6. Belirli İntegralin Özellikleri

 6. Belirli İntegralin Özellikleri

6 temel özellik · Doğrusallık · Aralık bölme

 6.1 Kavram

Newton-Leibniz Teoremi'yle belirli integralin nasıl hesaplandığını öğrendik: ters türevi bul, üst sınırdan alt sınırı çıkar. Ama sınavda karşımıza çıkan sorular sadece "hesapla" demekle kalmaz — sınırları ters çevirmek, aralığı bölmek, bilinmeyen parametreleri sadeleştirmek, mutlak değerli fonksiyonları parçalamak gibi işlemler gerekebilir. İşte bu bölümde, belirli integralin 6 temel özelliğini ve onları nasıl kullanacağımızı öğreneceğiz.

$f$ ve $g$ fonksiyonları $[a,b]$'de integrallenebilir olsun.

Özellik 1 — Sıfır aralık:

$$\int_a^a f(x)\,dx = 0$$

Özellik 2 — Sınır değişimi:

$$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$$

Özellik 3 — Aralık bölme:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$

 $c$'nin $[a,b]$ içinde olması zorunlu değildir. $c$ dışarıda bile olsa toplam geçerlidir.
 

Özellik 4 — Sabit çarpan:

$$\int_a^b k\cdot f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$$

Özellik 5 — Doğrusallık (Toplam/Fark):

$$\int_a^b\bigl[\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr]\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx$$

Özellik 6 — Parçalı / Mutlak değerli fonksiyonlar:

Tanım değişim noktasında aralık bölme uygulanır. Mutlak değer için önce $f(x)=0$ çözülür, çünkü mutlak değer, köklerde işaret değiştirir. Kökün solunda ve sağında $|f(x)|$ farklı formüllerle yazılır; bu yüzden her parçada işaret ayrı ayrı belirlenir.

 6.2 Örnekler

 Örnek 1 

 $\displaystyle\int_2^5(3x^2-4)\,dx = \big[x^3-4x\big]_2^5 = (125-20)-(8-8) = 105$

 $\displaystyle\int_5^2(3x^2-4)\,dx = -105$

 > Sınırlar ters çevrildiğinde işaret değişir.

 Örnek 2 

 $\displaystyle\int_1^7 f(x)\,dx = 10$ ve $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,dx = 4$ verildiğinde $\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx$ değeri?

 $10 = \displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx + 4 \implies \int_1^3 f(x)\,dx = 6$

 > $c=3$ ve $c=7$'nin $[1,7]$ içinde olduğuna dikkat. Aralık bölme özelliği, $c$'nin aralık dışında olması durumunda da çalışır.

 Örnek 3 

 $\displaystyle\int_1^4(x^2-ax+3)\,dx + \int_1^4\bigl((a-1)x+5\bigr)\,dx$

 İki integrali birleştir:

 $$= \int_1^4\bigl(x^2-ax+3+(a-1)x+5\bigr)\,dx = \int_1^4(x^2-x+8)\,dx$$

 $-ax+(a-1)x = -x$ olduğundan $a$ sadeleşti.

 $$= \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+8x\right]_1^4 = \left(\frac{64}{3}-8+32\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+8\right)$$

 $$= \frac{64}{3}+24-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-8 = \frac{63}{3}+16+\frac{1}{2} = 21+16+\frac{1}{2} = \frac{75}{2}$$
 

Örnek 4 

$\displaystyle\int_0^3|x^2-4|\,dx$

 $x^2-4=0 \implies x=2$ ($x\geq0$ için)

• $[0,2]$'de: $|x^2-4| = 4-x^2$
• $[2,3]$'de: $|x^2-4| = x^2-4$

 $$= \left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 + \left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_2^3$$

 İlk parça: $4\cdot2 - \frac{8}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

 İkinci parça: $\left(\frac{27}{3}-12\right) - \left(\frac{8}{3}-8\right) = (9-12) - \left(\frac{8}{3}-8\right) = -3 - \left(-\frac{16}{3}\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

 Toplam: $\frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}$

 6.3 Sık Yapılan Hatalar

 6.4 Özet Tablosu

 6.5 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 5$ ve $\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx = 3$ olduğuna göre $\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx$ kaçtır?

 Çözüm:

 Aralık bölme özelliği (Özellik 3):

 $$\int_0^5 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^5 f(x)\,dx = 5 + 3 = 8$$

 Örnek 2:

 $\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx = 7$ olduğuna göre $\displaystyle\int_3^1 f(x)\,dx$ kaçtır?

 Çözüm:

 Sınır değişimi özelliği (Özellik 2):

 $$\int_3^1 f(x)\,dx = -\int_1^3 f(x)\,dx = -7$$

 Örnek 3:

 $\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx = 6$ olduğuna göre $\displaystyle\int_1^4 \left[3f(x)-2\right]\,dx$ kaçtır?

 Çözüm:

 Doğrusallık özelliği (Özellik 5):

 $$\int_1^4 \left[3f(x)-2\right]\,dx = 3\int_1^4 f(x)\,dx - \int_1^4 2\,dx$$

 $$= 3 \cdot 6 - 2[x]_1^4 = 18 - 2(4-1) = 18 - 6 = 12$$

Örnek 4:

 $\displaystyle\int_5^5 (x^3 - 2x + 1)\,dx$ değeri kaçtır?

 Çözüm:

 Sıfır aralık özelliği (Özellik 1):

 $$\int_5^5 (x^3 - 2x + 1)\,dx = 0$$

 Örnek 5:

 $\displaystyle\int_3^1 (2x+1)\,dx$ değeri kaçtır?

 Çözüm:

 Sınır değişimi özelliği (Özellik 2):

 $$\int_3^1 (2x+1)\,dx = -\int_1^3 (2x+1)\,dx = -[x^2+x]_1^3$$

 $$= -[(9+3)-(1+1)] = -(12-2) = -10$$

 7. Simetri Özellikleri

Tek fonksiyon · Çift fonksiyon · [-a, a] aralığı

 7.1 Kavram

Belirli integralin özelliklerini öğrendik. Şimdi, özelliklerden en güçlülerinden birine odaklanıyoruz: simetri. AYT'de $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx$ tipi integraller sık çıkar ve bunların çoğu, uzun uzun integral almak yerine "tek mi çift mi?" diye bakarak 30 saniyede çözülür.

Bir fonksiyonun $[-a,a]$ aralığındaki davranışı, $x=0$'a göre nasıl simetrik olduğuna bağlıdır. İşte iki temel tür:

Tek fonksiyon: $f(-x) = -f(x)$
 

$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$$

 Çünkü $[-a,0]$'daki negatif alan ile $[0,a]$'daki pozitif alan birbirini tam olarak götürür. $x^3$, $\sin x$, $\tan x$ gibi fonksiyonlar tek fonksiyondur.

Çift fonksiyon: $f(-x) = f(x)$

$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx$$

 Çünkü $[-a,0]$ ve $[0,a]$'daki alanlar birbirinin aynısıdır. $x^2$, $\cos x$, $|x|$ gibi fonksiyonlar çift fonksiyondur.

Çarpım kuralları:

 💡AYT ipucu: $\int_{-3}^{3} x^3\cos x\,dx$ görürsen, $x^3$ tek, $\cos x$ çift → çarpım tek → $[-3,3]$ simetrik → cevap 0. İki saniye.

 7.2 Örnekler

Örnek 1 — Tek fonksiyon tanıma:

 $\displaystyle\int_{-2}^{2} x^5\,dx$ değeri kaçtır?

 $f(x)=x^5$; $f(-x)=(-x)^5=-x^5=-f(x)$ → tek fonksiyon.

 $$\int_{-2}^{2} x^5\,dx = 0$$

  Kontrol: $\left[\frac{x^6}{6}\right]_{-2}^{2} = \frac{64}{6}-\frac{64}{6} = 0$ ✓

 Örnek 2 — Çift fonksiyon tanıma:

 $\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^4+3x^2)\,dx$ değeri kaçtır?

 $x^4$ ve $x^2$ her ikisi de çift fonksiyondur; toplamı da çifttir.

 $$\int_{-1}^{1} (x^4+3x^2)\,dx = 2\int_{0}^{1} (x^4+3x^2)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+x^3\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{5}+1\right) = \frac{12}{5}$$

 Örnek 3 — Karma fonksiyon ayırma (AYT tarzı):

 $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} x^3\cos x\,dx$ değeri kaçtır?

 $x^3$ → tek, $\cos x$ → çift → $x^3\cos x$ → tek (tek × çift = tek).

 $$\int_{-\pi}^{\pi} x^3\cos x\,dx = 0$$

  Not: Bu integrali parçalara ayırıp kısmi integrasyonla çözmek 5–6 dakika sürer. Simetri tanıması 5 saniye.

 7.3 Sık Yapılan Hatalar

 7.4 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $\displaystyle\int_{-3}^{3} x^3\,dx$ değeri kaçtır?

 Çözüm:

 $f(x) = x^3$

 $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$ → tek fonksiyon

 Tek fonksiyonun $[-a, a]$ aralığındaki integrali:

 $$\int_{-3}^{3} x^3\,dx = 0$$

 Örnek 2:

 $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} x^2\sin x\,dx$ değeri kaçtır?

 Çözüm:

 $g(x) = x^2$ → $g(-x) = (-x)^2 = x^2$ → çift fonksiyon

 $h(x) = \sin x$ → $h(-x) = \sin(-x) = -\sin x$ → tek fonksiyon

 $f(x) = x^2 \sin x$ → çift × tek = tek fonksiyon

 Tek fonksiyonun $[-\pi, \pi]$ aralığındaki integrali:

 $$\int_{-\pi}^{\pi} x^2\sin x\,dx = 0$$

 Örnek 5:

 $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^4 + 3x^2)\,dx$ değeri kaçtır?

 Çözüm:

 $f(x) = x^4 + 3x^2$

 $f(-x) = (-x)^4 + 3(-x)^2 = x^4 + 3x^2 = f(x)$ → çift fonksiyon

 Çift fonksiyonun $[-a, a]$ aralığındaki integrali:

 $$\int_{-2}^{2} (x^4 + 3x^2)\,dx = 2\int_0^2 (x^4 + 3x^2)\,dx$$

 $$= 2\left[\frac{x^5}{5} + x^3\right]_0^2 = 2\left(\frac{32}{5}+8\right) = 2\left(\frac{32+40}{5}\right) = 2 \cdot \frac{72}{5} = \frac{144}{5}$$

Örnek 6:

 $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3+3x)\,dx$ ifadesinin değeri kaçtır?

 Çözüm:

 $f(x) = x^3 + 3x$

 $f(-x) = (-x)^3 + 3(-x) = -x^3 - 3x = -(x^3 + 3x) = -f(x)$

 Tek fonksiyon olduğundan: $\int_{-2}^{2} (x^3+3x)\,dx = 0$

Örnek 7:

 $f(x)=x^2+1$ çift fonksiyon olduğuna göre $\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\,dx$ kaçtır?

 Çözüm:

 $f(x) = x^2 + 1$

 $f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = f(x)$ → çift fonksiyon

 Çift fonksiyon simetri kuralı:

 $$\int_{-3}^{3} (x^2+1)\,dx = 2\int_0^3 (x^2+1)\,dx = 2\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^3$$

 $$= 2\left(\frac{27}{3}+3\right) = 2(9+3) = 2 \cdot 12 = 24$$