1. Koşullu Olasılık

 Bölüm 1: Koşullu Olasılık

 Olasılık konusunun içindeki yeri

Olasılık, bir deneyde belirli bir olayın gerçekleşme ihtimalini sayısal olarak ifade eder. AYT'de olasılık sorularında çoğu zaman yalnızca "Bu olay olur mu?" sorusu sorulmaz; ek bir bilgi de verilir.

Örneğin:

• "Zar atıldığında 6 gelme olasılığı nedir?" → klasik olasılık
• "Zar atıldı ve tek sayı geldiği bilindiğine göre, gelen sayının 5 olma olasılığı nedir?" → koşullu olasılık

İkinci soruda artık tüm zar sonuçlarını değil, yalnızca tek sayı gelmiş olma koşulunu sağlayan durumları dikkate alırız. Koşullu olasılık tam olarak bu fikre dayanır.

 📌 Hatırlatma: Temel Olasılık Kuralları

Olasılık sorularında, koşullu olasılık hesaplamaları genellikle temel küme ve olasılık formülleriyle harmanlanarak karşımıza çıkar. Yeni konuya girmeden önce şu temel eşitlikleri cebimizde tutmalıyız:

 Tümleyen Kuralı: Bir A olayının gerçekleşme olasılığı $P(A)$ ile gerçekleşmeme olasılığının $P(A')$ toplamı her zaman 1'e eşittir.

    $$P(A) + P(A') = 1$$

 Birleşim (Veya) Formülü: İki olayın birleşiminin olasılığı hesaplanırken, kesişim (birlikte gerçekleşme) olasılığı toplamdan çıkarılır.

    $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

 Ayrık (Dışlayıcı) Olaylar: A ve B aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylarsa kesişimleri sıfırdır ($P(A \cap B) = 0$). Bu durumda birleşim formülü kısalır.

    $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

 Eleman Sayısı ile Koşullu Olasılık: İlerleyen bölümde göreceğimiz koşullu olasılık oranı, olasılık değerleri üzerinden yazılabildiği gibi doğrudan kümelerin eleman sayıları ($s$) üzerinden de yazılabilir ($s(B) \neq 0$ olmak üzere):

    $$P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)}$$

 Not: Bu formüller Bölüm 1.3'te "bileşik olaylar" başlığı altında tekrar karşımıza çıkacak,  orada tanım değil, doğrudan uygulama olarak kullanılacaklar.

 Tanım: Koşullu Olasılık

Koşullu olasılık, bir deneyde B olayının gerçekleştiği bilindiğinde (veya B olayının gerçekleşmiş olduğu varsayıldığında), A olayının gerçekleşme olasılığıdır. Sembolik olarak $P(A|B)$ ile gösterilir ve "B gerçekleştiğine göre A'nın olasılığı" diye okunur.

Fikrin özü: Örnek uzay daralır. Normalde bir olayın olasılığını hesaplarken deneyin tüm olası sonuçlarını esas alırız. Ama "B gerçekleşti" bilgisi geldiğinde, B'nin gerçekleşmediği sonuçları hesabın dışında bırakırız, hesap artık yalnızca B'nin gerçekleştiği durumlar üzerinden yapılır.

Bu daralmayı sayısallaştıran formül:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \neq 0$$

Formülün parçaları:

 Önemli ayrım: Koşullu olasılık formülü tüm olaylar için tanımlıdır, yalnızca bağımlı olaylara özgü değildir. Bağımsız olaylarda da $P(A|B)$ hesaplanabilir; bu durumda sonuç $P(A|B) = P(A)$ çıkar — yani koşul olasılığı değiştirmez (bkz. §1.2). Bağımsızlık, koşullu olasılığın özel bir sonucudur.

 Görsel düşünme: Venn şeması ile anlatım

Soldaki şemada tüm S (dikdörtgen) örnek uzayı temsil eder ve $P(A) = \dfrac{\text{A alanı}}{\text{S alanı}}$ okunur.

Sağdaki şemada B gerçekleşmiştir; artık yalnızca B dairesinin içi geçerlidir, dışarısı elenmiştir. Bu daralmış uzayda:

$$P(A|B) = \frac{A \cap B \text{ alanı}}{B \text{ alanı}}$$

yani B dairesi "yeni örnek uzay", A∩B bölgesi ise "yeni istenen alan" olur.

 Somut örnekle sözel anlatım

52 kartlı bir desteden bir kart çekiliyor.

• A: Çekilen kartın kupa olması
• B: Çekilen kartın kırmızı olması

P(A) sorusu: "Rastgele bir kart çekildiğinde kupa gelme olasılığı nedir?"

→ Tüm deste dikkate alınır → $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

P(A|B) sorusu: "Çekilen kartın kırmızı olduğu bilindiğine göre, kupa gelme olasılığı nedir?"

 

Burada "kırmızı" bilgisi koşuldur. Artık siyah kartlar elenir; yalnızca 26 kırmızı kart düşünülür. Bunların 13'ü kupadır.

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{13/52}{26/52} = \frac{1}{2}$$

Burada $A \cap B$: hem kırmızı hem kupa → kupa kartları.

 Kırmızı kart çekildiği bilindiğine göre, kupa olma olasılığı 13/26 = 1/2'dir.

 Koşullu olasılık neden önemli?

AYT'de koşullu olasılık yalnızca tanım bilgisi değildir; şu konuların temelidir:

1. Bağımlı olaylar (§1.1) — Bir olay diğerini etkiliyorsa koşullu olasılık devreye girer.

2. Bağımsız olaylar (§1.2) — Koşul olasılığı değiştirmiyorsa bağımsızlık söz konusudur.

3. Bileşik olaylar (§1.3) — "Hem A hem B" gibi birlikte olma olasılıkları koşullu olasılıkla hesaplanır.

4. Geri koymadan çekim problemleri — İkinci çekimin olasılığı birinciye bağlıdır.

 Sınavda kullanılabilecek ifadeler

 Hızlı hatırlatma

• $P(A|B)$ = "B'ye göre A" — örnek uzay B'ye daralır.
• Formül: $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, $P(B) \neq 0$.
• Payda her zaman bilinen/koşul olan taraftır.
• Bağımsız olaylarda $P(A|B) = P(A)$ çıkar — koşul sonucu değiştirmez.
• Eleman sayısıyla da yazılabilir: $P(A|B) = \dfrac{s(A \cap B)}{s(B)}$.

 Kazanım Testi — Çözümlü Örnekler

 Örnek 1

Soru: E örnek uzayında A ve B iki olay olsun. $P(A) = \dfrac{3}{5}$ ve $P(B|A) = \dfrac{2}{3}$ olduğuna göre, A ile B olaylarının kesişiminin olasılığını, yani $P(A \cap B)$ değerini bulunuz.

Çözüm:

Koşullu olasılık tanımından

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

eşitliği yazılır. Buradan

$$P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$

bulunur.

 Örnek 2

Soru: Bir örnek uzayda tanımlı C ve D olayları için $P(D) = \dfrac{2}{5}$ ve $P(C \cap D) = \dfrac{1}{3}$ olduğuna göre, C olayının D olayına bağlı koşullu olasılığını ($P(C|D)$) bulunuz.

Çözüm:

Koşullu olasılık formülü kullanılır:

$$P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)}$$

Verilen değerler yerine yazılırsa:

$$P(C|D) = \frac{1/3}{2/5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$$

Cevap: $\dfrac{5}{6}$

 Örnek 3

Soru: Bir E örnek uzayında A ve B olayları veriliyor. $P(A') = \dfrac{3}{5}$, $P(B') = \dfrac{2}{5}$ ve $P(A \cup B) = \dfrac{7}{10}$ olduğuna göre, B olayının A olayına bağlı koşullu olasılığı $P(B|A)$ kaçtır?

Çözüm:

Önce tümleyenlerden olayların olasılıklarını buluruz:

$$P(A) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \qquad P(B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$

Kesişim olasılığı:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

$$\frac{7}{10} = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} - P(A \cap B) = 1 - P(A \cap B)$$

$$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$$

Koşullu olasılık:

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{3/10}{2/5} = \frac{3}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$$

Cevap: $\dfrac{3}{4}$

 Örnek 4

Soru: Bir sınıftaki 36 öğrencinin tamamı Matematik veya Fizik derslerinden en az birini destek eğitimi olarak almaktadır. Matematik destek eğitimi alan öğrenci sayısı 24, Fizik destek eğitimi alan öğrenci sayısı 22, her iki dersten de destek eğitimi alan öğrenci sayısı 10'dur.

Buna göre, sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin Fizik destek eğitimi aldığı biliniyorsa, bu öğrencinin Matematik destek eğitimi de alıyor olma olasılığı kaçtır?

<!-- GRAFİK: Venn diyagramı — sol daire "Matematik (24)", sağ daire "Fizik (22)"; kesişim bölgesinde "10"; sol yalnız bölgede "14" (24−10); sağ yalnız bölgede "12" (22−10); dairelerin dışında eleman yok (tüm öğrenciler en az bir dersi almaktadır) -->

Çözüm:

Verilenler:

$$|M| = 24, \qquad |F| = 22, \qquad |M \cap F| = 10$$

Kontrol: $|M \cup F| = |M| + |F| - |M \cap F| = 24 + 22 - 10 = 36$ ✓ (sınıf mevcuduyla tutarlı)

İstenen olasılık, $P(M|F)$, yani Fizik alan bir öğrencinin Matematik de alıyor olma olasılığıdır. Koşullu olasılık formülü, eleman sayıları üzerinden uygulanır:

$$P(M|F) = \frac{|M \cap F|}{|F|}$$

Verileri yerine yazalım:

$$P(M|F) = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}$$

Cevap: $\dfrac{5}{11}$

 Örnek 5

Soru: Bir lisede öğrencilerin okul kütüphanesine yeni alınacak kitap türleriyle ilgili bir anket yapılmıştır. Ankete katılan 300 öğrenciden bazıları roman, bazıları bilim kitaplarının alınmasını isterken, bir kısmı ise kararsız olduğunu belirtmiştir. Anket sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

300 öğrenci içerisinden rastgele seçilen bir öğrencinin:

a) Erkek olduğu bilindiğine göre bilim kitaplarını tercih etmiş olma olasılığını,

b) Roman kitaplarını tercih ettiği bilindiğine göre kız olma olasılığını bulunuz.

Çözüm:

a) Erkek olduğu bilinen bir öğrencinin bilim kitaplarını tercih etmiş olma olasılığı için koşullu olasılık formülü uygulanır:

$$P(\text{Bilim} \mid \text{Erkek}) = \frac{\text{Bilim tercih eden erkek sayısı}}{\text{Toplam erkek sayısı}}$$

Tablodan, bilim tercih eden erkek sayısı = 68, toplam erkek sayısı = 150 olduğundan:

$$P(\text{Bilim} \mid \text{Erkek}) = \frac{68}{150} = \frac{34}{75}$$

Cevap: $\dfrac{34}{75}$

b) Roman kitaplarını tercih ettiği bilinen bir öğrencinin kız olma olasılığı için:

$$P(\text{Kız} \mid \text{Roman}) = \frac{\text{Roman tercih eden kız sayısı}}{\text{Toplam roman tercih eden öğrenci sayısı}}$$

Tablodan, roman tercih eden kız sayısı = 84, toplam roman tercih eden öğrenci sayısı = 140 olduğundan:

$$P(\text{Kız} \mid \text{Roman}) = \frac{84}{140} = \frac{3}{5}$$

Cevap: $\dfrac{3}{5}$

 📌 Bilgi Notu: Bu soruda dikkat edilmesi gereken nokta, koşullu olasılıkta paydanın her zaman "bilinen durum" olduğudur. Erkek olduğu biliniyorsa payda 150 alınır; roman tercih ettiği biliniyorsa payda 140 alınır. Bu nedenle önce soruda hangi bilginin verildiği, ardından bu bilgiye ait satır veya sütun toplamı belirlenmelidir. Bu yöntem, koşullu olasılık sorularının tamamında uygulanır.

 Örnek 6 (İleri Düzey — Kombinasyon Gerektirir)

Soru: Bir teknoloji şirketinde düzenlenen eğitim programına 6 yazılım geliştirici, 4 veri analisti ve 3 siber güvenlik uzmanı katılmıştır. Katılımcılar arasından rastgele iki kişi seçilerek ileri seviye bir atölye çalışmasına gönderilecektir.

Seçilen iki kişinin aynı meslek grubundan olduğu bilindiğine göre, bu iki kişinin de yazılım geliştirici olma olasılığını bulunuz.

Çözüm:

Katılımcılar: Yazılım geliştirici 6 kişi, veri analisti 4 kişi, siber güvenlik uzmanı 3 kişi. Toplam kişi sayısı: $6+4+3=13$.

Soruda, seçilen iki kişinin aynı meslek grubundan olduğu bilgisi verildiği için örnek uzay yalnızca aynı gruptan seçilen ikilerdir.
 

1. Yazılım geliştiricilerden iki kişi seçilmesi: $\binom{6}{2} = 15$

2. Veri analistlerinden iki kişi seçilmesi: $\binom{4}{2} = 6$

3. Siber güvenlik uzmanlarından iki kişi seçilmesi: $\binom{3}{2} = 3$

Dolayısıyla aynı meslek grubundan seçilebilecek toplam ikili sayısı $15+6+3=24$ olur.

İstenen olay, iki kişinin de yazılım geliştirici olmasıdır:

$$P(\text{Yazılım} \mid \text{Aynı Meslek}) = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$$

Cevap: $\dfrac{5}{8}$

 📌 Bilgi Notu: Neden Kombinasyon Kullanıldı?

 Bu soruda seçilen iki kişinin hangi sırayla seçildiğinin önemi yoktur. Örneğin Ali ve Ayşe'nin seçilmesi ile Ayşe ve Ali'nin seçilmesi aynı ikiliyi ifade eder. Bu nedenle sıralamanın önemli olmadığı seçimlerde kombinasyon kullanılır:

 $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

 Unutma: Sıra önemli değilse → Kombinasyon $\binom{n}{r}$; sıra önemliyse → Permütasyon $P(n,r)$. Bu soruda yalnızca hangi iki kişinin seçildiği önemlidir; seçilme sırası önemli olmadığından kombinasyon kullanılır.

 İpucu: Bir soruda "iki kişi seçiliyor", "üç öğrenci belirleniyor", "komite oluşturuluyor", "takım kuruluyor" gibi ifadeler varsa ve sıralamadan bahsedilmiyorsa, ilk akla gelen yöntem kombinasyon olmalıdır.

Bu çözümde kullanılan fikir, koşul ("aynı meslek grubundan seçilmiş olmak") ve istenen olay ("ikisinin de yazılım geliştirici olması") arasındaki ilişkidir:

$$P(A \mid B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}$$

Burada A, "iki yazılım geliştirici seçilmesi"; B ise "iki kişinin aynı meslek grubundan seçilmesi" olayıdır. A olayı zaten B olayının içinde yer aldığından ($A \subset B$), kesişim doğrudan A'nın kendisidir.