9. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

 İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

Eşitsizlik sistemi, birden fazla eşitsizliğin aynı anda sağlanması demektir. Her eşitsizliği ayrı ayrı çözüp sonuçları kesişim ($\cap$) alarak birleştirirsin. Bu konuda yeni bir teknik yok — öğrendiğin tüm yöntemler burada bir araya geliyor.

 1. Temel Fikir: Kesişim

Sistem şöyle yazılır:

$$\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) \leq 0 \end{cases}$$

Bu, hem $f(x) > 0$ hem de $g(x) \leq 0$ koşulunu aynı anda sağlayan $x$ değerleri demektir.

$$\text{Çözüm} = A \cap B$$

burada $A$: birinci eşitsizliğin çözüm kümesi, $B$: ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi.

 "Ve" mi, "Veya" mı? Sistem her zaman "ve" (kesişim, $\cap$) demektir. "Veya" yazılırsa bu birleşim ($\cup$) olur — sistem değil ayrı bir yapıdır.

 Örnek — "Veya" Durumu: $x^2 - 4 < 0$ veya $x > 3$ sorulursa: $A = (-2, 2)$, $B = (3, +\infty)$ → çözüm $A \cup B = (-2, 2) \cup (3, +\infty)$. Bu bir sistem değil, bağımsız iki koşulun birleşimidir.

 2. Çözüm Yöntemi

 Adımlar

1. Her eşitsizliği ayrı ayrı çöz.

2. Çözüm kümelerini sayı doğrusuna işle.

3. Ortak bölgeyi (kesişimi) belirle.

4. Uç noktaların dahil olup olmadığını ($\leq$, $<$) kontrol et.

📊 Görsel: Her eşitsizliği ayrı bir satırda sayı doğrusuna işle. Birinci satırda $A$ aralığını, ikinci satırda $B$ aralığını göster. İki satırda da dolu olan bölge $A \cap B$'dir — bu ortak bölge çözüm kümesidir. Uç noktalarda parantez türüne ($[$ veya $($) dikkat et.

 3. Örnekler

 Örnek 1 — İki İkinci Dereceden Eşitsizlik

$$\begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ x^2 - x - 6 \leq 0 \end{cases}$$

1. Eşitsizlik: $x^2 - 4 < 0$

$$(x-2)(x+2) < 0 \implies -2 < x < 2$$

$A = (-2,\ 2)$

2. Eşitsizlik: $x^2 - x - 6 \leq 0$

$$(x-3)(x+2) \leq 0 \implies -2 \leq x \leq 3$$

$B = [-2,\ 3]$

Kesişim: $A \cap B$

 📊Görsel: Sayı doğrusunda $A = (-2, 2)$ açık aralık (her iki uç boş daire), $B = [-2, 3]$ kapalı aralık (her iki uç dolu daire). Kesişim, her iki satırda da dolu olan $(-2, 2)$ bölgesidir.

$-2$: $A$'da dahil değil ($<$), $B$'de dahil ($\leq$) → kesişimde dahil değil.

$2$: $A$'da dahil değil ($<$), $B$'de dahil ($\leq$) → kesişimde dahil değil.

Çözüm kümesi: $(-2,\ 2)$

 Örnek 2 — İkinci Derece + Birinci Derece

$$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \leq 0 \\ 2x - 6 < 0 \end{cases}$$

1. Eşitsizlik: $x^2 - 5x + 4 \leq 0$

$$(x-1)(x-4) \leq 0 \implies 1 \leq x \leq 4$$

$A = [1,\ 4]$

2. Eşitsizlik: $2x - 6 < 0 \implies x < 3$

$B = (-\infty,\ 3)$

Kesişim:

$[1, 4] \cap (-\infty, 3) = [1,\ 3)$

Çözüm kümesi: $[1,\ 3)$

📊 Görsel: $A = [1, 4]$ dolu uçlu aralık; $B = (-\infty, 3)$ sağ ucu boş daire. Kesişim her iki satırda dolu olan $[1, 3)$ bölgesidir: sol uç $1$ dolu ($\leq$), sağ uç $3$ boş ($<$).

 Örnek 3 — İki Parçalı Aralıkların Kesişimi

$$\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases}$$

1. Eşitsizlik: $(x-1)(x+1) > 0$

$A = (-\infty,\ -1) \cup (1,\ +\infty)$

2. Eşitsizlik: $(x-3)(x+3) > 0$

$B = (-\infty,\ -3) \cup (3,\ +\infty)$

Kesişim: $A \cap B$ — her parçayı ayrı ayrı kesiştir:

$(-\infty, -1) \cap (-\infty, -3) = (-\infty, -3)$

$(1, +\infty) \cap (3, +\infty) = (3, +\infty)$

Çözüm kümesi: $(-\infty,\ -3) \cup (3,\ +\infty)$

 💡 $B \subseteq A$ olduğu fark edilirse ($B$'nin her elemanı zaten $A$'da) doğrudan $A \cap B = B$ sonucuna varılabilir — tek tek kesiştirmeye gerek kalmaz.

 Örnek 3b — Gerçekten Boş Küme

$$\begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases}$$

1. Eşitsizlik: $(x-2)(x+2) < 0$

$A = (-2,\ 2)$

2. Eşitsizlik: $(x-3)(x+3) > 0$

$B = (-\infty,\ -3) \cup (3,\ +\infty)$

Kesişim: $A \cap B$

$(-2, 2) \cap (-\infty, -3) = \emptyset$ (çakışmıyor)

$(-2, 2) \cap (3, +\infty) = \emptyset$ (çakışmıyor)

Çözüm kümesi: $\emptyset$

 ⚠️ Sayı doğrusunda $A = (-2, 2)$ ile $B$'nin parçaları hiç örtüşmüyor. Bu durumda sistem çözümsüzdür.

 Örnek 4 — Üç Eşitsizlik Sistemi

$$\begin{cases} x^2 - 4x - 5 < 0 \\ x + 1 > 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases}$$

1. Eşitsizlik: $(x-5)(x+1) < 0 \implies -1 < x < 5$

$A = (-1,\ 5)$

2. Eşitsizlik: $x > -1$

$B = (-1,\ +\infty)$

3. Eşitsizlik: $x < 4$

$C = (-\infty,\ 4)$

Kesişim: $A \cap B \cap C$

$(-1, 5) \cap (-1, +\infty) = (-1, 5)$

$(-1, 5) \cap (-\infty, 4) = (-1, 4)$

Çözüm kümesi: $(-1,\ 4)$

 4. Uç Nokta Kontrolü: Özet Kural

Kesişimde bir uç noktanın dahil olması için her iki çözüm kümesinde de dahil olması gerekir:

 5. Ünite Özeti

Bu noktaya kadar öğrenilen tüm teknikler: