10. Asal Çarpanlar
1.10 Asal Çarpanlar ve Bölen Sayıları
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Bir tam sayıyı asal çarpanlarına ayırabilecek (çarpan ağacı veya bölme algoritması ile),
- Verilen bir sayının pozitif, negatif ve tam sayı bölenlerinin sayısını formüllerle hesaplayabilecek,
- Bir sayının tam sayı bölenlerinin toplamının her zaman 0 olduğunu kavrayabilecek,
- Faktöriyel içindeki bir asal çarpanın en büyük üssünü (kuvvetini) bölme yöntemiyle bulabileceksin.
📖Konu Anlatımı
1. Asal Çarpanlara Ayırma
Her $1$'den büyük tam sayı, asal sayıların çarpımı olarak benzersiz şekilde yazılabilir (Aritmetiğin Temel Teoremi).
$A$ bir tam sayı; $x, y, z$ birbirinden farklı asal sayılar ve $a, b, c$ doğal sayılar (0,1,2,...) olmak üzere:
$$A = x^a \cdot y^b \cdot z^c$$
Bu işleme asal çarpanlarına ayırma denir. Tabanlar (x, y, z) mutlaka birbirinden farklı asal olmalıdır.
Yöntem: Sayıyı sürekli olarak en küçük asal bölene (2, 3, 5, 7, ...) bölerek 1'e ulaştırma işlemidir.
2. Bölen Sayılarını Hesaplama (Üslerin 1 Fazlası)
$A = x^a \cdot y^b \cdot z^c$ şeklinde çarpanlarına ayrılmış bir sayı için:
Bölen Türü | Hesaplama Formülü |
Pozitif Bölen Sayısı (PBS) | $(a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1)$ |
Negatif Bölen Sayısı (NBS) | $(a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1)$ (PBS ile eşittir) |
Tam Sayı Bölen Sayısı (TSBS) | $2 \cdot (a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1)$ |
💡Pratik Tüyo: Sadece pozitif bölenleri hesaplamayı bilirseniz, negatif ve tam sayı bölenlerini iki katını alarak veya eşitleyerek bulabilirsiniz.
3. Bölenlerle İlgili Toplam Kuralları
Tam Sayı Bölenlerinin Toplamı: Bir sayının tüm pozitif bölenlerinin negatif karşılıkları da tam bölen olduğu için, tüm tam bölenlerin toplamı her zaman 0 (sıfır)'dır.
- Pozitif Bölenlerin Toplamı:
$$PBS\_Toplam = \frac{x^{a+1} - 1}{x - 1} \cdot \frac{y^{b+1} - 1}{y - 1} \cdot \frac{z^{c+1} - 1}{z - 1}$$
- Asal Bölenlerin Toplamı: Sayıyı oluşturan asal sayıların toplamıdır: $x + y + z$.
- Asal Olmayan Tam Bölenler: Tüm tam bölenlerin toplamı 0 olduğu için, asal bölenlerin (x, -x, y, -y, z, -z) toplamı da 0 olduğundan, asal olmayan tam bölenlerin toplamı da 0'dır.
4. Faktöriyel İçindeki Asal Çarpan Üssünü Bulma
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n$ içinde bir asal sayı olan $a$'nın kaç tane çarpan olarak bulunduğunu (yani $a^k$ ifadesindeki en büyük $k$ değerini) bulmak için:
$n$'yi sırasıyla $a$'ya böleriz. Elde edilen tüm bölümleri (tam kısımlarını) toplarız. Bölüm, $a$'dan küçük olana kadar devam eder.
$$k = \left\lfloor \frac{n}{a} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{a^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{a^3} \right\rfloor + \dots$$
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1: $540$ sayısını asal çarpanlarına ayırıp üslü biçimde yazınız.
Çözüm:
Bölme algoritması ile:
- 540 ÷ 2 = 270
- 270 ÷ 2 = 135
- 135 ÷ 3 = 45
- 45 ÷ 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
Sonuç: $540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1$
Örnek 2: $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^1$ sayısının pozitif bölen, negatif bölen ve tam sayı bölen sayılarını bulunuz.
Çözüm:
- Pozitif Bölen Sayısı: $(4+1)(2+1)(1+1) = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$
- Negatif Bölen Sayısı: Pozitif ile aynıdır, 30.
- Tam Sayı Bölen Sayısı: $2 \cdot 30 = 60$'tır.
Örnek 3: $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^1$ sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Her pozitif bölenin ($+d$) bir de negatif karşılığı ($-d$) olduğu için toplam $+d + (-d) + \dots = 0$'dır.
Cevap: 0.
Örnek 4: $420$ sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Önce asal çarpanlara ayıralım:
- $420 = 42 \cdot 10 = (2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1$
Asal çarpanlar: $2, 3, 5, 7$. Toplamları: $2+3+5+7 = 17$'dir.
Örnek 5: $80!$ sayısının içinde kaç tane $5$ çarpanı vardır? (Yani $80! = A \cdot 5^k$ ise $k$ en fazla kaçtır?)
Çözüm:
Sürekli 5'e bölelim:
- $80 \div 5 = 16$
- $16 \div 5 = 3$ (Kalan 1, sadece tam kısmı alınır)
- $3 \div 5 = 0$ (Dur, bölüm sıfır oldu)
Bölümler toplamı: $16 + 3 = 19$.
Cevap: $k = 19$'dur.
Örnek 6: $x$ ve $y$ asal sayılar olmak üzere $A = x^3 \cdot y^2$ sayısının 12 tane pozitif böleni vardır. Buna göre $x + y$ en az kaçtır?
Çözüm:
Pozitif bölen sayısı: $(3+1)(2+1) = 4 \cdot 3 = 12$'dir. Bu koşul zaten sağlanıyor. $x$ ve $y$ farklı asal sayılar olmak zorunda. En küçük asallar $2$ ve $3$'tür. Toplamları $2+3 = 5$'tir. Cevap: 5.
Örnek 7: $n$ doğal sayısı için $n!$ ifadesinin içinde $2^7$ çarpanı bulunuyor, ancak $2^8$ çarpanı bulunmuyor. Buna göre $n$ kaçtır?
Çözüm:
$n!$ içindeki 2 çarpanı sayısı $ \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor + \dots = 7$ olmalı.
- $n=10$ için: $5+2+1=8$ (fazla)
- $n=9$ için: $4+2+1=7$ (uygun)
- $n=8$ için: $4+2+0=6$ (az)
O halde $n=9$'dur.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
🔴Asal çarpanlara ayırırken bölme işlemini yanlış yapmak veya asal sayıları atlamak: Örneğin 180'i bölerken 2'ye böldükten sonra 3'e geçmeyi unutup 4'e bölmeye kalkmak. Her adımda asal sayılara bölündüğünden emin olun.
🔴Bölen sayısı formülünde üslere +1 eklemeyi unutmak: Örneğin $2^3$ için bölen sayısı $3$ değil, $3+1=4$'tür (1,2,4,8). Bu en kritik hatadır!
🔴Tam sayı bölenleri ile pozitif bölenleri karıştırmak: Pozitif bölen sayısı $P$ ise, tam sayı bölen sayısı $2P$'dir. Negatif bölenler de dahil edilmelidir.
🔴Faktöriyel sorusunda bölme işlemini sadece bir kere yapıp durmak: Örneğin 45! içinde 3'ü ararken $45/3 = 15$ deyip durmak yanlıştır. $15/3=5$, $5/3=1$ devam edip tüm bölümleri toplamak gerekir ($15+5+1=21$).
🟡"Asal olmayan bölenlerin toplamı" ezberine güvenmek: Bu tür ezberler yerine, "Tüm pozitif bölenler toplamı - (1 + Asal bölenler toplamı)" yaparak hesaplamak daha güvenlidir. Müfredattaki $-(x+y+z)$ kuralı genel değildir, sakın kullanmayın!
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!