4. Bileşke Fonksiyonun Türevi (Zincir Kuralı)

 4. Bileşke Fonksiyonun Türevi (Zincir Kuralı)

 1. Zincir Kuralının Tanımı ve Uygulanması

 Zincir Kuralı (Türevde Zincir Kuralı)

💡 Bilgi

$y = f(u)$ ve $u = g(x)$ olsun.

Bu durumda $y = (f \circ g)(x) = f(g(x))$'in türevi:

$$[f(g(x))]' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

$$= f'(u) \cdot g'(x)$$

$$= f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

olur. 

Bu işleme, türevde zincir kuralı denir.

Açıklama:

- $f'(u)$: dış fonksiyonun türevi (u'ya göre)

- $g'(x)$: iç fonksiyonun türevi (x'e göre)

- Sonuç: Dış türev × İç türev

 Üçlü Bileşke Fonksiyon

💡 Bilgi

$y = f(u)$, $u = g(z)$, $z = h(x)$ olsun.

Bu durumda $y = (f \circ g \circ h)(x)$'in türevi:

$$(f \circ g \circ h)'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dz} \cdot \frac{dz}{dx}$$

$$= f'(u) \cdot g'(z) \cdot h'(x)$$

$$= f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$$

olur.

 📚 Örnek 1

$$f(a) = a^4 - a \text{ ve } g(a) = a^2 - 2$$

olduğuna göre, $y = (f \circ g)(a)$'in türevini bulalım.

Çözüm

Zincir kuralını uygulayalım: $y' = f'(g(a)) \cdot g'(a)$

Adım 1: İç fonksiyonu belirle

$g(a) = a^2 - 2$

$g'(a) = 2a$

Adım 2: Dış fonksiyonu belirle

$f(u) = u^4 - u$

$f'(u) = 4u^3 - 1$

Adım 3: Zincir kuralını uygula

$$y' = f'(g(a)) \cdot g'(a)$$

$$= f'(a^2 - 2) \cdot 2a$$

$$= [4(a^2 - 2)^3 - 1] \cdot 2a$$

$$= 2a[4(a^2 - 2)^3 - 1]$$

Cevap: $y' = 2a[4(a^2 - 2)^3 - 1]$

 📚 Örnek 2

Aşağıdaki ifadelerin türevlerini bulalım:

I. $y = f(a^2)$

İç fonksiyon: $u = a^2$

Dış fonksiyon: $y = f(u)$

Zincir kuralı:

$$y' = f'(a^2) \cdot \frac{d}{da}(a^2) = f'(a^2) \cdot 2a$$

II. $y = f(\sqrt{a})$

İç fonksiyon: $u = \sqrt{a} = a^{1/2}$

Dış fonksiyon: $y = f(u)$

Zincir kuralı:

$$y' = f'(\sqrt{a}) \cdot \frac{d}{da}(\sqrt{a}) = f'(\sqrt{a}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{a}}$$

III. $y = f(a^3 - a)$

İç fonksiyon: $u = a^3 - a$

Dış fonksiyon: $y = f(u)$

Zincir kuralı:

$$y' = f'(a^3 - a) \cdot \frac{d}{da}(a^3 - a) = f'(a^3 - a) \cdot (3a^2 - 1)$$

Cevaplar:

$$\text{I: } y' = 2a \cdot f'(a^2)$$

$$\text{II: } y' = \frac{f'(\sqrt{a})}{2\sqrt{a}}$$

$$\text{III: } y' = (3a^2 - 1) \cdot f'(a^3 - a)$$

 📚 Örnek 3

$$f(a^3 + a + 1) = a^2 + a + 1$$

olduğuna göre, $f'(3)$ bulunuz.

Çözüm

Bu tip sorularda fonksiyonun açık tanımı yoktur. Verilen denklemin her iki tarafının türevini alarak çözeriz.

Adım 1: Her iki tarafın türevini al

Sol taraf (zincir kuralı):

$$\frac{d}{da}[f(a^3 + a + 1)] = f'(a^3 + a + 1) \cdot (3a^2 + 1)$$

Sağ taraf:

$$\frac{d}{da}[a^2 + a + 1] = 2a + 1$$

Adım 2: Türevleri eşitle

$$f'(a^3 + a + 1) \cdot (3a^2 + 1) = 2a + 1$$

$$f'(a^3 + a + 1) = \frac{2a + 1}{3a^2 + 1}$$

Adım 3: $f'(3)$ için uygun $a$ değerini bul

$f'(3)$'ü bulmak için, $a^3 + a + 1 = 3$ koşulunu sağlayan $a$ değerini bul:

$$a^3 + a + 1 = 3$$

$$a^3 + a - 2 = 0$$

$a = 1$ deneyelim: $1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$ ✓

Adım 4: $f'(3)$'ü hesapla

$a = 1$ için:

$$f'(3) = \frac{2(1) + 1}{3(1)^2 + 1} = \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4}$$

Cevap: $f'(3) = \frac{3}{4}$

 📚 Örnek 4

$f$ ve $g$ fonksiyonları $a = 1$ noktasında türevli, $g(1) = 0$ ve $f'(-1) \neq 0$ olmak üzere,

$$f(a \cdot g(a) - a) = 2a - a^2$$

olduğuna göre, $g'(1)$ bulunuz.

Çözüm

Adım 1: $a = 1$ koyarak $f$ fonksiyonunun bir noktasında değerini bul

$$f(1 \cdot g(1) - 1) = 2(1) - 1^2$$

$g(1) = 0$ olduğu için:

$$f(1 \cdot 0 - 1) = 2 - 1$$

$$f(-1) = 1$$

Adım 2: Verilen denklemi her iki tarafına göre türev al

Sol taraf (zincir kuralı):

$$\frac{d}{da}[f(a \cdot g(a) - a)] = f'(a \cdot g(a) - a) \cdot \frac{d}{da}[a \cdot g(a) - a]$$

$a \cdot g(a) - a$'nın türevi:

$$= g(a) + a \cdot g'(a) - 1$$

Sağ taraf:

$$\frac{d}{da}[2a - a^2] = 2 - 2a$$

Adım 3: Türev denklemini yaz

$$f'(a \cdot g(a) - a) \cdot [g(a) + a \cdot g'(a) - 1] = 2 - 2a$$

Adım 4: $a = 1$ koy

$$f'(1 \cdot g(1) - 1) \cdot [g(1) + 1 \cdot g'(1) - 1] = 2 - 2(1)$$

$g(1) = 0$ olduğu için:

$$f'(-1) \cdot [0 + g'(1) - 1] = 0$$

$$f'(-1) \cdot [g'(1) - 1] = 0$$

Adım 5: $g'(1)$'i bul

$f'(-1) \neq 0$ olduğu için:

$$g'(1) - 1 = 0$$

$$g'(1) = 1$$

Cevap: $g'(1) = 1$

 2. Kuvvet Fonksiyonu Biçimindeki Bileşke Fonksiyonlar

 Formül: $y = [f(a)]^n$'in Türevi

💡 Bilgi

$n \in \mathbb{R}$ olmak üzere, $y = [f(a)]^n$ fonksiyonu $a$ noktasında türevli olsun.

$u = f(a)$ denilirse, $y = [f(a)]^n = u^n$ olur.

Zincir kuralını uygulayalım:

$$y' = \frac{dy}{da} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{da}$$

$$= n \cdot u^{n-1} \cdot u'$$

$$= n \cdot [f(a)]^{n-1} \cdot f'(a)$$

Sonuç Formülü:

$$y = [f(a)]^n \Rightarrow y' = n \cdot [f(a)]^{n-1} \cdot f'(a)$$

Sözel Olarak: Kuvveti aşağı indir, kuvveti 1 azalt, iç fonksiyonun türevini çarp.

 📚 Örnek 1

$$f(a) = a^2 - 2a + 3$$

olduğuna göre, $[f(a)]^3$'ün türevini bulalım.

Çözüm

Formülü uygulayalım: $y' = n \cdot [f(a)]^{n-1} \cdot f'(a)$

Adım 1: Fonksiyonları tanımla

$f(a) = a^2 - 2a + 3$

$f'(a) = 2a - 2$

Adım 2: Dış fonksiyonun parametrelerini belirle

$y = [f(a)]^3$ → $n = 3$

Adım 3: Formülü uygula

$$y' = 3 \cdot [f(a)]^{3-1} \cdot f'(a)$$

$$= 3 \cdot [f(a)]^2 \cdot f'(a)$$

$$= 3 \cdot (a^2 - 2a + 3)^2 \cdot (2a - 2)$$

$$= 3(2a - 2)(a^2 - 2a + 3)^2$$

Adım 4: Sadeleştir (isteğe bağlı)

$2a - 2 = 2(a - 1)$ olduğu için:

$$y' = 6(a - 1)(a^2 - 2a + 3)^2$$

Cevap: $y' = 6(a - 1)(a^2 - 2a + 3)^2$

 📚 Örnek 2

$g(1) = 1$ ve $g'(1) = 2$ olmak üzere,

$$f(a) = g^2(a^2 - a + 1) = [g(a^2 - a + 1)]^2$$

olduğuna göre, $f'(1)$ bulunuz.

Çözüm

Bu soruda $g$ fonksiyonunun açık tanımı yoktur, ancak belirli bir noktada değeri ve türevi verilmiştir.

Adım 1: Formülü uygula

Kuvvet formülü ve zincir kuralı:

$$f'(a) = 2 \cdot [g(a^2 - a + 1)]^{2-1} \cdot \frac{d}{da}[g(a^2 - a + 1)]$$

$$= 2 \cdot g(a^2 - a + 1) \cdot g'(a^2 - a + 1) \cdot (2a - 1)$$

Adım 2: $a = 1$ değerini koy

Önce iç kısmı hesapla:

$a^2 - a + 1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$

Bu durumda:

$$f'(1) = 2 \cdot g(1) \cdot g'(1) \cdot (2(1) - 1)$$

$$= 2 \cdot g(1) \cdot g'(1) \cdot 1$$

Adım 3: Verilen değerleri yerine koy

$g(1) = 1$ ve $g'(1) = 2$ olduğundan:

$$f'(1) = 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 4$$

Cevap: $f'(1) = 4$

 📚 Örnek 3

$$y = \sqrt{a^2 + a + 1}$$

olduğuna göre, $\frac{dy}{da}$ bulunuz.

Çözüm

Kök fonksiyonunu kuvvet biçiminde yazalım:

$$y = \sqrt{a^2 + a + 1} = (a^2 + a + 1)^{1/2}$$

Adım 1: Formülü uygula

$n = \frac{1}{2}$ olmak üzere:

$$y' = \frac{1}{2} \cdot (a^2 + a + 1)^{1/2 - 1} \cdot (2a + 1)$$

$$= \frac{1}{2} \cdot (a^2 + a + 1)^{-1/2} \cdot (2a + 1)$$

$$= \frac{2a + 1}{2(a^2 + a + 1)^{1/2}}$$

$$= \frac{2a + 1}{2\sqrt{a^2 + a + 1}}$$

Cevap: $\frac{dy}{da} = \frac{2a + 1}{2\sqrt{a^2 + a + 1}}$

 3. Kök Fonksiyonlarının Türevi

 Kök Fonksiyonlarının Türev Formülleri

💡 Formüller

I. Basit Kök Fonksiyonunun Türevi:

$$f(a) = \sqrt{g(a)} \Rightarrow f'(a) = \frac{g'(a)}{2\sqrt{g(a)}}$$

II. Genel Kök Fonksiyonunun Türevi:

$n \in \mathbb{N}$ ve $n \geq 2$ olmak üzere,

$$f(a) = \sqrt[n]{g(a)} \Rightarrow f'(a) = \frac{g'(a)}{n \cdot \sqrt[n]{(g(a))^{n-1}}}$$

 💡 Önemli Not - Pratik Yöntem

Bu formülleri akılda tutmak zordur. Bunun yerine kök fonksiyonu kuvvet biçimine çevirerek türev almak daha kolaydır:

$$f(a) = \sqrt[n]{g(a)^m} = [g(a)]^{\frac{m}{n}}$$

Bu durumda zincir kuralı ve kuvvet formülü kullanılır:

$$f'(a) = \frac{m}{n} \cdot [g(a)]^{\frac{m}{n} - 1} \cdot g'(a)$$

 📚 Örnek 4

$$f(a) = \sqrt{2a^3 + a + 1}$$

olduğuna göre, $f'(a)$ bulunuz.

Çözüm

Adım 1: Kök fonksiyonunu kuvvet biçimine çevir

$$f(a) = \sqrt{2a^3 + a + 1} = (2a^3 + a + 1)^{1/2}$$

Adım 2: Zincir kuralı ve kuvvet formülünü uygula

İç fonksiyon: $g(a) = 2a^3 + a + 1$

İç fonksiyonun türevi: $g'(a) = 6a^2 + 1$

Kuvvet formülü:

$$f'(a) = \frac{1}{2} \cdot (2a^3 + a + 1)^{1/2 - 1} \cdot (6a^2 + 1)$$

$$= \frac{1}{2} \cdot (2a^3 + a + 1)^{-1/2} \cdot (6a^2 + 1)$$

$$= \frac{6a^2 + 1}{2(2a^3 + a + 1)^{1/2}}$$

$$= \frac{6a^2 + 1}{2\sqrt{2a^3 + a + 1}}$$

Cevap: $f'(a) = \frac{6a^2 + 1}{2\sqrt{2a^3 + a + 1}}$

 📚 Örnek 5

$$f(a) = \frac{3}{\sqrt{a + 3}}$$

olduğuna göre, $\frac{df(a)}{da}$ bulunuz.

Çözüm

Adım 1: Fonksiyonu kuvvet biçimine çevir

$$f(a) = \frac{3}{\sqrt{a + 3}} = 3(a + 3)^{-1/2}$$

Adım 2: Kuvvet formülünü uygula

Sabit çarpan dışarıda kalır:

$$f'(a) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (a + 3)^{-1/2 - 1} \cdot \frac{d}{da}(a + 3)$$

$$= 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (a + 3)^{-3/2} \cdot 1$$

$$= -\frac{3}{2} \cdot (a + 3)^{-3/2}$$

Adım 3: Sonucu düzenle

$$(a + 3)^{-3/2} = \frac{1}{(a + 3)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{(a + 3)^3}}$$

Bu durumda:

$$f'(a) = -\frac{3}{2(a + 3)^{3/2}} = -\frac{3}{2\sqrt{(a + 3)^3}}$$

Cevap: $\frac{df(a)}{da} = -\frac{3}{2\sqrt{(a + 3)^3}}$ veya $-\frac{3}{2(a + 3)^{3/2}}$

 📚 Örnek 6

$$f(a) = \sqrt{6a^2 + 2a - 3}$$

olduğuna göre, $f'(-1)$ kaçtır?

Çözüm

Adım 1: Kök fonksiyonunu kuvvet biçimine çevir

$$f(a) = \sqrt{6a^2 + 2a - 3} = (6a^2 + 2a - 3)^{1/2}$$

Adım 2: Zincir kuralı ve kuvvet formülünü uygula

İç fonksiyon: $g(a) = 6a^2 + 2a - 3$

İç fonksiyonun türevi: $g'(a) = 12a + 2$

$$f'(a) = \frac{1}{2} \cdot (6a^2 + 2a - 3)^{-1/2} \cdot (12a + 2)$$

$$= \frac{12a + 2}{2\sqrt{6a^2 + 2a - 3}}$$

$$= \frac{6a + 1}{\sqrt{6a^2 + 2a - 3}}$$

Adım 3: $a = -1$'i koy

Önce iç fonksiyonun değerini hesapla:

$g(-1) = 6(-1)^2 + 2(-1) - 3 = 6 - 2 - 3 = 1$

Türevde $a = -1$'i koy:

$$f'(-1) = \frac{6(-1) + 1}{\sqrt{6(-1)^2 + 2(-1) - 3}}$$

$$= \frac{-6 + 1}{\sqrt{1}}$$

$$= \frac{-5}{1} = -5$$

Cevap: $f'(-1) = -5$