3. Üstel ve Logaritmik Denklemler, Eşitsizlikler

 Bölüm 1.3: Üstel ve Logaritmik Denklemler, Eşitsizlikler

 Giriş

Bölüm 1.1'de üstel fonksiyonun, Bölüm 1.2'de ise logaritma fonksiyonunun tanımını ve temel özelliklerini inceledik. Bu bölümde bu iki yapıyı bir araya getirerek üstel denklemler, logaritmik denklemler ve bunların eşitsizlik biçimlerini çözmeyi öğreneceğiz.

Tüm bu problem tiplerinde iki temel strateji kullanılır:

1. Taban eşitleme: Denklemin/eşitsizliğin iki tarafını aynı tabana getirip üsleri (veya iç ifadeleri) karşılaştırmak.

2. Değişken değiştirme: $a^x$ veya $\log_a x$ gibi tekrar eden bir ifadeyi $t$ ile değiştirip, elde edilen cebirsel (genellikle ikinci dereceden) denklemi çözmek.

Eşitsizliklerde ise tabanın $1$'den büyük mü yoksa $0$ ile $1$ arasında mı olduğuna dikkat etmek kritik önem taşır: taban $0 < a < 1$ olduğunda karşılaştırma yönü ters çevrilir.

 Çözüm Yöntemleri Özeti

 A. Üstel Denklemler — Temel Çözümler

1. $2^{3x-2} = \dfrac{1}{16}$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $\frac{1}{16} = 2^{-4}$ olduğundan iki taraf da $2$ tabanında yazılmış olur. Tabanlar eşit olduğuna göre üsler birbirine eşitlenir: $3x-2=-4 \Rightarrow x = -\dfrac{2}{3}$.

2. $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x+2} = \left(\dfrac{9}{25}\right)^{3x}$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $\dfrac{9}{25} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2$ olduğundan sağ taraf $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{6x}$ olur. Tabanlar eşit olduğundan üsler eşitlenir: $x+2 = 6x \Rightarrow x = \dfrac{2}{5}$.

3. $2^{3x-6} = 5$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: Tabanlar eşitlenemediği için logaritma tanımı uygulanır: $3x-6 = \log_2 5 \Rightarrow x = 2 + \dfrac{\log_2 5}{3}$.

4. $10^{x-1} = 2^{x+2}$ denkleminin kökünü bulunuz.

 Çözüm: $10 = 2\cdot5$ olduğundan: $(2\cdot5)^{x-1} = 2^{x-1}\cdot5^{x-1} = 2^{x+2}$. Her iki tarafı $2^{x-1}$'e bölersek:

 $$5^{x-1} = 2^{x+2-(x-1)} = 2^3 = 8 \implies x-1 = \log_5 8 \implies x = 1+\log_5 8$$

5. $e^{3x-2} = 3^{x+1}$ denkleminin kökünü bulunuz.

 Çözüm: Doğal logaritma alınır: $3x-2 = (x+1)\ln3 \implies 3x - x\ln3 = 2+\ln3 \implies x(3-\ln3) = 2+\ln3$

 $$x = \frac{2+\ln3}{3-\ln3}$$

6. $5^{x+1} - 5^{x} = 8$ denklemini sağlayan $x$ değerini bulunuz.

 Çözüm: $5^{x+1}=5\cdot5^x$ olduğundan $5^x$ ortak parantezine alınır: $5^x(5-1) = 8 \implies 5^x\cdot4 = 8 \implies 5^x = 2 \implies x = \log_5 2$.

7. $5^{x+3} = 875$ denklemini sağlayan $x$ değeri nedir?

 Çözüm: Üs toplama kuralı $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ ile $5^{x+3}=5^x\cdot5^3$ yazılır: $5^x\cdot125 = 875 \implies 5^x = 7 \implies x=\log_5 7$.

8. $e^{x+2} = 9$ denklemini sağlayan $x$ değeri nedir?

 Çözüm: $e^{x+2}=9$ eşitliğinin her iki tarafının doğal logaritması alınır: $x+2 = \ln9 = 2\ln3 \implies x = 2\ln3 - 2$.

 B. Üstel Denklemler — Değişken Değiştirme Gerektirenler

9. $25^x - 6\cdot5^x + 5 = 0$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $t=5^x$ ($t>0$) dönüşümü yapılırsa: $t^2-6t+5=0 \implies (t-1)(t-5)=0 \implies t=1 \text{ veya } t=5$.

 $5^x=1 \implies x=0$; $\quad 5^x=5 \implies x=1$.

 Cevap: $\{0, 1\}$

10. $e^{x} + 12e^{-x} - 7 = 0$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: Her iki taraf $e^x$ ile çarpılır: $e^{2x} - 7e^x + 12 = 0$. $t=e^x$ dönüşümü: $t^2-7t+12=0 \implies (t-3)(t-4)=0$.

 $e^x=3 \implies x=\ln3$; $\quad e^x=4 \implies x=\ln4$.

 Cevap: $\{\ln3, \ln4\}$

11. $25^x - 2\cdot5^{x+1} + 21 = 0$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $t=5^x$ dönüşümü: $25^x = t^2$, $5^{x+1}=5t$. Denklem: $t^2 - 10t + 21 = 0 \implies (t-3)(t-7)=0$.

 $5^x=3 \implies x=\log_5 3$; $\quad 5^x=7 \implies x=\log_5 7$.

 Cevap: $\{\log_5 3,\ \log_5 7\}$

12. $e^{4x} + e^{2x} - 20 = 0$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $t=e^{2x}$ ($t>0$) dönüşümü: $t^2+t-20=0 \implies (t+5)(t-4)=0$. $t=-5$ kökü $t>0$ şartını sağlamadığından elenir; $t=4$ kabul edilir.

 $e^{2x}=4 \implies x = \dfrac{1}{2}\ln4 = \ln2$.

 Cevap: $\{\ln2\}$

13. $49^x - 4\cdot7^x + 3 = 0$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $t=7^x$ dönüşümü: $t^2-4t+3=0 \implies (t-1)(t-3)=0$.

 $7^x=1 \implies x=0$; $\quad 7^x=3 \implies x=\log_7 3$.

 Cevap: $\{0,\ \log_7 3\}$

14. $4^{\ln x} - 2\cdot2^{1+\ln x} + 4 = 0$ denklemini sağlayan $x$ değeri nedir?

 Çözüm: $t = 2^{\ln x}$ dönüşümü yapılırsa $4^{\ln x} = t^2$ ve $2^{1+\ln x} = 2t$ olur. Denklem:

 $$t^2 - 4t + 4 = 0 \implies (t-2)^2 = 0 \implies t=2$$

 $2^{\ln x} = 2 \implies \ln x = 1 \implies x = e$.

15. $e^{2x} - 18e^x + 81 = 0$ denklemini sağlayan $x$ değeri nedir?

 Çözüm: $t=e^x$ dönüşümü: $t^2-18t+81=0 \implies (t-9)^2=0 \implies t=9 \implies x=\ln9=2\ln3$.

 C. Logaritmik Denklemler — Temel Çözümler

16. $\log_3(4x-5) = 4$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: Logaritma tanımı $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c=b$ gereği $4x-5 = 3^4 = 81 \implies 4x=86 \implies x=\dfrac{43}{2}$. (Tanım kontrolü: $4x-5=81>0$ ✓)

17. $\log(x+5) - \log(x-1) = 1$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $\log\dfrac{x+5}{x-1}=1 \implies \dfrac{x+5}{x-1}=10 \implies x+5=10x-10 \implies 9x=15 \implies x=\dfrac{5}{3}$.

 Tanım kümesi: $x>1$ gerekir; $\dfrac{5}{3}>1$ olduğundan geçerlidir.

18. $\log_3 x + \log_9 x - \log_{27} x = 7$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: Tüm terimler $3$ tabanına çevrilir: $\log_9 x = \dfrac{\log_3 x}{2}$, $\log_{27}x=\dfrac{\log_3 x}{3}$. $L=\log_3 x$ dersek:

 $$L + \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = 7 \implies \frac{7L}{6}=7 \implies L=6 \implies x=3^6=729$$

19. $\log_x(20+x) = 2$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $x^2 = 20+x \implies x^2-x-20=0 \implies (x-5)(x+4)=0 \implies x=5 \text{ veya } x=-4$.

 Taban pozitif ve $1$'den farklı olmalıdır; $x=-4$ elenir. Cevap: $\{5\}$

20. $\log_5\Big(24+\log_2\big(1+\log_3(7-x)\big)\Big)=2$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: İçten dışa doğru çözülür:

 $$5^2=25 \implies \log_2(1+\log_3(7-x)) = 25-24 = 1$$

 $$2^1=2 \implies 1+\log_3(7-x) = 2 \implies \log_3(7-x)=1$$

 $$3^1=3 \implies 7-x=3 \implies x=4$$

21. $\log_3(5x-2) = 3$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: Tanım gereği ($\log_a b=c \Leftrightarrow a^c=b$): $5x-2 = 27 \implies 5x=29 \implies x=\dfrac{29}{5}$.

22. $\log_5(x^2+21) = \log_5 10x$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $x^2+21=10x \implies x^2-10x+21=0 \implies (x-3)(x-7)=0$.

 Tanım kümesi: $10x>0 \implies x>0$; her iki kök de geçerlidir. Cevap: $\{3, 7\}$

23. $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = \log_2 20$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $\log_2[(x-1)(x+1)] = \log_2 20 \implies x^2-1=20 \implies x^2=21 \implies x=\pm\sqrt{21}$.

 Tanım kümesi: $x-1>0 \implies x>1$; negatif kök elenir. Cevap: $\{\sqrt{21}\}$

24. $\ln[7-\log_2(x-2)] = 0$ denklemini sağlayan $x$ değerini bulunuz.

 Çözüm: $\ln(\cdot)=0$ eşitliğinin sağlanması için parantez içinin $e^0=1$'e eşit olması gerekir: $7-\log_2(x-2) = 1 \implies \log_2(x-2)=6 \implies x-2=64 \implies x=66$.

 D. Logaritmik Denklemler — Karmaşık ve Değişken Değiştirmeli

25. $(\log_2 x)^2 - \log_2 4x = 0$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $\log_2 4x = 2+\log_2 x$. $L=\log_2 x$ dersek: $L^2-(2+L)=0 \implies L^2-L-2=0 \implies (L-2)(L+1)=0$.

> $L=2 \implies x=4$; $\quad L=-1 \implies x=\dfrac12$. Cevap: $\left\{4, \dfrac12\right\}$

26. $\log_3(x+1) + 4\log_{(x+1)} 3 = 5$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $L=\log_3(x+1)$ dersek $\log_{(x+1)}3 = \dfrac1L$ olur. $L+\dfrac4L=5 \implies L^2-5L+4=0 \implies (L-1)(L-4)=0$.

> $x+1=3 \implies x=2$; $\quad x+1=3^4=81 \implies x=80$. Cevap: $\{2, 80\}$

27. $9^{\log_2 x} + 9^{1-\log_2 x} = 10$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $t=9^{\log_2 x}$ dersek $9^{1-\log_2 x}=\dfrac9t$. $t+\dfrac9t=10 \implies t^2-10t+9=0 \implies (t-1)(t-9)=0$.

> $t=1 \implies \log_2 x=0 \implies x=1$; $\quad t=9 \implies \log_2 x=1 \implies x=2$. Cevap: $\{1,2\}$

28. $\ln x + \ln y = 7$ ve $\ln x^3 + \ln y^2 = 16$ denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $u=\ln x$, $v=\ln y$ dersek: $u+v=7$ ve $3u+2v=16$. Birinciden $v=7-u$; yerine yazılırsa $3u+2(7-u)=16 \implies u+14=16 \implies u=2, v=5$.

 Cevap: $x=e^2,\ y=e^5$

29. $(\log x)^2 - \log x^6 = 0$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $\log x^6=6\log x$. $L=\log x$ dersek: $L^2-6L=0 \implies L(L-6)=0$.

 $L=0 \implies x=1$; $\quad L=6 \implies x=10^6$. Cevap: $\{1,\ 10^6\}$

30. $\ln^2 x - \ln x^{1/3} = 0$ denkleminin köklerinin çarpımı nedir?

 Çözüm: $\ln x^{1/3} = \dfrac13\ln x$. $L=\ln x$ dersek: $L^2-\dfrac{L}{3}=0 \implies L\left(L-\dfrac13\right)=0 \implies L=0 \text{ veya } L=\dfrac13$.

 $x=1$ veya $x=e^{1/3}$. Köklerin çarpımı: $1\cdot e^{1/3} = \sqrt[3]{e}$.

 E. Üstel Eşitsizlikler

31. $2^x - 32 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $2^x > 32 = 2^5$. Taban $2>1$ olduğundan yön korunur: $x>5$.

32. $\left(\dfrac25\right)^{3x-2} \ge \left(\dfrac{4}{25}\right)^{-x-3}$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $\dfrac{4}{25}=\left(\dfrac25\right)^2$ olduğundan sağ taraf $\left(\dfrac25\right)^{-2x-6}$ olur. Taban $\dfrac25 \in (0,1)$ azalan olduğundan eşitsizlik yönü ters çevrilir:

 $$3x-2 \le -2x-6 \implies 5x \le -4 \implies x \le -\frac45$$

33. $2^{x-3} < \left(\dfrac{1}{16}\right)^{x-1}$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $\dfrac1{16}=2^{-4}$ olduğundan sağ taraf $2^{-4x+4}$ olur. Taban $2>1$ olduğundan yön korunur:

 $$x-3 < -4x+4 \implies 5x<7 \implies x<\frac75$$

34. $(x^2-16)(2^{x-3}-8) \ge 0$ eşitsizliğini işaret tablosu ile çözünüz.

 Çözüm: Kökler: $x^2-16=0 \Rightarrow x=\pm4$; $\ 2^{x-3}-8=0 \Rightarrow 2^{x-3}=2^3 \Rightarrow x=6$.

 Çarpımın $\ge0$ olduğu bölgeler: Cevap: $[-4,4]\cup[6,\infty)$

35. $81^{x+2} < 3$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $81=3^4$ olduğundan $3^{4(x+2)}<3^1$. Taban $3>1$ olduğundan yön korunur:

 $$4x+8<1 \implies 4x<-7 \implies x<-\frac74$$

 F. Logaritmalı Eşitsizlikler

36. $\log_3(3x-2) \le 3$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: Tanım kümesi: $3x-2>0 \implies x>\dfrac23$. Taban $3>1$: $3x-2 \le 27 \implies x \le \dfrac{29}{3}$.

 Cevap: $\left(\dfrac23, \dfrac{29}{3}\right]$

37. $\log_{1/3}(2x-5) > -2$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: Tanım kümesi: $2x-5>0 \implies x>\dfrac52$. Taban $\dfrac13\in(0,1)$ azalan olduğundan yön ters çevrilir:

 $$2x-5 < \left(\frac13\right)^{-2}=9 \implies 2x<14 \implies x<7$$

 Cevap: $\left(\dfrac52, 7\right)$

38. $\log_3(x^2-2x+10) - \log_3(x+2) > 1$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: $x^2-2x+10$ ifadesinin diskriminantı negatif olduğundan her zaman pozitiftir; tanım kümesi yalnızca $x+2>0 \implies x>-2$'dir.

 $$\log_3\frac{x^2-2x+10}{x+2} > 1 \implies \frac{x^2-2x+10}{x+2}>3$$

 $x+2>0$ olduğundan doğrudan çarpılabilir: $x^2-2x+10>3x+6 \implies x^2-5x+4>0 \implies (x-1)(x-4)>0 \implies x<1 \text{ veya } x>4$.

 Tanım kümesiyle kesişim: Cevap: $(-2,1)\cup(4,\infty)$

39. $\log_2\big(\log_5(x-3)\big) < 2$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: Tanım kümesi: $\log_5(x-3)>0 \implies x-3>1 \implies x>4$.

 $$\log_5(x-3) < 2^2=4 \implies x-3<625 \implies x<628$$

 Cevap: $(4, 628)$

 Grafik Çizim Promptu (Dikkat: Kendi TikZ kodunuzu buraya ekleyin):

> ```text

> [TikZ Çizim İsteği - İç İçe Logaritma Eşitsizlik Akışı]

> İki aşamalı bir akış diyagramı çizin:

> Aşama 1 (Tanım Kümesi Kutusu): "log5(x-3) > 0 olmalı" ifadesini yazıp, bunun "x-3 > 1" yani "x > 4" anlamına geldiğini bir yan not ile gösterin.

> Aşama 2 (Çözüm Kutusu, Aşama 1'in altında, aralarında ok): "log2(log5(x-3)) < 2" eşitsizliğini yazın; ok üzerine "2^2 = 4 uygula" notu ile "log5(x-3) < 4" sonucuna, oradan da "x < 628" sonucuna geçişi gösterin.

> En altta iki kutuyu kesiştiren bir "∩" sembolü ile nihai aralığı (4, 628) gösterin.

> ```

40. $1 < \log_3(x+5) \le 4$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

 Çözüm: Tanım kümesi: $x>-5$. Taban $3>1$: $3^1 < x+5 \le 3^4 \implies 3<x+5\le81 \implies -2<x\le76$.

 Cevap: $(-2, 76]$

41. $\log_3\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right) < 1$ eşitsizliğinin işaret tablosunu oluşturup çözünüz.

 Çözüm: Tanım kümesi: $\dfrac{x+3}{x-2}>0 \implies x<-3 \text{ veya } x>2$.

 Eşitsizlik: $\dfrac{x+3}{x-2} < 3 \implies \dfrac{x+3}{x-2}-3<0 \implies \dfrac{9-2x}{x-2}<0$.

5.jpeg

 Grafik Çizim Promptu (Dikkat: Kendi TikZ kodunuzu buraya ekleyin):

> ```text

> [TikZ Çizim İsteği - Eşitsizlik Sayı Doğrusu (İşaret Tablosu)]

> Yatay bir kalın sayı doğrusu çizin. Üzerine 2 ve 4,5 köklerini dikey çizgilerle yukarı doğru çekin.

> Üst satıra (9-2x) ifadesinin işaretlerini (+, +, -), alt satıra (x-2) ifadesinin işaretlerini (-, +, +) ve en alt satıra oranın işaretini (-, +, -) yazın.

> Çözüm aralığı olan (-∞,-3) ve (9/2,∞) aralıklarının altını yatay bir dikdörtgen blokla boyalı (örn. açık mavi) gösterin; -3 noktasını da tanım kümesi sınırı olarak işaretleyip "boş yuvarlak" ile gösterin (2 ve 4,5 noktaları da boş yuvarlak, çünkü eşitsizlik katı).

> ```

 Oranın negatif olduğu bölge: $x<2$ veya $x>4{,}5$. Tanım kümesiyle kesiştirilirse:

 Cevap: $(-\infty,-3)\cup\left(\dfrac92,\infty\right)$

42. $0 \le \log_3(x-2) \le 2$ eşitsizliğini sağlayan $x$ tam sayıları toplamını bulunuz.

 Çözüm: Tanım kümesi: $x>2$. Taban $3>1$: $3^0 \le x-2 \le 3^2 \implies 1 \le x-2 \le 9 \implies 3 \le x \le 11$.

 Bu aralıktaki tam sayılar $3,4,5,\dots,11$'dir. Toplam: $\dfrac{(3+11)\cdot9}{2} = 63$.

43. $1 < \log_3(3x-1) < 4$ eşitsizliğini sağlayan en büyük $x$ tam sayısını bulunuz.

 Çözüm: Tanım kümesi: $x>\dfrac13$. Taban $3>1$: $3^1 < 3x-1 < 3^4 \implies 3<3x-1<81 \implies 4<3x<82 \implies \dfrac43<x<\dfrac{82}{3}\approx27{,}33$.

 Bu aralıktaki en büyük tam sayı: $x=27$.

 Sık Yapılan Hatalar

1. Eşitsizliklerde taban kontrolünü atlamak — $0<a<1$ olduğunda üstel/logaritmik eşitsizliklerde yön mutlaka ters çevrilir. Bu adım unutulduğunda tüm çözüm kümesi yanlış çıkar (bkz. Örnek 32, 37).

2. Logaritmik denklemlerde tanım kümesini sona bırakmak — Denklem çözüldükten sonra bulunan köklerin, logaritmanın içindeki ve tabanındaki ifadeleri pozitif yaptığından emin olunmalıdır; aksi hâlde yabancı kök (extraneous root) elde edilir (bkz. Örnek 19, 23).

3. Değişken değiştirmede $t>0$ şartını unutmak — $t=a^x$ dönüşümünde $t$ her zaman pozitiftir; negatif çıkan $t$ kökleri otomatik olarak elenir (bkz. Örnek 12).

4. İç içe logaritmalarda işlem sırasını karıştırmak — $\log_a(\log_b(\dots))$ türü ifadelerde çözüme en içten başlanmalı, her adımda tanım kümesi kontrol edilmelidir (bkz. Örnek 20, 39).

5. Eşitsizlikte paydaya göre çarpma hatası — $\dfrac{f(x)}{g(x)} > k$ türü ifadelerde, $g(x)$'in işareti bilinmiyorsa doğrudan çarpma yapılamaz; işaret tablosu kurulmalıdır (bkz. Örnek 41).

 Hızlı Hatırlatıcı

- Taban eşitse: üsleri eşitle ($a^{f(x)}=a^{g(x)} \Rightarrow f(x)=g(x)$).

- Taban eşitlenemiyorsa: ortak çarpana ayır veya logaritma al.

- Tekrarlayan ifade varsa: $t$ değişkeni ata, $t>0$ şartını unutma.

- Eşitsizlikte $a>1$: yön korunur. $0<a<1$: yön ters döner.

- Logaritmalı her adımda: iç ifade $>0$ ve taban $>0$, $\neq1$ kontrolü yapılmalı.