyüklüğünü hesaplayınız.

 Çözüm: $R=\log100=2$; $\quad R=\log0{,}01=\log10^{-2}=-2$.

 Genlik $100$ kat büyüdüğünde (buradaki iki değer arasında $10^4$ katlık bir fark olduğundan) büyüklük $4$ birim artmıştır.

23. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz: $\ln1$, $\ln e$, $\ln e^5$, $\ln e^{-2}$.

 Çözüm: $\ln1=0$, $\ \ln e=1$, $\ \ln e^5=5$, $\ \ln e^{-2}=-2$

24. $f(x)=\ln(a-2x)$ ve $f^{-1}(5)=2$ olduğuna göre $a$ değerini bulunuz.

 Çözüm: $f^{-1}(5)=2 \implies f(2)=5$:

 $$\ln(a-2\cdot2)=5 \implies \ln(a-4)=5 \implies a-4=e^5 \implies a=e^5+4$$

 Grafik Soruları 

Aşağıdaki sorular bir grafik üzerinden okunarak çözülür. Grafikleri kendi TikZ/Overleaf ortamınızda hazırlayacağınız için, her soru için hem açıklayıcı bir prompt hem de o prompt ile tutarlı sayısal çözüm verilmiştir.

25. $f(x)=\log_3 x$ fonksiyonunun grafiğini çizerek artanlık/azalanlık durumunu belirleyiniz.

 Çözüm: Taban $3>1$ olduğundan fonksiyon artandır.

26. $f(x)=\log_{1/3} x$ fonksiyonunun grafiğini çizerek artanlık/azalanlık durumunu belirleyiniz.

 Çözüm: Taban $0<\dfrac13<1$ olduğundan fonksiyon azalandır.

27. Grafiği verilen $f(x)=\log_a x$ fonksiyonu $\left(4,-2\right)$ ve $\left(\dfrac18,3\right)$ noktalarından geçmektedir. Buna göre $f(2)+f\left(\dfrac1{16}\right)$ toplamını bulunuz.

Çözüm: Noktalardan taban bulunur: $f(4)=-2 \implies a^{-2}=4 \implies a=\dfrac12$ (kontrol: $f(1/8)=\log_{1/2}(1/8)=3$ ✓).

 $$f(2)=\log_{1/2}2=-1, \qquad f\left(\frac1{16}\right)=\log_{1/2}\frac1{16}=4$$

 Toplam: $-1+4=3$

28. Grafiği verilen $f(x)=\log_a x$ fonksiyonu $\left(e^6,2\right)$ noktasından geçmektedir. Buna göre $a$ değerini bulunuz.

 Çözüm: $f(e^6)=2 \implies a^2=e^6 \implies a=e^3$ (taban pozitif olmalıdır).

29. $f(x)=\log_{(a-1)} x$ fonksiyonunun grafiği $(9,2)$ noktasından geçmektedir. Buna göre $(f\circ f)(a-1)$ değerini bulunuz.

 Çözüm: $f(9)=2 \implies (a-1)^2=9 \implies a-1=3 \implies a=4$. Böylece $f(x)=\log_3 x$.

 $$(f\circ f)(a-1)=(f\circ f)(3)=f\big(f(3)\big)=f(1)=0$$

30. Üstel fonksiyon ile logaritma fonksiyonunun birbirinin tersi olduğunu gösteren bir görsel hazırlayınız.

31. Dinamik matematik yazılımı üzerinden taban değişiminin grafiğe etkisini gösteren bir görsel hazırlayınız.