4. Diferansiyel Kavramı ve Türev-İntegral İlişkisi

 3. Diferansiyel Kavramı ve Türev-İntegral İlişkisi

Diferansiyel · Ters türev · Teğetin eğimi

 4.1 Kavram

Bölüm 1 ve Bölüm 2'de integralin bir ters türev bulma işlemi olduğunu gördük. Bu bölümde diferansiyelin neyi gösterdiğini ve türev bilgisinin integrallerde nasıl kullanılacağını ele alıyoruz.

$f$ türevlenebilir bir fonksiyon ise $f(x)$'in diferansiyeli:

$$d\bigl[f(x)\bigr]=f'(x)\,dx$$

şeklinde tanımlanır. Bu nedenle:

$$\int d\bigl[f(x)\bigr]=\int f'(x)\,dx=f(x)+c$$

Bir fonksiyonun $x=x_0$ noktasındaki teğetinin pozitif $x$ ekseni ile yaptığı açı $\alpha$ ise teğetin eğimi:

$$f'(x_0)=\tan\alpha$$

olur. Bu ilişki, türev–integral sorularında grafik bilgisini cebirsel bilgiye dönüştürür.

 4.2 Örnekler

 Örnek 1:

 $$\frac{d}{dx}\left[\int (3x^2 + 2x)\,dx\right] = 3x^2 + 2x$$

 Türev, integrali iptal etti. Sonuçta $c$ yoktur.

 Örnek 2:

 $$\int \frac{d}{dx}(x^4 - 5x)\,dx = \int (4x^3 - 5)\,dx = x^4 - 5x + c$$

 İntegral, türevi iptal etti ama $c$ geri geldi.

 Örnek 3 — AYT tuzak sorusu:

 $\displaystyle\frac{d}{dx}\left[\int f(x)\,dx\right] = x^2 + 3x$ olduğuna göre $f(1)$ kaçtır?

 $\dfrac{d}{dx}\left[\int f(x)\,dx\right] = f(x)$ (Durum 1 formülü) olduğundan $f(x) = x^2 + 3x$.

 $f(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 = 4$

 Örnek 4 — Diferansiyel formu:

 $$\int d(x^3 - 2x + 7) = x^3 - 2x + 7 + c$$

 4.3 Sık Yapılan Hatalar

 4.4 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2+1)\,dt$ olduğuna göre $F'(2)$ kaçtır?

 Çözüm:

 Temel Teorem (Calculus'un Temel Teoremi): $\dfrac{d}{dx}\left[\int_a^x f(t)\,dt\right] = f(x)$

 $$F'(x) = x^2 + 1$$

 $$F'(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$$

 Örnek 2:

 $g(x) = \displaystyle\int_1^{x^2} 2t\,dt$ olduğuna göre $g'(x)$ ifadesi nedir?

 Çözüm:

 Zincir kuralı ile Temel Teorem'i birleştirelim:

 $$g'(x) = \frac{d}{dx}\left[\int_1^{x^2} 2t\,dt\right] = 2(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x^2 \cdot 2x = 4x^3$$

 Örnek 3:

 $h(x) = \dfrac{d}{dx}\left[\displaystyle\int_0^x \sin(t^2)\,dt\right]$ olduğuna göre $h(\sqrt{\pi})$ kaçtır?

 Çözüm:

 Temel Teorem'e göre:

 $$h(x) = \sin(x^2)$$

 $$h(\sqrt{\pi}) = \sin((\sqrt{\pi})^2) = \sin(\pi) = 0$$

 Örnek 4:

 $f(x) = x^3 - 2x$ ve $g(x) = \displaystyle\int f(x)\,dx$ olarak tanımlanmıştır. $g(1) = 0$ olduğuna göre $g(x)$ nedir?

 Çözüm:

 $g'(x) = f(x) = x^3 - 2x$ olduğundan:

 $$g(x) = \int (x^3 - 2x)\,dx = \frac{x^4}{4} - x^2 + c$$

 $g(1) = 0$ şartını kullanarak $c$'yi bulalım:

 $$\frac{1}{4} - 1 + c = 0$$

 $$c = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

 Dolayısıyla:

 $$g(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + \frac{3}{4}$$

 Örnek 5:

 $f$ tek bir fonksiyon (yani $f(-x) = -f(x)$), $F'(x) = f(x)$ ve $F(0) = 0$ olduğuna göre $F$ fonksiyonu ne tür bir fonksiyondur?

 Çözüm:

 Tek fonksiyonun integrali çift fonksiyondur. Bunu kanıtlayalım:

 $$F(-x) = \int_0^{-x} f(t)\,dt$$

 $u = -t$ dönüşümü yapalım: $du = -dt$

 $$F(-x) = \int_0^x f(-u) \cdot (-du) = \int_0^x (-f(u)) \cdot (-du) = \int_0^x f(u)\,du = F(x)$$

 Yani $F(-x) = F(x)$, bu da $F$ çift fonksiyondur demektir.

 Örnek 6 — Teğet eğimi ile belirli integral:

 $f'(-1)=2$ olsun. $y=f(x)$ grafiğinin $x=4$ apsisli noktasındaki teğeti, pozitif $x$ ekseniyle $45^\circ$ açı yapmaktadır. Buna göre

 $$\int_{-1}^{4}\left[f''(x)+f'(x)f''(x)\right]dx$$

 değerini bulunuz.

 Çözüm:

 Teğet eğiminden $f'(4)=\tan45^\circ=1$ bulunur. Ayrıca:

 $$f''(x)+f'(x)f''(x)=\frac{d}{dx}\left[f'(x)+\frac{(f'(x))^2}{2}\right]$$

 $$=\left[f'(x)+\frac{(f'(x))^2}{2}\right]_{-1}^{4}=\left(1+\frac{1}{2}\right)-\left(2+\frac{4}{2}\right)=-\frac{5}{2}$$

 Örnek 7 — Geniş açılı teğet ve belirli integral:

 $f(-2)=0$, $f(2)=3$ ve $f'(-2)=1$ olsun. $y=f(x)$ grafiğinin $x=2$ noktasındaki teğeti, pozitif $x$ ekseniyle $120^\circ$ açı yapmaktadır. Buna göre

 $$\int_{-2}^{2}\left[f'(x)+f'(x)f''(x)\right]dx$$

 değerini bulunuz.

 

 Çözüm:

 

 Teğetin eğiminden:

 $$f'(2)=\tan120^\circ=-\sqrt3$$

 İntegrandın bir ters türevi:

 $$f(x)+\frac{(f'(x))^2}{2}$$

 olduğundan:

 $$\int_{-2}^{2}\left[f'(x)+f'(x)f''(x)\right]dx=\left[f(x)+\frac{(f'(x))^2}{2}\right]_{-2}^{2}$$

 $$=\left(3+\frac{(-\sqrt3)^2}{2}\right)-\left(0+\frac{1^2}{2}\right)=3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4$$