7. f(x) < g(x) Biçimindeki Eşitsizlikler

 f(x) < g(x) Biçimindeki Eşitsizlikler

Önceki konularda eşitsizliğin bir tarafı hep sıfırdı. Gerçek sorularda ise iki farklı ifade karşılaştırılır: $f(x) < g(x)$. Çözüm fikri son derece basit: sağ tarafı sola taşı, sıfıra indirgeyip işaret tablosunu uygula. Geometrik anlamı da güzel: $f(x) < g(x)$, yani $f$'nin grafiği $g$'nin grafiğinin altında kaldığı $x$ değerleri.

 1. Çözüm Yöntemi

 Adımlar

1. Eşitsizliği $f(x) - g(x) < 0$ biçimine getir.

2. $h(x) = f(x) - g(x)$ ifadesini çarpanlara ayır veya köklerini bul.

3. İşaret tablosu kur, $h(x) < 0$ olan bölgeleri belirle.

4. Çözüm kümesini aralık olarak yaz.

 Neden sağ tarafı sola taşıyoruz? Çünkü iki ayrı ifadenin bölgelere göre büyüklük karşılaştırmasını yapmak yerine, farkın işaretine bakmak çok daha sistematiktir — ve zaten öğrendiğimiz işaret tablosu yöntemini doğrudan kullanabiliyoruz.

 2. Geometrik Yorum

$f(x) < g(x)$ eşitsizliğinin çözüm kümesi, koordinat düzleminde $y = f(x)$ grafiğinin $y = g(x)$ grafiğinin altında kaldığı $x$ aralığıdır.

Kesişim noktaları ($f(x) = g(x)$) kritik noktalara karşılık gelir — işaretin değiştiği yerler.

 📊Görsel: Koordinat düzleminde $y = f(x)$ ve $y = g(x)$ grafiklerini aynı eksene çiz. Grafiklerin kesişim noktaları kritik değerleri verir. $f$'nin $g$'nin altında kaldığı $x$ aralıkları çözüm kümesidir; bu bölgeler $x$ ekseninde işaretlenir.

 3. Örnekler

 Örnek 1 — Doğrusal ve İkinci Dereceden

$$x^2 - 2x < x + 4$$

Adım 1: Sağ tarafı sola taşı:

$$x^2 - 2x - x - 4 < 0 \implies x^2 - 3x - 4 < 0$$

Adım 2: Çarpanlara ayır:

$$(x - 4)(x + 1) < 0$$

Adım 3: İşaret tablosu — $a > 0$, kökler $x = -1$ ve $x = 4$:

Çarpım $< 0$: $-1 < x < 4$

Çözüm kümesi: $(-1,\ 4)$
 

 📊Görsel: $y = x^2 - 2x$ parabolü ile $y = x + 4$ doğrusu $(-1,\ 3)$ ve $(4,\ 8)$ noktalarında kesişir. Parabolün doğrunun altında kaldığı $-1 < x < 4$ bölgesi çözüm kümesidir.

 Örnek 2 — İki İkinci Dereceden Fonksiyon

$$x^2 + 2x + 3 \leq 2x^2 - x + 1$$

Adım 1: Sağ tarafı sola taşı:

$$0 \leq 2x^2 - x + 1 - x^2 - 2x - 3$$

$$0 \leq x^2 - 3x - 2$$

İki tarafı yer değiştirirsek (eşitsizlik yönü korunur):

$$x^2 - 3x - 2 \geq 0$$

Adım 2: Köklerini bul:

$$\Delta = 9 + 8 = 17 \implies x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$$

$x_1 = \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2}, \qquad x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Adım 3: İşaret tablosu — $a = 1 > 0$, kökler $x_1 = \dfrac{3-\sqrt{17}}{2}$ ve $x_2 = \dfrac{3+\sqrt{17}}{2}$:

$\geq 0$ istiyoruz → kökler dahil dışarısı:

Çözüm kümesi: $\left(-\infty,\ \dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\right] \cup \left[\dfrac{3+\sqrt{17}}{2},\ +\infty\right)$

 Örnek 3 — Çözümü Boş Küme veya Tüm Gerçeller

$$x^2 + 3 < 2x$$

Adım 1: Sağ tarafı sola taşı:

$$x^2 - 2x + 3 < 0$$

Adım 2: Diskriminant: $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$

$a = 1 > 0$ ve $\Delta < 0$ → $h(x) = x^2 - 2x + 3$ her zaman pozitif.

Çözüm kümesi: $\emptyset$

$$x^2 + 3 > 2x$$

Adım 1: Sağ tarafı sola taşı: $x^2 - 2x + 3 > 0$

$a > 0$, $\Delta < 0$ → her zaman pozitif → her $x$ için sağlanır.

Çözüm kümesi: $\mathbb{R}$

 💡 Bu tür sorularda işaret tablosu kurmaya gerek yok — $a$ ve $\Delta$ işaretine bakarak $h(x)$'in her zaman pozitif ya da negatif olduğunu anlamak yeterlidir.

 Örnek 4 — Rasyonel Fonksiyon Karşılaştırması

$$\frac{1}{x} < \frac{2}{x + 1}$$

Adım 1: Sağ tarafı sola taşı:

$$\frac{1}{x} - \frac{2}{x+1} < 0$$

Adım 2: Tek kesire getir:

$$\frac{(x+1) - 2x}{x(x+1)} < 0$$

$$\frac{-x + 1}{x(x+1)} < 0$$

Kritik noktalar:

- Pay: $-x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

- Payda: $x = 0$ ve $x = -1$ (tanımsız)

İşaret tablosu:
 

Sonuç $< 0$ olan bölgeler: $-1 < x < 0$ ve $x > 1$.

Çözüm kümesi: $(-1,\ 0) \cup (1,\ +\infty)$

 ⚠️Klasik hata: $\dfrac{1}{x} < \dfrac{2}{x+1}$ eşitsizliğinde çapraz çarpım yapmak. $x$ ve $x+1$ ifadelerinin işareti bilinmediğinden bu işlem yanlış yön değişimine yol açar. Her zaman sağ tarafı sola taşı.

 4. Özet

 Adımlar

1. $f(x) - g(x) \lessgtr 0$ biçimine getir.

2. $h(x) = f(x) - g(x)$ ifadesini çarpanlara ayır / köklerini bul.

3. İşaret tablosu kur.

4. İstenen bölgeyi çözüm kümesi olarak yaz.

 Özel Durumlar

 Sık Yapılan Hatalar

$f(x) < g(x)$ soruları özünde her zaman tek bir fonksiyonun işaret analizine indirgenir. Yöntem değişmez, sadece fark ifadesini doğru kurmak gerekir.