5. Belirli İntegral - Riemann Toplamları ile Alan Yaklaşımı

 Kısım II: Belirli İntegral

 5. Riemann Toplamları ile Alan Yaklaşımı

Bölüntü · Alt toplam · Üst toplam · Orta nokta

 5.1 Kavram

Belirsiz integrali öğrendik, yani bir fonksiyonun ters türevini bulmayı. Şimdi o bilgiyi kullanarak belirli bir aralıktaki alanı hesaplayacağız. Ama önce alanı nasıl tanımlarız?

Bir eğriyle $x$-ekseni arasındaki bölgenin alanını hesaplamak için Riemann'ın fikri şudur: bölgeyi ince dikdörtgen şeritlerle doldur, alanlarını topla. Şeritler inceldikçe (parça sayısı $n$ büyüdükçe) toplam gerçek alana yaklaşır. Sonsuz tane dikdörtgen düşündüğümüzde, toplam tam olarak eğri altındaki alana eşit olur. İşte bu limit, belirli integraldir.

Bölüntü: $[a,b]$ aralığını $n$ parçaya bölen $P = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ kümesi.

Eşit bölüntüde: $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$

Üç toplam türü ($f(x) \geq 0$ için):

$$A_\text{alt} \leq \text{Gerçek Alan} \leq A_\text{üst}$$

Artan fonksiyonda: Alt toplam → sol uç, Üst toplam → sağ uç.  

Azalan fonksiyonda: Alt toplam → sağ uç, Üst toplam → sol uç.

Önemli not (tepe/çukur noktalı fonksiyonlar): Fonksiyon aralık içinde artıştan azalışa (veya tersine) geçiyorsa, her alt aralık için min/maks kendi içinde ayrı ayrı belirlenmelidir — tüm aralık boyunca tek bir "sol uçlar" veya "sağ uçlar" kuralı uygulanamaz. Aksi halde alt toplam üst toplamdan büyük çıkabilir, ki bu $A_\text{alt}\leq A_\text{üst}$ kuralını ihlal eder.

Limitten integrale geçiş:

$$\text{Alan} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(c_k)\,\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx$$

 5.2 Örnekler

 Örnek 1 — Maksimum noktası olan fonksiyon (ilk artan, sonra azalan):

 $f(x) = 8 - (x-2)^2$, $[0,4]$, $n=4$ eşit parça, $\Delta x = 1$.

 Alt aralıklar: $[0,1],[1,2],[2,3],[3,4]$

 Değerler: $f(0)=4, f(1)=7, f(2)=8, f(3)=7, f(4)=4$

 (a) Alt toplam (artan bölge → sol uç, azalan bölge → sağ uç):

 $$A_\text{alt} = [f(0)+f(1)+f(3)+f(4)]\cdot 1 = (4+7+7+4) = 22$$

 (b) Üst toplam (artan bölge → sağ uç, azalan bölge → sol uç):

 $$A_\text{üst} = [f(1)+f(2)+f(2)+f(3)]\cdot 1 = (7+8+8+7) = 30$$

 (c) Orta nokta (orta noktalar: $0.5, 1.5, 2.5, 3.5$):

 $$f(0.5)=5.75,\ f(1.5)=7.75,\ f(2.5)=7.75,\ f(3.5)=5.75$$

 $$A_\text{orta} = 5.75+7.75+7.75+5.75 = 27$$

Pozitif vs Negatif Fonksiyonlar: Örnek 1 pozitif (tepe noktası) ve karmaşık yapı gösterirken, Örnek 2 tamamen negatif bir fonksiyon ile karşılaştırma yapmamızı sağlar. Her iki durumda da kural şudur: alt toplam = her aralığın MİNİMUM'u, üst toplam = her aralığın MAKSİMUM'u.

 Gerçek alan: $\displaystyle\int_0^4[8-(x-2)^2]\,dx = \left[8x-\frac{(x-2)^3}{3}\right]_0^4 = \frac{80}{3} \approx 26{,}67$

 $22 \leq 26.67 \leq 30$ ✓ Orta nokta çok yakın. Dikkat: artan ve azalan bölgeler farklı kurallar uyguladı!

 Örnek 2 — Tamamen negatif fonksiyon:

 $f(x) = -(x-1)^2 - 1$, $[-1,2]$, $n=3$ eşit parça, $\Delta x = 1$. $f$ tamamen negatif değerli.
 

(a) Alt toplam (her aralığın minimum değeri):

• $[-1,0]$: $\min(-5,-2) = -5$
• $[0,1]$: $\min(-2,-1) = -2$
• $[1,2]$: $\min(-1,-2) = -2$

 $$A_\text{alt} = 1 \times (-5-2-2) = -9$$

 (b) Üst toplam (her aralığın maksimum değeri):

• $[-1,0]$: $\max(-5,-2) = -2$
• $[0,1]$: $\max(-2,-1) = -1$
• $[1,2]$: $\max(-1,-2) = -1$

 $$A_\text{üst} = 1 \times (-2-1-1) = -4$$

 Gerçek alan: $\displaystyle\int_{-1}^2 [-(x-1)^2-1]\,dx = -6$

Eşitsizlik: $-9 \leq -6 \leq -4$ ✓

 Önemli fark: Negatif fonksiyonda:

• Eşitsizlik yön değiştiriyor (pozitif kasa aksine)
• Alt toplam sağ/sol uç değil, aralığın minimum değerini alır
• Üst toplam aralığın maksimum değerini alır
• Mutlak değerler için sıralama tersine döner: $|-4| \leq |-6| \leq |-9|$ → $4 \leq 6 \leq 9$ ✓

   (Negatif sayılarda küçük olanın mutlak değeri büyüktür.)

 5.3 Sık Yapılan Hatalar

 5.4 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left[\left(\dfrac{k}{n}\right)^2+1\right]$ ifadesinin değeri kaçtır?

 Çözüm:

 Riemann toplamının genel formu: $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(c_k)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx$

 Verilen ifadeyi düzenleyelim:

• $\Delta x = \dfrac{1}{n}$
• $c_k = \dfrac{k}{n}$ (sağ uç)
• $f(x) = x^2 + 1$
• Aralık: $[0, 1]$

 $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left[\left(\dfrac{k}{n}\right)^2+1\right] = \int_0^1 (x^2+1)\,dx$$

 $$= \left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^1 = \left(\frac{1}{3}+1\right) - 0 = \frac{4}{3}$$

 Örnek 2:

 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{2}{n}\sqrt{1+\dfrac{2k}{n}}$ ifadesinin değeri kaçtır?

 Çözüm:

 Formu tanıyalım:

• $\Delta x = \dfrac{2}{n}$
• Aralık: $[0, 2]$
• $f(x) = \sqrt{1+x}$

 $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{2}{n}\sqrt{1+\dfrac{2k}{n}} = \int_0^2 \sqrt{1+x}\,dx$$

 $u = 1+x$ dönüşümü: $du = dx$, $x=0 \to u=1$, $x=2 \to u=3$

 $$= \int_1^3 \sqrt{u}\,du = \left[\frac{2u^{3/2}}{3}\right]_1^3 = \frac{2}{3}(3^{3/2}-1)$$

 $3^{3/2} = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ olduğundan:

 $$= \frac{2}{3}(3\sqrt{3}-1)$$

 Örnek 3:

 $f(x)=x$ fonksiyonu için $[0,1]$ aralığındaki sağ Riemann toplamının $n\to\infty$ için yaklaştığı değer kaçtır?

 Çözüm:

 Sağ uç Riemann toplamı:

 $$\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k$$

 $\sum_{k=1}^{n}k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (aritmetik toplam formülü)

 $$= \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n}$$

 $$\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2n}\right) = \frac{1}{2}$$

 Örnek 4:

 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{3}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{3k}{n}\right)^2$ ifadesinin değeri kaçtır?

 Çözüm:

 $$\dfrac{3}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{3k}{n}\right)^2 = \dfrac{3}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{9k^2}{n^2} = \frac{27}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2$$

 $\sum_{k=1}^{n}k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (kare toplamı formülü)

 $$= \frac{27}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{27(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$

 Payı açalım:

 $$= \frac{27(2n^2 + 3n + 1)}{6n^2} = \frac{54n^2 + 81n + 27}{6n^2} = 9 + \frac{13.5}{n} + \frac{4.5}{n^2}$$

 $$\lim_{n\to\infty}\left(9 + \frac{13.5}{n} + \frac{4.5}{n^2}\right) = 9$$

 Riemann toplamı yorumu:

• $\Delta x = \dfrac{3}{n}$
• $c_k = \dfrac{3k}{n}$
• $f(x) = x^2$
• Aralık: $[0,3]$

 Bu nedenle ifade aynı zamanda şu belirli integrale eşittir:

 $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{3}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{3k}{n}\right)^2 = \int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9$$

 Örnek 5:

 $[1,4]$ aralığında $f(x)=\dfrac{1}{x}$ fonksiyonu için Riemann toplamının $n\to\infty$ limiti kaçtır?

 Çözüm:

 Riemann toplamının limiti belirli integrale eşittir:

 $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(c_k)\Delta x = \int_1^4 \frac{1}{x}\,dx$$

 $$= [\ln x]_1^4 = \ln 4 - \ln 1 = \ln 4$$

 5.4.1 Gerçek Hayat Bağlamlı Uygulamalar

Açık fonksiyonla alan, toplam birikim ve ortalama değer

 Not: Aşağıdaki sorular yalnızca belirli integral, Newton-Leibniz teoremi ve ortalama değer kavramlarıyla çözülür. Sayısal integrasyon yöntemleri kullanılmaz.

 Örnek 1 — Yol Kenarı Çiçekliği

 Bir parkta yol kenarındaki çiçekliğin genişliği, girişten itibaren $x$ metre uzaklıkta

 $$f(x)=6-x$$

 bağıntısıyla veriliyor. Çiçeklik $0 \leq x \leq 4$ aralığında uzanıyor.

 (a) Çiçekliğin alanını bulunuz.

 (b) Çiçekliğin ortalama genişliğini bulunuz.

 Çözüm:

 $$A=\int_0^4 (6-x)\,dx=\left[6x-\frac{x^2}{2}\right]_0^4=24-8=16$$

 Çiçekliğin alanı $16 \text{ m}^2$'dir.

 Ortalama genişlik:

 $$\frac{16}{4}=4$$

 Ortalama genişlik $4$ m'dir.

 Örnek 2 — Depoya Giren Su

 Bir depoya giren suyun debisi, zamanın $t$ saat cinsinden bir fonksiyonu olarak

 $$f(t)=2t+1$$

 şeklinde veriliyor.

 İlk $3$ saatte depoya giren toplam su miktarını bulunuz.

 Çözüm:

 Toplam su miktarı:

 $$\int_0^3 (2t+1)\,dt=\left[t^2+t\right]_0^3=9+3=12$$

 İlk $3$ saatte depoya $12$ birim su girer.

 Örnek 3 — Araç Hızı ve Yol

 Bir aracın hızı

 $$v(t)=3t^2+2$$

 bağıntısıyla veriliyor.

 (a) Araç $0$ ile $2$ saat arasında kaç km yol alır?

 (b) Bu aralıktaki ortalama hızı kaçtır?

 Çözüm:

 $$\int_0^2 (3t^2+2)\,dt=\left[t^3+2t\right]_0^2=8+4=12$$

 Araç $12$ km yol alır.

 Ortalama hız:

 $$\frac{12}{2}=6$$

 Ortalama hız $6$ km/sa'tir.

 Örnek 4 — Tarla Sınırı

 Bir tarlanın bir kenarı ile taban doğrusu arasındaki uzaklık

 $$f(x)=x+1$$

 bağıntısıyla veriliyor. Bölge $1 \leq x \leq 5$ aralığında inceleniyor.

 (a) Tarlanın alanını bulunuz.

 (b) Sonucu geometrik olarak doğrulayınız.

 Çözüm:

 $$A=\int_1^5 (x+1)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_1^5=\left(\frac{25}{2}+5\right)-\left(\frac{1}{2}+1\right)=16$$

 Geometrik doğrulama:

 $f(1)=2$, $f(5)=6$, yükseklik $4$ olduğundan

 $$A=\frac{2+6}{2}\cdot 4=16$$

 Sonuç aynıdır.

 Örnek 5 — Kirlilik Yoğunluğu

 Bir bölgedeki hava kirliliği yoğunluğu

 $$f(x)=10-x$$

 bağıntısıyla modelleniyor. Bölge $2 \leq x \leq 6$ aralığında inceleniyor.

 (a) Toplam kirlilik birikimini temsil eden integral değerini bulunuz.

 (b) Bu aralıktaki ortalama yoğunluğu bulunuz.

 Çözüm:

 $$\int_2^6 (10-x)\,dx=\left[10x-\frac{x^2}{2}\right]_2^6=(60-18)-(20-2)=24$$

 Ortalama yoğunluk:

 $$\frac{24}{6-2}=\frac{24}{4}=6$$

 Ortalama yoğunluk $6$ birimdir.

 Örnek 6 — Üretim Hızı

 Bir fabrikanın saatlik üretim hızı

 $$f(t)=t+4$$

 bağıntısıyla veriliyor.

 İlk $4$ saatte üretilen toplam ürün miktarını bulunuz.

 Çözüm:

 $$\int_0^4 (t+4)\,dt=\left[\frac{t^2}{2}+4t\right]_0^4=8+16=24$$

 İlk $4$ saatte toplam $24$ birim ürün üretilir.

 8. Belirli İntegral ve Newton-Leibniz Teoremi

Tanım · [F(x)]ᵃᵇ hesabı · Temel örnekler

 8.1 Kavram

Bölüm 7'de Riemann toplamlarıyla eğri altındaki alanı dikdörtgen şeritlerle yaklaşık hesapladık. Sonsuz tane dikdörtgen düşündüğümüzde toplam gerçek alana yaklaşır — ama bu limiti doğrudan hesaplamak zordur. Newton-Leibniz Teoremi, bu limiti ters türev üzerinden doğrudan ve kesin bir şekilde hesaplamamızı sağlar.

Belirli integral tanımı:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(c_k)\,\Delta x$$

• $a$: alt sınır, $b$: üst sınır, $f(x)$: integrand.
• Sonuç bir sayıdır (fonksiyon değil). Belirsiz integraldeki $+c$ burada ortaya çıkmaz.

Newton-Leibniz Teoremi:

$f$, $[a,b]$'de sürekli ve $F'(x) = f(x)$ ise:

$$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b}$$

Neden $c$ sabiti önemli değil?

$$\Big[F(x)+c\Big]_a^b = (F(b)+c)-(F(a)+c) = F(b)-F(a)$$

$c$ sabitleri sadeleşir. Belirli integralde sonuç bir sayı olduğundan, başlangıç konumu (dikey öteleme) bilgisine ihtiyaç yoktur.

Alan ve integral farkı:

• $f(x) \geq 0$ ise integral = alan.
• $f(x) \leq 0$ ise integral $\leq 0$; alan = $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|$.
  
  
   

 8.2 Örnekler

 Örnek 1 — Doğrusal fonksiyon:

 $$\int_2^5 (2x+1)\,dx = \Big[x^2+x\Big]_2^5 = (25+5)-(4+2) = 30-6 = 24$$

 Örnek 2 — Polinom:

 $$\int_1^3 (3x^2-2)\,dx = \Big[x^3-2x\Big]_1^3 = (27-6)-(1-2) = 21+1 = 22$$

  Dikkat: $F(1) = 1-2 = -1$ olduğundan, $-(-1) = +1$ olur. İşaret dağıtımına dikkat!

 Örnek 3 — Köklü ifade:

 $$\int_1^4\left(x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx = \left[\frac{x^2}{2}-2\sqrt{x}\right]_1^4 = \left(8-4\right)-\left(\frac{1}{2}-2\right) = 4-\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{11}{2}$$

 Alt sınır $x=1$ olduğundan $\frac{1}{\sqrt{x}}$ tanımlıdır. $x=0$ olsaydı tanımsız olurdu.

 Örnek 4 — Geometrik doğrulama:

 

 Örnek 1'deki $f(x) = 2x+1$ fonksiyonu için $[2,5]$'te oluşan bölgenin alanı:

 Geometrik alan hesabı: $A = \dfrac{f(2)+f(5)}{2}\cdot(5-2) = \dfrac{5+11}{2}\cdot 3 = 24$

 Newton-Leibniz: $\displaystyle\int_2^5(2x+1)\,dx = \Big[x^2+x\Big]_2^5 = 30-6 = 24$

 İki yol aynı sonucu verir. ✓

 Temel İlke: Doğrusal fonksiyonlar için integral her zaman geometrik alana eşittir. Bu, integral-geometri köprüsüdür: $\int_a^b f(x)\,dx = \text{Alan}$ lineer durumlarda birleşir.

 8.3 Sık Yapılan Hatalar

  8.4 Çözümlü Sorular

Örnek 1:

$\displaystyle\int_1^3(3x^2-2)\,dx$ değeri kaçtır?

A) 18    B) 20    C) 22    D) 24    E) 26

Cevap: C

$[x^3-2x]_1^3 = (27-6)-(1-2) = 21-(-1) = 22$; $F(1)=-1$ olduğundan dikkat!

Örnek 2:

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx + \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ değeri kaçtır?

A) $\dfrac{1}{3}$    B) $\dfrac{2}{3}$    C) $1$    D) $\dfrac{1}{6}$    E) $2$

Cevap: B

$2\cdot\int_0^1 x^2\,dx = 2\cdot[x^3/3]_0^1 = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

 8.5 Çözümlü Sorular

Örnek 3:

 $f(x) = 2x+1$ fonksiyonu $[0,2]$ aralığında 4 eşit parçaya bölünüyor. Riemann üst toplamını bulunuz.

 Çözüm:

 $\Delta x = \dfrac{2-0}{4} = 0{,}5$; aralıklar: $[0,0{,}5],[0{,}5,1],[1,1{,}5],[1{,}5,2]$

 $f$ artan → üst toplam sağ uçlar: $f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)+f(2)$

 $= 2 + 3 + 4 + 5 = 14$; $A_{üst} = 0{,}5 \times 14 = 7$

Örnek 4:

 $f(x) = -x^2 + 4$ fonksiyonu $[0,2]$ aralığında 2 eşit parçaya bölünüyor. Riemann alt toplamını bulunuz.

 Çözüm:

 $\Delta x = 1$; aralıklar: $[0,1],[1,2]$

 $f$ azalan → alt toplam sağ uçlar: $f(1)+f(2) = 3+0 = 3$

 $A_{alt} = 1 \times 3 = 3$

 Örnek 5:

 $$\int_0^3 (x^2 + 1) \, dx$$

 Çözüm:

 $$= \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^3 = (9+3) - 0 = 12$$

 Örnek 6:

 $$\int_2^4 (x-3) \, dx$$

 Çözüm:

 $$= \left[\frac{x^2}{2} - 3x\right]_2^4 = (8-12) - (2-6) = -4 - (-4) = 0$$

 Örnek 7:

 $$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n}$$

 ifadesini belirli integral olarak yazınız.

 Çözüm:

 $\Delta x = \dfrac{1}{n}$, $x_k = \dfrac{k}{n}$, $[0,1]$ aralığında $f(x) = (1+x)^2$

 $$= \int_0^1 (1+x)^2 \, dx = \int_0^1 (1+2x+x^2) \, dx = \left[x+x^2+\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 1+1+\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$