11. İkinci Türevin Geometrik Anlamı

11. İkinci Türevin Geometrik Anlamı

 Eğrilik Yönünün Bulunması

 💡 Tanım

$f: [a, b] \to \mathbb{R}$, $y = f(x)$ fonksiyonu $[a, b]$ aralığında sürekli ve $(a, b)$ aralığında birinci türevi ve ikinci türevi alınabilen bir fonksiyon olsun.

1. Fonksiyonun grafiği; $(a, b)$ aralığının her noktasındaki teğetlerinin altında kalıyorsa, eğrilik yönü aşağı doğrudur (içbükeydir — konkavdır).

2. Fonksiyonun grafiği; $(a, b)$ aralığının her noktasındaki teğetlerinin üstünde kalıyorsa, eğrilik yönü yukarıya doğrudur (dışbükeydir — konvekstir).

Bunu aşağıdaki şekillerde gösterelim.

Eğri, $(a, b)$ aralığının her noktasındaki teğetlerin altında kalıyor.

Eğrilik yönü aşağı doğru (içbükey — konkav)

Eğri, $(a, b)$ aralığının her noktasındaki teğetlerin üstünde kalıyor.

Eğrilik yönü yukarı doğru (dışbükey — konveks)

 📘 Bilgi

$(a, b) \subseteq A$ ve $f: A \to \mathbb{R}$, $y = f(x)$ fonksiyonu birinci türevi ve ikinci türevi alınabilen bir fonksiyon olsun. Her $x \in (a, b)$ için:

1. $f''(x) < 0 \implies f(x)$ fonksiyonunun eğrilik yönü aşağı doğrudur → İçbükey (Konkav)

2. $f''(x) > 0 \implies f(x)$ fonksiyonunun eğrilik yönü yukarı doğrudur → Dışbükey (Konveks)

$$\boxed{f''(x) < 0 \implies \text{İçbükey (Konkav)}} \qquad \boxed{f''(x) > 0 \implies \text{Dışbükey (Konveks)}}$$

> Sezgisel açıklama:

> - $f''(x) < 0$ → $f'(x)$ azalıyor → teğetin eğimi giderek küçülüyor → eğri ∩ biçiminde

> - $f''(x) > 0$ → $f'(x)$ artıyor → teğetin eğimi giderek büyüyor → eğri ∪ biçiminde

 📌 Örnek 1

$$f(x) = 4x^3 - 9x^2 + x + 4$$

fonksiyonunun konkav (içbükey) ve konveks (dışbükey) olduğu aralıkları bulalım.

✅ Çözüm:

Adım 1 — Türevleri al:

$$f'(x) = 12x^2 - 18x + 1$$

$$f''(x) = 24x - 18$$

Adım 2 — $f''(x) = 0$ denklemini çöz:

$$24x - 18 = 0 \implies x = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$

Adım 3 — İşaret tablosunu oluştur:

Adım 4 — Sonuç:

- $f(x)$, $\left(-\infty,\ \dfrac{3}{4}\right)$ aralığında konkavdır (içbükeydir)

- $f(x)$, $\left(\dfrac{3}{4},\ +\infty\right)$ aralığında konvekstir (dışbükeydir)

 Büküm (Dönüm) Noktası

 💡 Tanım

$y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin eğrilik yönünün değiştiği, yani ikinci türevinin işaret değiştirdiği noktalarda fonksiyon sürekli ise bu noktalara $y = f(x)$ in büküm (dönüm) noktaları denir.

$y = f(x)$ fonksiyonunun büküm noktasında, eğer bu nokta kritik nokta değilse, fonksiyonun ikinci türevinin değeri sıfırdır.

$y = f(x)$ in grafiğinin;

- Eğrilik yönünün aşağı doğru olduğu aralıklarda $f''(x) < 0$,

- Eğrilik yönünün yukarı doğru olduğu aralıklarda $f''(x) > 0$,

- Grafiğin eğrilik yönünün değiştiği $x = x_0$ noktasında $f''(x_0) = 0$ dır.

> ⚠️ Not:

> - $y = f(x)$ in dönüm noktasında ikinci türev tanımlı olmayabilir.

> - Bir noktada ikinci türevin sıfır olması, o noktanın dönüm noktası olmasını gerektirmez.

 📘 Bilgi

$y = f(x)$ fonksiyonunda $f''(x) = 0$ denkleminin tek katlı köklerinde fonksiyonun dönüm noktası vardır.

$$\boxed{f''(x_0) = 0 \text{ ve } x_0 \text{ tek katlı kök} \implies (x_0,\, f(x_0)) \text{ dönüm noktasıdır}}$$

 📌 Örnek 2

$$f(x) = (x-2)^4$$

fonksiyonunun, varsa dönüm noktasını bulalım.

✅ Çözüm:

Adım 1 — Türevleri al:

$$f'(x) = 4(x-2)^3$$

$$f''(x) = 12(x-2)^2$$

Adım 2 — $f''(x) = 0$ denklemini çöz:

$$12(x-2)^2 = 0 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x = 2$$

$x = 2$, $f''(x) = 0$ denkleminin çift katlı köküdür.

Adım 3 — İşaret tablosunu oluştur:

Adım 4 — Sonuç:

$x = 2$ noktasında $f''(x)$ işaret değiştirmemektedir (her iki yanda da $+$).

$$\therefore \quad f(x) = (x-2)^4 \text{ fonksiyonunun } \textbf{dönüm noktası yoktur.}$$

> Bu örnek, $f''(x_0) = 0$ olmasının dönüm noktası için yeterli olmadığını göstermektedir. Kök çift katlı olduğundan işaret değişmez.

 📌 Örnek 3

$$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$$

fonksiyonunun, varsa dönüm noktasını bulalım.

✅ Çözüm:

Adım 1 — Türevleri al:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$

$$f''(x) = 6x - 6$$

Adım 2 — $f''(x) = 0$ denklemini çöz:

$$6x - 6 = 0 \implies x = 1$$

$x = 1$, $f''(x) = 0$ denkleminin tek katlı köküdür.

Adım 3 — İşaret tablosunu oluştur:

Adım 4 — Dönüm noktasını belirle:

$x = 1$ noktasında $f''(x)$ işaret değiştirmektedir $(- \to +)$, dolayısıyla bu nokta bir dönüm noktasıdır.

$$f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$$

$$\therefore \quad \text{Dönüm noktası: } (1,\, 2)$$

> Örnek 2 ile karşılaştırma: Örnek 2'de kök çift katlıydı ve işaret değişmedi → dönüm noktası yoktu. Burada kök tek katlı, işaret değişiyor → dönüm noktası vardır.

 📌 Örnek 4

$$f(x) = x^4 - 10ax^3 + 5x + 2$$

fonksiyonunun dönüm noktalarının apsisleri toplamı $20$ olduğuna göre, $a$ kaçtır?

✅ Çözüm:

Adım 1 — Türevleri al:

$$f'(x) = 4x^3 - 30ax^2 + 5$$

$$f''(x) = 12x^2 - 60ax$$

Adım 2 — $f''(x) = 0$ denklemini çöz:

$$12x^2 - 60ax = 0 \implies 12x(x - 5a) = 0$$

$$x_1 = 0 \qquad x_2 = 5a$$

Her iki kök de tek katlı → ikisi de dönüm noktasıdır.

Adım 3 — Apsisler toplamını kullan:

$$x_1 + x_2 = 20$$

$$0 + 5a = 20 \implies 5a = 20$$

$$\boxed{a = 4}$$

 📌 Örnek 5

$$f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 6$$

eğrisinin dönüm noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

✅ Çözüm:

Adım 1 — Türevleri al:

$$f'(x) = 8x^3 - 12x^2$$

$$f''(x) = 24x^2 - 24x$$

Adım 2 — $f''(x) = 0$ denklemini çöz:

$$24x^2 - 24x = 0 \implies 24x(x - 1) = 0$$

$$x_1 = 0 \qquad x_2 = 1$$

Her iki kök de tek katlı → ikisi de dönüm noktasıdır.

Adım 3 — Dönüm noktalarının koordinatlarını bul:

$$f(0) = 0 - 0 + 6 = 6 \implies A(0,\ 6)$$

$$f(1) = 2 - 4 + 6 = 4 \implies B(1,\ 4)$$

Adım 4 — İki nokta arasındaki uzaklığı hesapla:

$$d = \sqrt{(1-0)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{1 + 4} = \boxed{\sqrt{5} \text{ birim}}$$

İkinci Türevin Yerel Ekstremum Noktaları ile İlişkisi

 💡 Teorem

$x = x_0$ da sürekli ve bu noktada birinci ve ikinci türevi mevcut olan $y = f(x)$ fonksiyonu için:

1. $f'(x_0) = 0$ ve $f''(x_0) > 0$ ise $\big(x_0,\, f(x_0)\big)$ noktası, $y = f(x)$ fonksiyonunun yerel minimum noktasıdır.

$$f'(x_0) = 0 \text{ ve } f''(x_0) > 0 \implies \big(x_0,\, f(x_0)\big) \text{ yerel minimum}$$

2. $f'(x_0) = 0$ ve $f''(x_0) < 0$ ise $\big(x_0,\, f(x_0)\big)$ noktası, $y = f(x)$ fonksiyonunun yerel maksimum noktasıdır.

$$f'(x_0) = 0 \text{ ve } f''(x_0) < 0 \implies \big(x_0,\, f(x_0)\big) \text{ yerel maksimum}$$

 📘 Bilgi

$f'(x) = 0$ denkleminin tek katlı köklerinde $y = f(x)$ in yerel maksimum mu yoksa yerel minimum mu olduğunu anlamak için;

1. $f'(x)$ türev fonksiyonunun işaret tablosu incelenir,

&emsp;&emsp;veya

2. $f''(x)$ ikinci türevinin bu noktalardaki işaretine bakılır.

 📌 Örnek 6

$$f(x) = x^3 - 3x - 4$$

fonksiyonunun bağıl maksimum değeri, bağıl minimum değerinden kaç fazladır?

✅ Çözüm:

Adım 1 — Kritik noktaları bul:

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1) = 0$$

$$x_1 = -1 \qquad x_2 = 1$$

Adım 2 — İkinci türev testini uygula:

$$f''(x) = 6x$$

$$f''(-1) = -6 < 0 \implies x = -1 \text{ → \textbf{yerel maksimum}}$$

$$f''(1) = 6 > 0 \implies x = 1 \text{ → \textbf{yerel minimum}}$$

Adım 3 — Ekstremum değerlerini hesapla:

$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 4 = -1 + 3 - 4 = -2 \quad \text{(bağıl maksimum değeri)}$$

$$f(1) = (1)^3 - 3(1) - 4 = 1 - 3 - 4 = -6 \quad \text{(bağıl minimum değeri)}$$

Adım 4 — Farkı hesapla:

$$f(-1) - f(1) = -2 - (-6) = \boxed{4}$$

 📌 Örnek 7

$$f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2$$

fonksiyonunun bağıl maksimum değeri, bağıl minimum değerinden kaç fazladır?

✅ Çözüm:

Adım 1 — Kritik noktaları bul:

$$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 = (3x-1)(x-1) = 0$$

$$x_1 = \frac{1}{3} \qquad x_2 = 1$$

Adım 2 — İkinci türev testini uygula:

$$f''(x) = 6x - 4$$

$$f''\!\left(\frac{1}{3}\right) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 4 = -2 < 0 \implies x = \frac{1}{3} \text{ → \textbf{yerel maksimum}}$$

$$f''(1) = 6 - 4 = 2 > 0 \implies x = 1 \text{ → \textbf{yerel minimum}}$$

Adım 3 — Ekstremum değerlerini hesapla:

$$f\!\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} - 2 = \frac{1 - 6 + 9 - 54}{27} = -\frac{50}{27} \quad \text{(bağıl maksimum değeri)}$$

$$f(1) = 1 - 2 + 1 - 2 = -2 = -\frac{54}{27} \quad \text{(bağıl minimum değeri)}$$

Adım 4 — Farkı hesapla:

$$f\!\left(\frac{1}{3}\right) - f(1) = -\frac{50}{27} - \left(-\frac{54}{27}\right) = \boxed{\frac{4}{27}}$$

 📌 Örnek 8

$y = f(x)$ fonksiyonu için $x = a$ ve $x = b$ noktaları ekstremum noktalardır.

$f''(a) > 0$ olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) $(a, f(a))$ noktası yerel maksimum noktadır.

B) $(b, f(b))$ noktası yerel minimum noktadır.

C) $x = a$ da yerel minimum vardır.

D) $x = b$ de yerel maksimum vardır.

E) $x = b$ noktası dönüm noktasıdır.

✅ Çözüm:

$x = a$ ve $x = b$ birer ekstremum nokta olduğundan:

$$f'(a) = 0 \qquad f'(b) = 0$$

İkinci türev testini uygula:

$f'(a) = 0$ ve $f''(a) > 0$ olduğundan ikinci türev testine göre $x = a$ noktası yerel minimumdur.

$x = b$ hakkında ise yalnızca $f'(b) = 0$ bilgisi var; $f''(b)$ nin işareti bilinmiyor.

Şıkların değerlendirilmesi:

$$\boxed{\textbf{C}}$$