8. Grafiği Verilen Eşitsizliklerin Çözümü

 Grafiği Verilen Eşitsizliklerin Çözümü

Bu konuya kadar eşitsizlikleri hep cebirsel yollarla çözdük. Burada yön tersine dönüyor: grafik elimizde var, eşitsizliğin çözüm kümesini grafikten okuyoruz. AYT'de bu soru tipi çok sık çıkar çünkü formül ezberini değil, grafiği anlayıp yorumlayabilmeyi ölçer.

Temel beceri şudur: $f(x) > 0$ nerede? sorusuna grafiğe bakarak cevap vermek — yani fonksiyonun $x$ ekseninin üstünde kaldığı $x$ aralıklarını okumak.

 1. Temel Okuma Becerileri ve "Teğet" Tuzağı

Bir $y = f(x)$ grafiği verildiğinde:

 ⚠️AYT'nin En Büyük Tuzağı: Teğet Noktalar (Çift Katlı Kök)

• Grafik $x$ eksenini delip geçiyorsa o nokta tek katlı köktür (sağında ve solunda işaret değişir).
• Grafik $x$ eksenine teğet olup geri dönüyorsa (tepe noktası eksendeyse) o nokta çift katlı köktür. Grafikte o noktanın sağında da solunda da fonksiyonun işareti değişmez (hep artı veya hep eksi kalır). İşaret tablosu yaparken buraya çift çizgi/çift boncuk koymayı unutma!

 2. $f(x) \cdot g(x)$ ve $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ Tipi Sorular

İki fonksiyonun grafiği aynı anda verildiğinde:

• Çarpım $> 0$: Her iki fonksiyonun da aynı işaretli olduğu (ikisinin de pozitif veya ikisinin de negatif olduğu) bölgeler.
• Bölüm $> 0$: Çarpımla aynı mantık uygulanır; pay ve paydanın işaretinin aynı olduğu bölgeler taranır.

 Önemli Fark — Bölüm Durumunda:

 $\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ gibi eşitlik içeren sorularda, paydanın kökleri ($g(x) = 0$ olan noktalar) fonksiyonu tanımsız yaptığı için çözüm kümesine asla dahil edilmez. $g(x)$'in köklerinde her zaman açık aralık kullanılır.

 3. Örnekler

 Örnek 1 — Tek Grafik, Temel Soru

Aşağıdaki grafikte $y = f(x)$ verilmiştir. $f(x) < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
 

 📊Grafik Durumu: Yukarı açık parabol. $x$ eksenini $x = -2$ ve $x = 3$ noktalarında kesiyor. $-2 < x < 3$ arasında grafik eksenin altında, bu aralığın dışında ise üstünde.

Grafik Okuması:

• $f(x) = 0$: $x = -2$ ve $x = 3$
• $f(x) < 0$ (eksenin altında): $-2 < x < 3$

Çözüm Kümesi: $(-2,\ 3)$

 Örnek 2 — $f(x) \geq 0$ ve Kök Dahil Etme

Aşağıdaki grafikte $y = f(x)$ verilmiştir. $f(x) \geq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

 📊Grafik Durumu: Yukarı açık parabol. $x$ eksenini $x = -3$ ve $x = 5$ noktalarında kesiyor. $-3 < x < 5$ arasında grafik eksenin altında, bu aralığın dışında ise üstünde.

Grafik Okuması:

• $f(x) = 0$: $x = -3$ ve $x = 5$ (kökler)
• $f(x) > 0$ (eksenin üstünde): $x < -3$ ve $x > 5$
• $f(x) \geq 0$ istendiği için: Üstteki bölgeler $+$ köklerin kendisi.

Çözüm Kümesi: $(-\infty,\ -3] \cup [5,\ +\infty)$

 💡 $f(x) > 0$ sorulsaydı kökler dahil edilmezdi: $(-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$. İşarette $\geq$ ile $>$ arasındaki tek fark sınır noktalarının dahil olup olmamasından gelir.

 Örnek 3 — $f(x) \cdot g(x) > 0$

 📊Grafik Durumu: $f(x)$: Kökleri $x = -1$ ve $x = 2$ olan aşağı açık parabol ($x < -1$ ve $x > 2$'de negatif, aralarında pozitif). $g(x)$: $x = 0$'dan geçen, $x > 0$ için pozitif, $x < 0$ için negatif olan doğru.

Grafikten okunan işaret tablosu:
 

$f \cdot g > 0$ (pozitif) olan yerler istendiği için:

Çözüm Kümesi: $(-\infty,\ -1) \cup (0,\ 2)$

 Örnek 4 — $f(x) > g(x)$ Grafik Yorumu

Aşağıdaki grafikte $y = f(x)$ parabolü ve $y = g(x)$ doğrusu verilmiştir. $f(x) > g(x)$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
 

 📊Grafik Durumu: Yukarı açık parabol $f(x)$ ile $g(x)$ doğrusu $x = -1$ ve $x = 4$ noktalarında kesişiyor. $-1 < x < 4$ arasında doğru parabolün üstünde ($g > f$); bu aralığın dışında ise parabol doğrunun üstünde ($f > g$).

Grafik Okuması:

• Kesişim noktaları (birbirlerine eşit oldukları yerler): $x = -1$ ve $x = 4$
• $f(x) > g(x)$ demek, parabolün doğrunun üstünde kaldığı yerler demektir: $x < -1$ ve $x > 4$

Çözüm Kümesi: $(-\infty,\ -1) \cup (4,\ +\infty)$

 💡 Soru kalıbı $f(x) - g(x) > 0$ şeklinde gelse de mantık tamamen aynıdır. Üstteki grafikten alttaki grafik çıkarılıyorsa sonuç pozitiftir.

 Örnek 5 — $\dfrac{f(x)}{g(x)} \leq 0$ (Bölüm Tipi)

Aşağıdaki grafikte $y = f(x)$ ve $y = g(x)$ verilmiştir. $\dfrac{f(x)}{g(x)} \leq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
 

 📊Grafik Durumu: $f(x)$: $x = -2$ ve $x = 3$'te sıfırdan geçen yukarı açık parabol. $g(x)$: $x = 1$'de sıfırdan geçen doğru ($x > 1$ için üstte/pozitif, $x < 1$ için altta/negatif).

Grafik Okuması:

Kritik noktalar (kök veya tanımsızlık): $x = -2, \quad x = 1, \quad x = 3$

Bizden $\leq 0$ (negatif ve sıfıra eşit) yerler isteniyor. Payın kökleri ($-2$ ve $3$) dahil edilir ancak paydanın kökü ($1$) dahil edilemez.

Çözüm Kümesi: $(-\infty,\ -2] \cup (1,\ 3]$

 4. Sık Çıkan Grafik Soru Tipleri

- Tip 1: Grafikten $f(x) > 0$ veya $f(x) \leq 0$ durumlarını doğrudan okuma.

- Tip 2: $f(x) \cdot g(x) > 0$ — İki grafiğin çakıştırılması ve bölge bölge işaret çarpımı.

- Tip 3: $\dfrac{f(x)}{g(x)} \leq 0$ — Payda sıfırına dikkat etmeyi ölçen tuzak sorular.

- Tip 4: $f(x) > g(x)$ — Üstte kalan fonksiyon grafiğinin tespiti.

- Tip 5 (En Seçici Tip): Grafik $f(x)$'e aitken, $f(x-a)$ veya $f(-x)$ fonksiyonlarının eşitsizliklerinin sorulması (Öteleme ve Yansıma).

 🎯Tip 5 İçin Altın Not:

• $f(x-2) \geq 0$ sorulursa grafiği (ve tüm kökleri) 2 birim sağa kaydır. Yeni köklerin $x_1 + 2$ ve $x_2 + 2$ olur.
• $f(x+3) \geq 0$ sorulursa grafiği 3 birim sola kaydır.
• $f(-x) \geq 0$ sorulursa grafiğin $y$ eksenine göre simetrisini al (tüm köklerin işaretini ters çevir).

 5. Özet — Sık Yapılan Hatalar