5. Parçalı ve Mutlak Değerli Fonksiyonların Türevi

 5. Parçalı ve Mutlak Değerli Fonksiyonların Türevi

 1. Parçalı Fonksiyonlarda Kritik Noktalarda Türev

 Parçalı Fonksiyonun Türevi

💡 Bilgi

$g(x)$ ve $h(x)$ tanımlandıkları aralıkta türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere:

$$f(x) = \begin{cases} g(x), & x > a \\ h(x), & x \leq a \end{cases} \Rightarrow f'(x) = \begin{cases} g'(x), & x > a \\ h'(x), & x < a \end{cases}$$

 💡 Bilgi

Kritik nokta adı verilen, fonksiyonun tanım kümesinin parçalara ayrıldığı $x = a$ noktasında $y = f(x)$ fonksiyonunun türevi sorulursa:

- Fonksiyonun sürekli olup olmadığına bakılır

- Sağdan türevi ($f'_+(a)$)

- Soldan türevi ($f'_-(a)$) hesaplanır

Kritik noktanın dışında bir nokta için türev sorulursa, fonksiyonun tanımlı olduğu bölgeye göre türevi alınır.

 📚 Örnek

$$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 1, & x \leq 1 \\ \frac{1}{x} + 5x, & x > 1 \end{cases}$$

fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevini bulalım.

Çözüm - Adım Adım Yaklaşım

Adım 1: Sürekliliği kontrol et

Kritik noktada ($x = 1$) türev sorulduğunda, ilk yapılması gereken şey sürekliliği kontrol etmektir. Çünkü:

- Süreksiz ise → türev YOKTUR

- Sürekli ise → sonra soldan/sağdan türevleri hesapla

Sürekliliği kontrol ederken:

- $f(1)$ değerini bul

- $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ hesapla

- $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ hesapla

Hesaplamalar:

- $f(1) = 2(1)^2 + 1 = 3$ (tanım gereği, $x \leq 1$ koşulundan kullanırız)

- $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x^2 + 1) = 2(1)^2 + 1 = 3$

- $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{1}{x} + 5x\right) = \frac{1}{1} + 5(1) = 1 + 5 = 6$

Adım 2: Sürekliliği değerlendir

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 \neq 6 = \lim_{x \to 1^+} f(x)$$

Sağ limit ve sol limit birbirine eşit değildir. Ayrıca fonksiyonun değeri $f(1) = 3$'tür.

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 = f(1) \text{ (sol taraftan sürekli)}$$

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 6 \neq f(1) \text{ (sağ taraftan süreksiz)}$$

Sonuç: Fonksiyon $x = 1$ noktasında süreksizdir.

Adım 3: Türevi değerlendir

Bir fonksiyon süreksiz bir noktada türevlenemez. Çünkü türev tanımı gereği fonksiyon o noktada sürekli olmalıdır.

Cevap: $x = 1$ noktasında türev YOKTUR (süreksizlik nedeniyle).

 📚 Örnek 2

$$f(x) = \begin{cases} x + 1 + \frac{1}{x}, & x \leq \frac{3}{2} \\ x^3 + 1, & x > \frac{3}{2} \end{cases}$$

olduğuna göre $f'(-1)$ bulunuz.

Çözüm

Bu soruda $x = -1$ noktasında türev isteniyor. İlk yapılması gereken şey, $x = -1$'in kritik nokta olup olmadığını kontrol etmektir.

Kritik nokta = $x = \frac{3}{2}$

$x = -1 < \frac{3}{2}$ olduğu için $x = -1$ kritik nokta değildir.

Sonuç: Kritik noktanın dışında bir nokta için türev sorulursa, fonksiyonun tanımlı olduğu bölgeye göre türevi alınız.

$x = -1$ için uygulanacak kural: $x \leq \frac{3}{2}$ bölgesi

$$f(x) = x + 1 + \frac{1}{x}$$

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$$

$$f'(-1) = 1 - \frac{1}{(-1)^2} = 1 - \frac{1}{1} = 1 - 1 = 0$$

Cevap: $f'(-1) = 0$

 📚 Örnek 3

$$f(x) = \begin{cases} x^3 - 2x, & x < 1 \\ \frac{1}{x+1}, & x \geq 1 \end{cases}$$

olduğuna göre $f'\left(\frac{1}{2}\right)$ bulunuz.

Çözüm

$x = \frac{1}{2}$ noktasında türev isteniyor. Yapılacak ilk işlem: bu nokta kritik nokta mı?

Kritik nokta = $x = 1$

$x = \frac{1}{2} < 1$ olduğu için kritik nokta değildir.

Sonuç: Uygun bölgenin kuralını uygula.

$x = \frac{1}{2}$ için uygulanacak kural: $x < 1$ bölgesi

$$f(x) = x^3 - 2x$$

$$f'(x) = 3x^2 - 2$$

$$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 = 3 \cdot \frac{1}{4} - 2 = \frac{3}{4} - 2 = -\frac{5}{4}$$

Cevap: $f'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{4}$

 📚 Örnek 4 - Kritik Noktada Türevlenebilirlik

$$f(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2, & x \geq -2 \\ -12x - 14, & x < -2 \end{cases}$$

fonksiyonunun $x = -2$ noktasında türevli olup olmadığını araştırıp, varsa türevini bulalım.

Çözüm

$x = -2$ kritik noktadır. Bu noktada türev olması için fonksiyon sürekli olmalı ve soldan/sağdan türevler eşit olmalıdır.

Adım 1: Sürekliliği kontrol et

- $f(-2) = 3(-2)^2 - 2 = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$ (tanım gereği $x \geq -2$ koşulundan)

- $\lim_{x \to -2^-} f(x) = -12(-2) - 14 = 24 - 14 = 10$

- $\lim_{x \to -2^+} f(x) = 3(-2)^2 - 2 = 12 - 2 = 10$

$$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2) = 10$$

Sonuç: Fonksiyon $x = -2$ noktasında süreklidir.

Adım 2: Soldan türevi hesapla

$$f'_-(-2) = \lim_{x \to -2^-} \frac{f(x) - f(-2)}{x - (-2)} = \lim_{x \to -2^-} \frac{(-12x - 14) - 10}{x + 2}$$

$$= \lim_{x \to -2^-} \frac{-12x - 24}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} \frac{-12(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} (-12) = -12$$

Adım 3: Sağdan türevi hesapla

$$f'_+(-2) = \lim_{x \to -2^+} \frac{f(x) - f(-2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} \frac{(3x^2 - 2) - 10}{x + 2}$$

$$= \lim_{x \to -2^+} \frac{3x^2 - 12}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} \frac{3(x^2 - 4)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} \frac{3(x-2)(x+2)}{x + 2}$$

$$= \lim_{x \to -2^+} 3(x - 2) = 3(-2 - 2) = 3(-4) = -12$$

Adım 4: Sonuç

$$f'_-(-2) = f'_+(-2) = -12$$

Soldan ve sağdan türevler eşit olduğu için fonksiyon $x = -2$ noktasında türevlenebilirdir.

Cevap: Evet, türevlidir ve $f'(-2) = -12$

 2. Mutlak Değerli Fonksiyonlarda Türev ve Kritik Nokta İncelemesi

 Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

💡 Tanım

$g: A \to \mathbb{R}$ olmak üzere, $y = f(x) = |g(x)|$ fonksiyonunun türevi:

$$|g(x)| = \begin{cases} g(x), & g(x) \geq 0 \\ -g(x), & g(x) < 0 \end{cases}$$

tanımından hareketle, $g(x) = 0$ noktalarında analize gerek duyulur. Bu noktalar mutlak değer fonksiyonunun kritik noktalarıdır.

 💡 Bilgi

Mutlak değer fonksiyonunun türevini bulurken:

1. $g(x) = 0$ olan noktaları bul - bunlar kritik noktalardır

2. Kritik noktalarda sürekliliği kontrol et

3. Kritik noktalarda soldan/sağdan türevleri hesapla

4. Kritik noktanın dışında türev al - uygun bölgenin kuralını uygula

 💡 Önemli Formül

$g(x) \neq 0$ olmak üzere, $y = f(x) = |g(x)|$ fonksiyonunun türevi:

$$y' = f'(x) = \begin{cases} -g'(x), & g(x) < 0 \text{ ise} \\ g'(x), & g(x) > 0 \text{ ise} \end{cases}$$

Açıklama:

- Eğer fonksiyon o bölgede pozitif ise ($g(x) > 0$), türevi doğrudan $g'(x)$

- Eğer fonksiyon o bölgede negatif ise ($g(x) < 0$), türevi $-g'(x)$ (işaret değişir)

- Kritik noktalarda ($g(x) = 0$): Soldan ve sağdan türevlere bakılır; eğer eşitse türevli, değilse türevlenemeyen nokta

 📚 Örnek 1

$$f(x) = |x - 5|$$

fonksiyonunun türevinin kuralını bulalım.

Çözüm

İç fonksiyon: $g(x) = x - 5$

Kritik nokta: $g(x) = 0 \Rightarrow x = 5$

Adım 1: $x \neq 5$ için türev

$g'(x) = 1$

- $x > 5$ için: $g(x) = x - 5 > 0$ → $f'(x) = g'(x) = 1$

- $x < 5$ için: $g(x) = x - 5 < 0$ → $f'(x) = -g'(x) = -1$

Adım 2: $x = 5$ noktasında soldan/sağdan türev

Soldan türev:

$$f'_-(5) = -1$$

Sağdan türev:

$$f'_+(5) = 1$$

$f'_-(5) \neq f'_+(5)$ olduğu için $x = 5$ noktasında türev YOKTUR (köşe noktası).

Cevap:

$$f'(x) = \begin{cases} -1, & x < 5 \\ \text{tanımsız}, & x = 5 \\ 1, & x > 5 \end{cases}$$

 📚 Örnek 2

$$f(x) = |x + 5|$$

fonksiyonunun türevinin kuralını bulalım.

Çözüm

İç fonksiyon: $g(x) = x + 5$

Kritik nokta: $g(x) = 0 \Rightarrow x = -5$

Adım 1: $x \neq -5$ için türev

$g'(x) = 1$

- $x > -5$ için: $g(x) = x + 5 > 0$ → $f'(x) = g'(x) = 1$

- $x < -5$ için: $g(x) = x + 5 < 0$ → $f'(x) = -g'(x) = -1$

Adım 2: $x = -5$ noktasında soldan/sağdan türev

Soldan türev:

$$f'_-(-5) = -1$$

Sağdan türev:

$$f'_+(-5) = 1$$

$f'_-(-5) \neq f'_+(-5)$ olduğu için $x = -5$ noktasında türev YOKTUR (köşe noktası).

Cevap:

$$f'(x) = \begin{cases} -1, & x < -5 \\ \text{tanımsız}, & x = -5 \\ 1, & x > -5 \end{cases}$$

 📚 Örnek 3

$$f(x) = |2x - 4|$$

fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevini inceleyelim.

Çözüm

İç fonksiyon: $g(x) = 2x - 4$

Kritik nokta: $g(x) = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

$x = 2$ kritik noktasında analiz yapacağız.

$g'(x) = 2$

Adım 1: Bölgelerde türev

- $x > 2$ için: $g(x) = 2x - 4 > 0$ → $f'(x) = g'(x) = 2$

- $x < 2$ için: $g(x) = 2x - 4 < 0$ → $f'(x) = -g'(x) = -2$

Adım 2: $x = 2$ noktasında soldan/sağdan türev

Soldan türev:

$$f'_-(2) = -2$$

Sağdan türev:

$$f'_+(2) = 2$$

$f'_-(2) \neq f'_+(2)$ olduğu için $x = 2$ noktasında türev YOKTUR.

Cevap:

$$f'(x) = \begin{cases} -2, & x < 2 \\ \text{tanımsız}, & x = 2 \\ 2, & x > 2 \end{cases}$$

 📚 Örnek 4

$$f(x) = |x^2 - 9|$$

fonksiyonunun türevinin kuralını bulalım.

Çözüm

İç fonksiyon: $g(x) = x^2 - 9$

Türevi: $g'(x) = 2x$

Adım 1: Kritik noktaları bul

$g(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = -3$ veya $x = 3$

Adım 2: $g(x)$'in işaret tablosu

$$\begin{array}{c|ccccc}

x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, 3) & 3 & (3, +\infty) \\

\hline

x^2 - 9 & + & 0 & - & 0 & + \\

\end{array}$$

Adım 3: Her bölgede türev kuralı

- $x < -3$ için: $g(x) > 0$ → $f'(x) = g'(x) = 2x$

- $-3 < x < 3$ için: $g(x) < 0$ → $f'(x) = -g'(x) = -2x$

- $x > 3$ için: $g(x) > 0$ → $f'(x) = g'(x) = 2x$

Adım 4: Kritik noktalarda kontrol

$x = -3$ noktasında:

- Soldan: $f'_-(-3) = 2(-3) = -6$

- Sağdan: $f'_+(-3) = -2(-3) = 6$

- $f'_-(-3) \neq f'_+(-3)$ → türevlenemeyen

$x = 3$ noktasında:

- Soldan: $f'_-(3) = -2(3) = -6$

- Sağdan: $f'_+(3) = 2(3) = 6$

- $f'_-(3) \neq f'_+(3)$ → türevlenemeyen

Cevap:

$$f'(x) = \begin{cases} 2x, & x < -3 \\ \text{tanımsız}, & x = -3 \\ -2x, & -3 < x < 3 \\ \text{tanımsız}, & x = 3 \\ 2x, & x > 3 \end{cases}$$

 📚 Örnek 5

$$f(x) = |x^2 - 4x|$$

fonksiyonunun türevinin kuralını bulalım.

Çözüm

İç fonksiyon: $g(x) = x^2 - 4x = x(x - 4)$

Türevi: $g'(x) = 2x - 4$

Adım 1: Kritik noktaları bul

$g(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ veya $x = 4$

Adım 2: $g(x)$'in işaret tablosu

$$\begin{array}{c|ccccc}

x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 4) & 4 & (4, +\infty) \\

\hline

x^2 - 4x & + & 0 & - & 0 & + \\

\end{array}$$

Adım 3: Her bölgede türev kuralı

- $x < 0$ için: $g(x) > 0$ → $f'(x) = g'(x) = 2x - 4$

- $0 < x < 4$ için: $g(x) < 0$ → $f'(x) = -g'(x) = -(2x - 4) = 4 - 2x$

- $x > 4$ için: $g(x) > 0$ → $f'(x) = g'(x) = 2x - 4$

Adım 4: Kritik noktalarda kontrol

$x = 0$ noktasında:

- Soldan: $f'_-(0) = 2(0) - 4 = -4$

- Sağdan: $f'_+(0) = 4 - 2(0) = 4$

- $f'_-(0) \neq f'_+(0)$ → türevlenemeyen

$x = 4$ noktasında:

- Soldan: $f'_-(4) = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4$

- Sağdan: $f'_+(4) = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$

- $f'_-(4) \neq f'_+(4)$ → türevlenemeyen

Cevap:

$$f'(x) = \begin{cases} 2x - 4, & x < 0 \\ \text{tanımsız}, & x = 0 \\ 4 - 2x, & 0 < x < 4 \\ \text{tanımsız}, & x = 4 \\ 2x - 4, & x > 4 \end{cases}$$