7. Belirli İntegralde u-Dönüşümü ve f′(x) İçeren İntegraller

7. Belirli İntegralde u-Dönüşümü ve f′(x) İçeren İntegraller

Sınır dönüşümü · Grafikten okuma · Doğrusal kombinasyon soruları

 7.1 Kavram

U-dönüşümünü belirsiz integralde öğrendik: değişken değiştirip, sonunda tekrar $x$'e dönmek zorundaydık. Belirli integralde sınır değerleri yerine koyarak doğrudan sayısal sonuç bulduk. Şimdi bu iki bilgiyi birleştiriyoruz: belirli integralde u-dönüşümü yapınca, sınırları da $u$'ya göre değiştiririz, ve $x$'e geri dönmeye gerek kalmaz! Bu, hem zaman kazandırır hem de hesaplama hatalarını azaltır.

Bir diğer önemli konu: Newton-Leibniz Teoremi ile $\int_a^b f'(x)\,dx = f(b)-f(a)$ olduğunu gördük. Bu basit görünen formül, AYT'de grafik okuma, doğrusal kombinasyon ve parametre bulma sorularında çok güçlü bir araçtır.

 Belirli integralde u-dönüşümü

$u = g(x)$ dönüşümü yapılırken sınırlar da dönüştürülmeli:

$$x = a \implies u = g(a), \qquad x = b \implies u = g(b)$$

Sınırlar dönüştürüldükten sonra $x$'e geri dönmeye gerek kalmaz; doğrudan $u$ sınırlarıyla hesap yapılır.

 💡Kıyaslama: Belirsiz integralde u-dönüşümü: $u$'ya göre integral al, sonra $u=g(x)$ yazıp $x$'e dön. Belirli integralde: sınırları da $u$'ya çevir, sonuç direkt sayı.

 $f'(x)$ içeren integraller

Newton-Leibniz teoreminin doğrudan uygulaması:

$$\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$$

Bu formül, $f(x)$'in kendisi bilinmese bile, $f(b)-f(a)$ farkını direkt verir. Grafik sorularında ve doğrusal denklem sistemlerinde çok kullanışlıdır.

 7.2 Örnekler

 Örnek 1 — Sınır dönüşümü:

 $$\int_{-1}^{3}(x^2-x)^2(2x-1)\,dx$$

 $u = x^2-x$, $du = (2x-1)\,dx$

 Sınır dönüşümü: $x=-1 \implies u=2$, $\quad x=3 \implies u=6$

 $$= \int_2^6 u^2\,du = \left[\frac{u^3}{3}\right]_2^6 = \frac{216}{3}-\frac{8}{3} = \frac{208}{3}$$

 Örnek 2 — $f'(x)$ integrali:

 $$\int_2^3 f'(x)\,dx = 3 \text{ ve } f(2)+f(3)=5 \text{ ise } f(2)\cdot f(3) = ?$$

 $f(3)-f(2) = 3$ ve $f(3)+f(2)=5$

 Toplayınca: $2f(3)=8 \implies f(3)=4$; $f(2)=1$

 $f(2)\cdot f(3) = 4$

 Örnek 3 — Grafikten okuma:

 $f(-2)=0$, $f(-1)=1$, $f(0)=2$, $f(4)=3$ olmak üzere

 $$\int_{-2}^{0}f'(x)\,dx + \int_{-1}^{4}f'(x)\,dx$$

 $= [f(0)-f(-2)] + [f(4)-f(-1)] = (2-0)+(3-1) = 4$

 Örnek 4 — Doğrusal fonksiyon + dönüşüm kombinasyonu:

 ⚠️Bu soru 4 adım içeriyor. Adım adım takip et, hiçbirini atla.

 Doğrusal $f(x)$ grafiği $x=2$'de ve $y=m$'de eksenleri kesiyor.

 $\displaystyle\int_{-2}^{4}f'(3x)\,dx = 9$ ise $m = ?$

 Adım 1: Doğru denklemini kur. $f(x) = -\dfrac{m}{2}x+m \implies f'(x) = -\dfrac{m}{2}$

 Adım 2: $u=3x$, $du=3\,dx$ dönüşümü yap. Sınırlar: $x=-2 \to u=-6$, $x=4 \to u=12$

 $$\frac{1}{3}\int_{-6}^{12}f'(u)\,du = \frac{1}{3}[f(12)-f(-6)]$$

 Adım 3: $f(12)$ ve $f(-6)$'yı bul.

 $f(12) = -6m+m = -5m$, $\quad f(-6) = 3m+m = 4m$

 Adım 4: Denklemi çöz.

 $$\frac{-9m}{3} = 9 \implies m = -3$$

 7.3 Sık Yapılan Hatalar

 7.4 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $\displaystyle\int_0^1 x(x^2+1)^3\,dx$ ifadesinin değeri kaçtır?

 Çözüm:

 $u = x^2+1$, $du = 2x\,dx$ → $x\,dx = \dfrac{du}{2}$

 Sınır dönüşümü: $x=0 \to u=1$, $x=1 \to u=2$

 $$\int_0^1 x(x^2+1)^3\,dx = \frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{1}{8}(16-1) = \frac{15}{8}$$

 Örnek 2:

 $f(x+2)=f(x)$ eşitliğini sağlayan periyodik bir $f$ fonksiyonu için $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 5$ olduğuna göre $\displaystyle\int_4^6 f(x)\,dx$ kaçtır?

 Çözüm:

 Periyodiklik özelliği: $f(x+2) = f(x)$ → periyot $T=2$

 $$\int_4^6 f(x)\,dx = \int_{0+4}^{2+4} f(x)\,dx$$

 $y = x-4$ dönüşümü: $x=4 \to y=0$, $x=6 \to y=2$

 $$= \int_0^2 f(y+4)\,dy = \int_0^2 f(y)\,dy = 5$$

 (Çünkü $f(y+4) = f(y+2+2) = f(y)$ periyodiklikten)

 Örnek 3:

 $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin x\cos x\,dx$ ifadesinin değeri kaçtır?

 Çözüm:

 $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$

 Sınır dönüşümü: $x=0 \to u=0$, $x=\pi/2 \to u=1$

 $$\int_0^{\pi/2} \sin x\cos x\,dx = \int_0^1 u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

 Örnek 4:

 $\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{x^5+2x^3-x}{x^2+1}\,dx$ ifadesinin değeri kaçtır?

 Çözüm:

 $f(x) = \dfrac{x^5+2x^3-x}{x^2+1}$

 Pay: $x^5+2x^3-x$ → tüm terimlerin üsleri tek (5, 3, 1) → tek fonksiyon

 Payda: $x^2+1$ → çift fonksiyon

 $f(x) = \dfrac{\text{tek}}{\text{çift}} = \text{tek}$ fonksiyon

 Tek fonksiyonun $[-1, 1]$ simetrik aralığındaki integrali:

 $$\int_{-1}^{1} \dfrac{x^5+2x^3-x}{x^2+1}\,dx = 0$$

Örnek 5:

 $$\int_0^2 x \cdot (x^2+1)^3 \, dx$$

 Çözüm:

 $u = x^2+1$, $du = 2x \, dx$; sınırlar: $x=0 \to u=1$, $x=2 \to u=5$

 $$= \frac{1}{2}\int_1^5 u^3 \, du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^5 = \frac{1}{2}\left(\frac{625}{4}-\frac{1}{4}\right) = \frac{624}{8} = 78$$

Örnek 6:

 $\displaystyle\int_1^3 f'(x)\,dx = 5$ ve $f(1) = 2$ ise $f(3)$ kaçtır?

 Çözüm:

 (Newton-Leibniz doğrudan uygulama)> $f(3) - f(1) = 5$ → $f(3) - 2 = 5$ → $f(3) = 7$

 8. Parçalı ve Mutlak Değerli Fonksiyonların Belirli İntegrali

Tanım değişim noktası · |f(x)| integrali · Adım adım yöntem

 8.1 Kavram

Belirli integralin özelliklerini öğrendik; "parçalı ve mutlak değerli fonksiyonlarda tanım değişim noktasında aralık bölme uygulanır" demiştik. Şimdi o kuralı derinlemesine işleyeceğiz: bir fonksiyonun tanım kuralı aralığın ortasında değişiyorsa veya mutlak değer içindeyse, integrali tek parçada hesaplayamayız. Doğru yöntem: kritik noktaları bul, aralığı böl, her parçayı ayrı ayrı integralle, topla.

$f(x)$ fonksiyonu $[a,b]$'de tanım kuralını $x=c$ noktasında değiştiriyorsa:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$

Mutlak değer için yöntem:

1. $h(x) = 0$ çöz → sıfır noktalarını bul.

2. Her parçada $h(x)$'in işaretini belirle (test noktası kullan).

3. Negatif olduğu parçada $|h(x)| = -h(x)$ uygula; pozitifte $|h(x)| = h(x)$.

4. Her parçayı ayrı ayrı integralle, topla.

 8.2 Örnekler

 Örnek 1 — Parçalı tanımlı fonksiyon:

 $$f(x) = \begin{cases} x^2+1 & x < 2 \\ 3x-1 & x \geq 2 \end{cases}$$

 $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx = ?$

 $$= \int_0^2(x^2+1)\,dx + \int_2^4(3x-1)\,dx$$

 $$= \left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^2 + \left[\frac{3x^2}{2}-x\right]_2^4$$

 $$= \left(\frac{8}{3}+2\right) + \left[(24-4)-(6-2)\right] = \frac{14}{3} + 16 = \frac{62}{3}$$

 Örnek 2 — Mutlak değer (tek kritik nokta):

 $\displaystyle\int_0^3|x^2-4|\,dx$

 $x^2-4=0 \implies x=2$ ($x\geq0$ için)

• $[0,2]$'de $x^2-4<0$ (test: $x=1 \to 1-4=-3<0$): $|x^2-4| = 4-x^2$
• $[2,3]$'de $x^2-4>0$ (test: $x=3 \to 9-4=5>0$): $|x^2-4| = x^2-4$

 $$= \left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 + \left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_2^3$$

 İlk parça: $4\cdot2 - \frac{8}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

 İkinci parça: $\left(\frac{27}{3}-12\right) - \left(\frac{8}{3}-8\right) = (9-12) - \left(\frac{8}{3}-8\right) = -3 - \left(-\frac{16}{3}\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

 Toplam: $\frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}$

Örnek 3 — Mutlak değer (iki kritik nokta):

 $\displaystyle\int_{-1}^{3}|x^2-x-2|\,dx$

 $x^2-x-2=0 \implies (x-2)(x+1)=0 \implies x=-1,\ x=2$

• $[-1,2]$'de $x^2-x-2\leq0$ (test: $x=0 \to -2<0$): integrand $= -(x^2-x-2) = -x^2+x+2$
• $[2,3]$'de $x^2-x-2\geq0$ (test: $x=3 \to 4>0$): integrand $= x^2-x-2$

 $$= \int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx + \int_2^3(x^2-x-2)\,dx$$

 İlk parça: $\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2}$

 $x=2$: $-\frac{8}{3}+2+4 = -\frac{8}{3}+6 = \frac{10}{3}$

 $x=-1$: $-\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}+2(-1) = \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 = \frac{2+3-12}{6} = -\frac{7}{6}$

 İlk parça sonuç: $\frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{20}{6}+\frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

 İkinci parça: $\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x\right]_2^{3}$

 $x=3$: $9-\frac{9}{2}-6 = 3-\frac{9}{2} = -\frac{3}{2}$

 $x=2$: $\frac{8}{3}-2-4 = \frac{8}{3}-6 = -\frac{10}{3}$

 İkinci parça sonuç: $-\frac{3}{2} - \left(-\frac{10}{3}\right) = -\frac{9}{6}+\frac{20}{6} = \frac{11}{6}$

 Toplam: $\frac{9}{2} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3}$

 8.3 Sık Yapılan Hatalar

 8.4 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $$f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 2 \ 3x-1, & x \ge 2 \end{cases}$$

 olduğuna göre $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$ değeri kaçtır?

 Çözüm:

 $$= \int_0^2 (x+1) \, dx + \int_2^4 (3x-1) \, dx = \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_0^2 + \left[\frac{3x^2}{2}-x\right]_2^4$$

 $$= (2+2) + [(24-4)-(6-2)] = 4 + 16 = 20$$

 Örnek 2:

 $$\int_{-1}^{2} |x| \, dx$$

 Çözüm:

 $x=0$'da işaret değişir:

 $[-1,0]$: $|x| = -x$; $[0,2]$: $|x| = x$

 $$= \int_{-1}^0 (-x) \, dx + \int_0^2 x \, dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 + \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

 Örnek 3:

 $$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$

 Çözüm:

 $x^2-2x = 0$ → $x=0$, $x=2$; $[0,2]$'de negatif, $[2,3]$'te pozitif> $$= \int_0^2 -(x^2-2x) \, dx + \int_2^3 (x^2-2x) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2 + \left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_2^3$$

 $$= \left(-\frac{8}{3}+4\right) + \left[(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)\right] = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$