6. Belirli İntegralin Özellikleri

 6. Belirli İntegralin Özellikleri

6 temel özellik · Doğrusallık · Aralık bölme

 6.1 Kavram

Newton-Leibniz Teoremi'yle belirli integralin nasıl hesaplandığını öğrendik: ters türevi bul, üst sınırdan alt sınırı çıkar. Ama sınavda karşımıza çıkan sorular sadece "hesapla" demekle kalmaz — sınırları ters çevirmek, aralığı bölmek, bilinmeyen parametreleri sadeleştirmek, mutlak değerli fonksiyonları parçalamak gibi işlemler gerekebilir. İşte bu bölümde, belirli integralin 6 temel özelliğini ve onları nasıl kullanacağımızı öğreneceğiz.

$f$ ve $g$ fonksiyonları $[a,b]$'de integrallenebilir olsun.

Özellik 1 — Sıfır aralık:

$$\int_a^a f(x)\,dx = 0$$

Özellik 2 — Sınır değişimi:

$$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$$

Özellik 3 — Aralık bölme:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$

 $c$'nin $[a,b]$ içinde olması zorunlu değildir. $c$ dışarıda bile olsa toplam geçerlidir.
 

Özellik 4 — Sabit çarpan:

$$\int_a^b k\cdot f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$$

Özellik 5 — Doğrusallık (Toplam/Fark):

$$\int_a^b\bigl[\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr]\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx$$

Özellik 6 — Parçalı / Mutlak değerli fonksiyonlar:

Tanım değişim noktasında aralık bölme uygulanır. Mutlak değer için önce $f(x)=0$ çözülür, çünkü mutlak değer, köklerde işaret değiştirir. Kökün solunda ve sağında $|f(x)|$ farklı formüllerle yazılır; bu yüzden her parçada işaret ayrı ayrı belirlenir.

 6.2 Örnekler

 Örnek 1 

 $\displaystyle\int_2^5(3x^2-4)\,dx = \big[x^3-4x\big]_2^5 = (125-20)-(8-8) = 105$

 $\displaystyle\int_5^2(3x^2-4)\,dx = -105$

 > Sınırlar ters çevrildiğinde işaret değişir.

 Örnek 2 

 $\displaystyle\int_1^7 f(x)\,dx = 10$ ve $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,dx = 4$ verildiğinde $\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx$ değeri?

 $10 = \displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx + 4 \implies \int_1^3 f(x)\,dx = 6$

 > $c=3$ ve $c=7$'nin $[1,7]$ içinde olduğuna dikkat. Aralık bölme özelliği, $c$'nin aralık dışında olması durumunda da çalışır.

 Örnek 3 

 $\displaystyle\int_1^4(x^2-ax+3)\,dx + \int_1^4\bigl((a-1)x+5\bigr)\,dx$

 İki integrali birleştir:

 $$= \int_1^4\bigl(x^2-ax+3+(a-1)x+5\bigr)\,dx = \int_1^4(x^2-x+8)\,dx$$

 $-ax+(a-1)x = -x$ olduğundan $a$ sadeleşti.

 $$= \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+8x\right]_1^4 = \left(\frac{64}{3}-8+32\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+8\right)$$

 $$= \frac{64}{3}+24-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-8 = \frac{63}{3}+16+\frac{1}{2} = 21+16+\frac{1}{2} = \frac{75}{2}$$
 

Örnek 4 

$\displaystyle\int_0^3|x^2-4|\,dx$

 $x^2-4=0 \implies x=2$ ($x\geq0$ için)

• $[0,2]$'de: $|x^2-4| = 4-x^2$
• $[2,3]$'de: $|x^2-4| = x^2-4$

 $$= \left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 + \left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_2^3$$

 İlk parça: $4\cdot2 - \frac{8}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

 İkinci parça: $\left(\frac{27}{3}-12\right) - \left(\frac{8}{3}-8\right) = (9-12) - \left(\frac{8}{3}-8\right) = -3 - \left(-\frac{16}{3}\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

 Toplam: $\frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}$

 Örnek 5 — Eksenleri kesen doğru:

 Bir doğru, koordinat eksenlerini $(6,0)$ ve $(0,4)$ noktalarında kesmektedir. Doğru ile $x$ ekseni arasında, $0\leq x\leq6$ aralığında kalan alanı bulunuz.

 Çözüm:

 Eksenleri kesen doğrunun denklemi:

 $$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$$

 Buradan $y=4-\frac{2x}{3}$ bulunur. Doğru $x$ ekseninin üstünde olduğundan alan belirli integrale eşittir:

 $$A=\int_0^6\left(4-\frac{2x}{3}\right)dx=\left[4x-\frac{x^2}{3}\right]_0^6=24-12=12$$

 9.3 Sık Yapılan Hatalar

 9.4 Özet Tablosu

 9.5 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 5$ ve $\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx = 3$ olduğuna göre $\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx$ kaçtır?

 Çözüm:

 Aralık bölme özelliği (Özellik 3):

 $$\int_0^5 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^5 f(x)\,dx = 5 + 3 = 8$$

 Örnek 2:

 $\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx = 7$ olduğuna göre $\displaystyle\int_3^1 f(x)\,dx$ kaçtır?

 Çözüm:

 Sınır değişimi özelliği (Özellik 2):

 $$\int_3^1 f(x)\,dx = -\int_1^3 f(x)\,dx = -7$$

 Örnek 3:

 $\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx = 6$ olduğuna göre $\displaystyle\int_1^4 \left[3f(x)-2\right]\,dx$ kaçtır?

 Çözüm:

 Doğrusallık özelliği (Özellik 5):

 $$\int_1^4 \left[3f(x)-2\right]\,dx = 3\int_1^4 f(x)\,dx - \int_1^4 2\,dx$$

 $$= 3 \cdot 6 - 2[x]_1^4 = 18 - 2(4-1) = 18 - 6 = 12$$