3. Türev Alma Kuralları

 Türev Alma Kuralları

 1. Sabit Fonksiyonun Türevi

💡 Bilgi

$c \in \mathbb{R}$ olmak üzere, $y = f(x) = c$ sabit fonksiyonunun türevi sıfırdır.

$$y = c \Rightarrow y' = 0$$

 📚 Örnek 1

Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesinin türevi sıfıra eşittir?

I. $f(a) = 3$

II. $f(a) = 2x$

III. $f(x) = 3y + 2$

IV. $f(a) = \cos 20$

V. $f(x) = x^2 + 2x$

VI. $f(a) = b^3 + 4$

Çözüm

Bir fonksiyonun türevi sıfıra eşit olması için sabit fonksiyon olması gerekmektedir.

Cevap: 5 tanesinin türevi sıfıra eşittir (I, II, III, IV, VI)

 📚 Örnek 2

Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesinin türevi sıfırdır?

I. $f(a) = \sqrt[3]{3} + 4$

II. $f(a) = e^2 + \pi^3$

III. $f(a) = a^2 + 4$

IV. $f(a) = m^2 + m$

V. $f(m) = m^3 - 3m$

VI. $f(n) = \sqrt{m^2 - m}$

Çözüm

Bir fonksiyonun türevi sıfırsa, fonksiyon türev değişkenine göre sabit olmalıdır.

Cevap: 4 tanesinin türevi sıfıra eşittir (I, II, IV, VI)

 2. Kuvvet Fonksiyonunun Türevi ($x^n$ Türevi)

💡 Bilgi

$n \in \mathbb{R}$ olmak üzere, $y = f(x) = x^n$ fonksiyonu için:

$$y = x^n \Rightarrow y' = n \cdot x^{n-1}$$

 📚 Örnek

Aşağıdaki ifadelerin türevlerini bulalım:

I. $y = x^6$

$$y' = 6x^5$$

II. $y = 2026$

$$y' = 0$$ 

(Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır)

III. $y = x$

$$y' = 1 \cdot x^0 = 1$$

IV. $x = \sqrt{y}$

Burada $x$, $y$'ye göre tanımlıdır. $x = y^{\frac{1}{2}}$ olarak yazarsak:

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$$

Eğer $y$'nin $x$'e göre türevi isteniyorsa: $\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{y}$

V. $x = y^e$

Burada $e$ sabit bir sayıdır ($e \approx 2.718...$):

$$\frac{dx}{dy} = e \cdot y^{e-1}$$

Eğer $y$'nin $x$'e göre türevi isteniyorsa: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e \cdot y^{e-1}}$

VI. $x = \frac{1}{y^2} = y^{-2}$

$$\frac{dx}{dy} = -2y^{-3} = -\frac{2}{y^3}$$

Eğer $y$'nin $x$'e göre türevi isteniyorsa: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y^3}{2}$

 📚 Örnek 2

$f(y)=\frac{\sqrt{y\sqrt{y}}}{\sqrt[3]{y}}$ fonksiyonunun $y = 1$ noktasındaki türevi kaçtır?

Çözüm

Önce fonksiyonu sadeleştirelim:

$$f(y) = \frac{\sqrt{y\sqrt{y}}}{\sqrt[3]{y}}$$

Üstel yazılımla:

- $y\sqrt{y} = y \cdot y^{1/2} = y^{3/2}$

- $\sqrt{y\sqrt{y}} = \left(y^{3/2}\right)^{1/2} = y^{3/4}$

- $\sqrt[3]{y} = y^{1/3}$

Yani:

$$f(y) = \frac{y^{3/4}}{y^{1/3}} = y^{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}} = y^{\frac{9}{12} - \frac{4}{12}} = y^{\frac{5}{12}}$$

Kuvvet kuralını uygulayarak türevini alalım:

$$f'(y) = \frac{5}{12}y^{\frac{5}{12} - 1} = \frac{5}{12}y^{-\frac{7}{12}}$$

$y = 1$ noktasında:

$$f'(1) = \frac{5}{12} \cdot 1^{-\frac{7}{12}} = \frac{5}{12} \cdot 1 = \frac{5}{12}$$

Cevap: $f'(1) = \frac{5}{12}$

 3. Sabit Sayı ile Çarpımın Türevi

💡 Bilgi

$c \in \mathbb{R}$ sabit bir sayı ve $f$ bir fonksiyon olsun.

$$y = c \cdot f(x) \Rightarrow y' = c \cdot f'(x)$$

 📚 Örnek

Aşağıdaki ifadelerin birinci türevlerini bulalım:

I. $y = 4x^2$

$$y' = 4 \cdot 2x = 8x$$

II. $y = -6x^5$

$$y' = -6 \cdot 5x^4 = -30x^4$$

III. $y = 6\sqrt[4]{x^3}$

Önce fonksiyonu üstel biçimde yazalım: $y = 6x^{\frac{3}{4}}$

$$y' = 6 \cdot \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{18}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{9}{2}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{9}{2\sqrt[4]{x}}$$

IV. $y = -\frac{2}{\sqrt{x}}$

Önce fonksiyonu üstel biçimde yazalım: $y = -2x^{-\frac{1}{2}}$

$$y' = -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{1}{2}-1} = x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$$

 📚 Örnek 2

$f(x)=\frac{x\sqrt{16x}}{\sqrt[3]{27}}$ olduğuna göre, $f'(1)$'i bulun.

Çözüm

Önce fonksiyonu sadeleştirelim:

$$\sqrt{16x} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x} = 4\sqrt{x} = 4x^{1/2}$$

$$x\sqrt{16x} = x \cdot 4x^{1/2} = 4x^{3/2}$$

$$\sqrt[3]{27} = 3$$

Yani:

$$f(x) = \frac{4x^{3/2}}{3} = \frac{4}{3}x^{3/2}$$

Sabit sayı ile çarpımın türevi kuralını uygulayalım:

$$f'(x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$$

$x = 1$ noktasında:

$$f'(1) = 2\sqrt{1} = 2$$

Cevap: $f'(1) = 2$

 📚 Örnek 3

$f(x)=\sqrt[2]{16x} \cdot \sqrt[6]{64x}$ olduğuna göre, $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ limitinin değeri nedir?

Çözüm

Verilen limit, türev tanımının bir uygulamasıdır:

$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1)$$

Önce $f(x)$ fonksiyonunu sadeleştirelim:

$$f(x) = (16x)^{1/2} \cdot (64x)^{1/6}$$

$$= 16^{1/2} \cdot x^{1/2} \cdot 64^{1/6} \cdot x^{1/6}$$

$$= 4 \cdot x^{1/2} \cdot 2 \cdot x^{1/6}$$

$$= 8 \cdot x^{1/2 + 1/6} = 8 \cdot x^{\frac{3}{6} + \frac{1}{6}} = 8x^{\frac{4}{6}} = 8x^{\frac{2}{3}}$$

Türevini alalım:

$$f'(x) = 8 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{16}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{16}{3\sqrt[3]{x}}$$

$x = 1$ noktasında:

$$f'(1) = \frac{16}{3\sqrt[3]{1}} = \frac{16}{3 \cdot 1} = \frac{16}{3}$$

Cevap: $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{16}{3}$

 4. Toplam ve Farkın Türevi

 İki Fonksiyonun Toplamının Veya Farkının Türevi

💡 Bilgi

$f$ ve $g$ iki fonksiyon olmak üzere, $f \pm g$ toplam (veya fark) fonksiyonunun türevi:

$$\left[ f(x) \pm g(x) \right]' = f'(x) \pm g'(x)$$

 📚 Örnek

$y = x^4 - 4x^3 + 4$ ifadesinin türevi nedir?

Çözüm

Toplam/farkın türevi kuralını uygulayarak her terimin türevini ayrı ayrı alalım:

$$y' = \frac{d}{dx}(x^4) + \frac{d}{dx}(-4x^3) + \frac{d}{dx}(4)$$

$$y' = 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 + 0$$

$$y' = 4x^3 - 12x^2$$

Cevap: $y' = 4x^3 - 12x^2$

 📚 Örnek 2

$y = \sqrt[4]{x} + \frac{2}{x^4}$ ifadesinin türevini bulalım.

Çözüm

Önce fonksiyonu üstel biçimde yazalım:

$$y = x^{1/4} + 2x^{-4}$$

Toplam/farkın türevi kuralını uygulayarak her terimin türevini ayrı ayrı alalım:

$$y' = \frac{d}{dx}(x^{1/4}) + \frac{d}{dx}(2x^{-4})$$

$$y' = \frac{1}{4}x^{1/4-1} + 2 \cdot (-4)x^{-4-1}$$

$$y' = \frac{1}{4}x^{-3/4} - 8x^{-5}$$

$$y' = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} - \frac{8}{x^5}$$

Cevap: $y' = \frac{1}{4x^{3/4}} - \frac{8}{x^5}$

 📚 Örnek 3

$f(y)=\frac{y^e + y^\pi}{y}$ olduğuna göre, $\lim_{y \to 1} \frac{f(y)-f(1)}{y-1}$ limitinin değerini bulalım.

Çözüm

Verilen limit, türev tanımının bir uygulamasıdır:

$$\lim_{y \to 1} \frac{f(y)-f(1)}{y-1} = f'(1)$$

Önce $f(y)$ fonksiyonunu sadeleştirelim:

$$f(y) = \frac{y^e + y^\pi}{y} = \frac{y^e}{y} + \frac{y^\pi}{y} = y^{e-1} + y^{\pi-1}$$

Kuvvet kuralı ve toplam kuralını uygulayarak türevini alalım:

$$f'(y) = (e-1)y^{e-1-1} + (\pi-1)y^{\pi-1-1}$$

$$f'(y) = (e-1)y^{e-2} + (\pi-1)y^{\pi-2}$$

$y = 1$ noktasında:

$$f'(1) = (e-1) \cdot 1^{e-2} + (\pi-1) \cdot 1^{\pi-2}$$

$$f'(1) = (e-1) + (\pi-1) = e + \pi - 2$$

Cevap: $\lim_{y \to 1} \frac{f(y)-f(1)}{y-1} = e + \pi - 2$

 📚 Örnek 4

$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}+...+\frac{1}{x^{50}}$ olduğuna göre, $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ limitinin değerini bulalım.

Çözüm

Verilen limit, türev tanımının bir uygulamasıdır:

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = f'(1)$$

Önce $f(x)$ fonksiyonunu üstel biçimde yazalım:

$$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + ... + \frac{1}{x^{50}}$$

$$f(x) = x^{-1} + x^{-2} + x^{-3} + ... + x^{-50}$$

Toplam/farkın türevi kuralını uygulayarak her terimin türevini ayrı ayrı alalım:

$$f'(x) = (-1)x^{-2} + (-2)x^{-3} + (-3)x^{-4} + ... + (-50)x^{-51}$$

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x^4} - ... - \frac{50}{x^{51}}$$

$x = 1$ noktasında:

$$f'(1) = -\frac{1}{1^2} - \frac{2}{1^3} - \frac{3}{1^4} - ... - \frac{50}{1^{51}}$$

$$f'(1) = -1 - 2 - 3 - ... - 50$$

$$f'(1) = -\sum_{k=1}^{50} k = -\frac{50 \cdot 51}{2} = -1275$$

Cevap: $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = -1275$

 5. Çarpımın Türevi

 İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi

💡 Bilgi

$f$ ve $g$ iki fonksiyon olmak üzere, $f(x) \cdot g(x)$ çarpım fonksiyonunun türevi:

$$\left[ f(x) \cdot g(x) \right]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$

 📚 Örnek

$f(x) = (x^3 + x)(2 - x^2)$ fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm

Çarpımın türevi kuralını uygulayalım.

$f(x) = (x^3 + x)(2 - x^2)$ için:

- $f_1(x) = x^3 + x$ ve $f_1'(x) = 3x^2 + 1$

- $f_2(x) = 2 - x^2$ ve $f_2'(x) = -2x$

Formülü uygularsak:

$$f'(x) = (3x^2 + 1)(2 - x^2) + (x^3 + x)(-2x)$$

Birinci terimi açalım:

$$(3x^2 + 1)(2 - x^2) = 6x^2 - 3x^4 + 2 - x^2 = -3x^4 + 5x^2 + 2$$

İkinci terimi açalım:

$$(x^3 + x)(-2x) = -2x^4 - 2x^2$$

Son olarak toplayalım:

$$f'(x) = -3x^4 + 5x^2 + 2 - 2x^4 - 2x^2 = -5x^4 + 3x^2 + 2$$

Cevap: $f'(x) = -5x^4 + 3x^2 + 2$

 📚 Örnek 2

$f(x) = (x^2 + x)\sqrt{4x}$ fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm

Önce $\sqrt{4x}$ sadeleştirelim: $\sqrt{4x} = 2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$

Çarpımın türevi kuralını uygulayalım.

$f(x) = (x^2 + x) \cdot 2x^{1/2}$ için:

- $f_1(x) = x^2 + x$ ve $f_1'(x) = 2x + 1$

- $f_2(x) = 2x^{1/2}$ ve $f_2'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Formülü uygularsak:

$$f'(x) = (2x + 1) \cdot 2\sqrt{x} + (x^2 + x) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$$

$$f'(x) = 2(2x + 1)\sqrt{x} + \frac{x^2 + x}{\sqrt{x}}$$

İkinci terimi sadeleştirelim:

$$\frac{x^2 + x}{\sqrt{x}} = \frac{x(x+1)}{\sqrt{x}} = \frac{x(x+1)\sqrt{x}}{x} = (x+1)\sqrt{x}$$

Yani:

$$f'(x) = 2(2x + 1)\sqrt{x} + (x + 1)\sqrt{x}$$

$$f'(x) = \sqrt{x}[2(2x + 1) + (x + 1)]$$

$$f'(x) = \sqrt{x}[4x + 2 + x + 1]$$

$$f'(x) = (5x + 3)\sqrt{x}$$

Cevap: $f'(x) = (5x + 3)\sqrt{x}$

 Üç Fonksiyonun Çarpımının Türevi

💡 Bilgi

$f$, $g$ ve $h$ üç fonksiyon olmak üzere, $f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)$ çarpım fonksiyonunun türevi:

$$\left[ f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \right]' = f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g(x) \cdot h'(x)$$

 📚 Örnek 3

$y = x(x^2 - 1)(2 - 3x)$ olduğuna göre, $\frac{dy}{dx}$ in $x = 2$ için değerini bulalım.

Çözüm

Üç fonksiyonun çarpımının türevi kuralını uygulayalım.

$y = x(x^2 - 1)(2 - 3x)$ için:

- $f(x) = x$ ve $f'(x) = 1$

- $g(x) = x^2 - 1$ ve $g'(x) = 2x$

- $h(x) = 2 - 3x$ ve $h'(x) = -3$

Formülü uygularsak:

$$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot (x^2 - 1)(2 - 3x) + x \cdot 2x \cdot (2 - 3x) + x(x^2 - 1)(-3)$$

$$\frac{dy}{dx} = (x^2 - 1)(2 - 3x) + 2x^2(2 - 3x) - 3x(x^2 - 1)$$

$x = 2$ noktasında değerini hesaplayalım:

Birinci terim: $(2^2 - 1)(2 - 3 \cdot 2) = (4 - 1)(2 - 6) = 3 \cdot (-4) = -12$

İkinci terim: $2 \cdot 2^2 \cdot (2 - 3 \cdot 2) = 2 \cdot 4 \cdot (2 - 6) = 8 \cdot (-4) = -32$

Üçüncü terim: $-3 \cdot 2 \cdot (2^2 - 1) = -6 \cdot (4 - 1) = -6 \cdot 3 = -18$

Sonuç:

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2} = -12 - 32 - 18 = -62$$

Cevap: $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2} = -62$

 6. Bölümün Türevi

 İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi

💡 Bilgi

$f$ ve $g$ iki fonksiyon olmak üzere, $g(x) \neq 0$ koşuluyla $\frac{f(x)}{g(x)}$ bölüm fonksiyonunun türevi:

$$\left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$$

 📚 Örnek

$y = \frac{x}{x^2 + 1}$ olduğuna göre, $\frac{dy}{dx}$ i bulalım.

Çözüm

Bölümün türevi kuralını uygulayalım.

$y = \frac{x}{x^2 + 1}$ için:

- $f(x) = x$ ve $f'(x) = 1$

- $g(x) = x^2 + 1$ ve $g'(x) = 2x$

Formülü uygularsak:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$

Cevap: $\frac{dy}{dx} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$

 📚 Örnek 2

$y = \frac{x^2 + 2}{x^2 + x}$ olduğuna göre, $\frac{dy}{dx}$ i bulalım.

Çözüm

Bölümün türevi kuralını uygulayalım.

$y = \frac{x^2 + 2}{x^2 + x}$ için:

- $f(x) = x^2 + 2$ ve $f'(x) = 2x$

- $g(x) = x^2 + x$ ve $g'(x) = 2x + 1$

Formülü uygularsak:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x(x^2 + x) - (x^2 + 2)(2x + 1)}{(x^2 + x)^2}$$

Payı açalım:

Birinci terim: $2x(x^2 + x) = 2x^3 + 2x^2$

İkinci terim: $(x^2 + 2)(2x + 1) = 2x^3 + x^2 + 4x + 2$

Pay: $2x^3 + 2x^2 - 2x^3 - x^2 - 4x - 2 = x^2 - 4x - 2$

Sonuç:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x^2 + x)^2}$$

Cevap: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x^2 + x)^2}$

 7. Parçalı Fonksiyonun Türevi

 Tanım

$g(x)$ ve $h(x)$ tanımlandıkları aralıkta türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere:

$$f(x) = \begin{cases} g(x), & x  a \\ h(x), & x \leq a \end{cases} \Rightarrow f'(x) = \begin{cases} g'(x), & x  a \\ h'(x), & x < a \end{cases}$$

 💡 Bilgi

Kritik nokta adı verilen, fonksiyonun tanım kümesinin parçalara ayrıldığı $x = a$ noktasında $y = f(x)$ fonksiyonunun türevi sorulursa:

- Fonksiyonun sürekli olup olmadığına bakılır

- Sağdan türevi ($f'_+(a)$)

- Soldan türevi ($f'_-(a)$) hesaplanır

Kritik noktanın dışında bir nokta için türev sorulursa, fonksiyonun tanımlı olduğu bölgeye göre türevi alınır.

 📚 Örnek

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & x \geq 1 \\ 3x - 1, & x < 1 \end{cases}$$

fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevini inceleyelim.

Çözüm

Önce fonksiyonun $x = 1$ noktasında sürekli olup olmadığını kontrol edelim:

- $f(1) = 1^2 + 2 = 3$ (tanım gereği)

- $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^2 + 2 = 3$

- $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3(1) - 1 = 2$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \neq 3 = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ olduğu için fonksiyon $x = 1$ noktasında süreksizdir.

Fonksiyon süreksiz olduğu için $x = 1$ noktasında türevi yoktur.

Cevap: $x = 1$ noktasında türev yoktur (süreksizlik nedeniyle).

 📚 Örnek 2

$$f(x) = \begin{cases} x^2, & x  1 \\ 2x - 1, & x \leq 1 \end{cases}$$

fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevini inceleyelim.

Çözüm

Önce fonksiyonun $x = 1$ noktasında sürekli olup olmadığını kontrol edelim:

- $f(1) = 2(1) - 1 = 1$ (tanım gereği)

- $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^2 = 1$

- $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1) - 1 = 1$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$ olduğu için fonksiyon $x = 1$ noktasında süreklidir.

Şimdi sağdan ve soldan türevleri hesaplayalım:

Soldan türev:

$$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(2x - 1) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2x - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2(x - 1)}{x - 1} = 2$$

Sağdan türev:

$$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 2$$

$f'_-(1) = f'_+(1) = 2$ olduğu için fonksiyon $x = 1$ noktasında türevlenebilirdir.

Cevap: $f'(1) = 2$

 8. Zincir Kuralı (Bileşke Fonksiyonun Türevi)

 Zincir Kuralının Tanımı

💡 Bilgi

$u = g(x)$ ve $y = f(u)$ olmak üzere, $y = f(g(x))$ bileşke fonksiyonunun türevi:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

veya kısaca:

$$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

 📚 Örnek

$y = (3x + 2)^5$ fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm

Zincir kuralını uygulayalım.

$u = 3x + 2$ ve $y = u^5$ olmak üzere:

- $\frac{du}{dx} = 3$

- $\frac{dy}{du} = 5u^4$

Zincir kuralını uygularsak:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 3 = 15u^4 = 15(3x + 2)^4$$

Cevap: $y' = 15(3x + 2)^4$

 📚 Örnek 2

$y = \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^3$ fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm

Zincir kuralını uygulayalım.

$u = \frac{x+1}{x-1}$ ve $y = u^3$ olmak üzere, önce dıştaki kuvvetin türevini alıp, sonra içinin türevi ile çarpacağız ($y' = 3u^2 \cdot u'$):

İçerideki ifadenin (Bölümün) türevi:

$u' = \frac{1 \cdot (x-1) - 1 \cdot (x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x - 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$

Zincir kuralını uygularsak:

$$\frac{dy}{dx} = 3\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2 \cdot \left(\frac{-2}{(x-1)^2}\right)$$

Düzenleyelim:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x+1)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{-2}{(x-1)^2} = \frac{-6(x+1)^2}{(x-1)^4}$$

Cevap: $y' = \frac{-6(x+1)^2}{(x-1)^4}$

 Köklü Fonksiyonların Türevi

💡 Bilgi

Köklü fonksiyonlar zincir kuralı kullanılarak türev alınır. $y = \sqrt[n]{f(x)} = [f(x)]^{1/n}$ biçimindeki fonksiyonlar için:

$$y' = \frac{1}{n}[f(x)]^{\frac{1}{n}-1} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{n\sqrt[n]{[f(x)]^{n-1}}}$$

 📚 Örnek 3

$y = \sqrt{2x^2 + 3x}$ fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm

Zincir kuralını uygulayalım. $y = (2x^2 + 3x)^{1/2}$ olarak yazarsak:

$u = 2x^2 + 3x$ ve $y = u^{1/2}$ olmak üzere:

- $\frac{du}{dx} = 4x + 3$

- $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2}$

Zincir kuralını uygularsak:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}u^{-1/2} \cdot (4x + 3) = \frac{4x + 3}{2\sqrt{2x^2 + 3x}}$$

Cevap: $y' = \frac{4x + 3}{2\sqrt{2x^2 + 3x}}$

 📚 Örnek 4

$y = \sqrt[3]{x^3 - 4x}$ fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm

Zincir kuralını uygulayalım. $y = (x^3 - 4x)^{1/3}$ olarak yazarsak:

$u = x^3 - 4x$ ve $y = u^{1/3}$ olmak üzere:

- $\frac{du}{dx} = 3x^2 - 4$

- $\frac{dy}{du} = \frac{1}{3}u^{-2/3}$

Zincir kuralını uygularsak:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}u^{-2/3} \cdot (3x^2 - 4) = \frac{3x^2 - 4}{3\sqrt[3]{(x^3 - 4x)^2}}$$

Cevap: $y' = \frac{3x^2 - 4}{3\sqrt[3]{(x^3 - 4x)^2}}$