6. Olasılık
Olasılık ve Olasılık Hesabı
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Deney, çıktı, örnek uzay ve olay kavramlarını tanımlayabilecek,
- Madeni para ve zar atma deneylerinde örnek uzayın eleman sayısını ($2^n, 6^n$) hesaplayabilecek,
- Ayrık ve ayrık olmayan olayları ayırt edebilecek,
- Bir olayın tümleyenini, imkânsız ve kesin olayı açıklayabilecek,
- $P(A) = \frac{s(A)}{s(E)}$ formülünü uygulayabilecek,
- Ayrık olaylarda $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ve ayrık olmayan olaylarda $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ formüllerini kullanabilecek,
- $P(A) + P(A') = 1$ özelliğini uygulayabileceksin.
📖Konu Anlatımı
1. Olasılıkta Temel Kavramlar
Terim | Tanım | Örnek |
Deney | Tekrarlanabilen, sonuçları önceden kesin bilinemeyen süreç. | Bir zarın atılması. |
Çıktı | Deney sonucunda elde edilebilecek her bir sonuç. | Zarın 3 gelmesi. |
Örnek Uzay ($E$) | Tüm çıktıların kümesi. | Zar için $E = \{1,2,3,4,5,6\}$ |
Olay ($A$) | Örnek uzayın herhangi bir alt kümesi. | $A = \{2,4,6\}$ (çift gelme) |
2. Örnek Uzayın Eleman Sayısı ve Dökümü
🪙 Madenî Para Deneylerinde Örnek Uzaylar
1 Madenî Para Atıldığında: $E_1 = \{Y, T\} \implies s(E_1) = 2^1 = 2$
2 Madenî Para Atıldığında: $E_2 = \{YY, YT, TY, TT\} \implies s(E_2) = 2^2 = 4$
3 Madenî Para Atıldığında: $E_3 = \{YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT\} \implies s(E_3) = 2^3 = 8$
Genelleme: $n$ tane madenî paranın aynı anda atılması (veya 1 paranın $n$ kez atılması) deneyinde örnek uzay eleman sayısı:
$$s(E) = 2^n$$
🎲Zar Deneylerinde Örnek Uzaylar
1 Zar Atıldığında: $E_1 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies s(E_1) = 6^1 = 6$
2 Zar Atıldığında: $(1,1), (1,2), \dots, (6,6)$ şeklinde sıralı ikililer oluşur $\implies s(E_2) = 6^2 = 36$
Genelleme: $n$ tane zarın birlikte havaya atılması deneyinde örnek uzay eleman sayısı:
$$s(E) = 6^n$$
3. Olay Çeşitleri
Ayrık Olaylar: Ortak elemanı olmayan olaylardır ($A \cap B = \emptyset$).
Ayrık Olmayan Olaylar: En az bir ortak elemanı bulunan olaylardır ($A \cap B \neq \emptyset$).
Tümleyen ($A'$): $A$ olayının dışındaki tüm diğer çıktıları içeren olaydır.
İmkânsız Olay: Gerçekleşme olasılığı 0 olan olaydır ($\emptyset$).
Kesin Olay: Gerçekleşme olasılığı 1 olan olaydır ($E$).
4. Olasılık Hesabı Formülleri
Bir $E$ eş olasılıklı örnek uzayında $A$ olayının gerçekleşme olasılığı $P(A)$:
$$P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}}$$
Temel Özellikler:
1. Olasılık Sınırları: $0 \leq P(A) \leq 1$
2. Tümleyen Kuralı: $P(A) + P(A') = 1 \implies P(A') = 1 - P(A)$
3. Birleşim Olasılığı:
Ayrık olaylarda: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Ayrık olmayan olaylarda: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
✏️ Örnekler (Özgün ve Adım Adım Çözümlü)
Örnek 1 (Para ve Örnek Uzay):
4 madenî para aynı anda havaya atılıyor.
a) Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır?
b) En az birinin tura gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm 1:
a) Örnek uzay: $s(E) = 2^4 = \mathbf{16}$
b) Tümleyen Kullanımı: "En az bir tura" ifadesinin tümleyeni "hepsinin yazı (Y,Y,Y,Y)" gelmesidir.
Hepsinin yazı gelmesi: 1 durum $\rightarrow P(\text{Hepsi Y}) = \frac{1}{16}$
$P(\text{En az 1 Tura}) = 1 - P(\text{Hepsi Y}) = 1 - \frac{1}{16} = \mathbf{\frac{15}{16}}$
Örnek 2 (Zar ve Birleşim Olasılığı):
Bir zar havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayının tek veya asal olma olasılığı nedir?
Çözüm 2:
$E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies s(E) = 6$
Tek sayılar: $A = \{1, 3, 5\} \implies s(A) = 3$
Asal sayılar: $B = \{2, 3, 5\} \implies s(B) = 3$
Kesişim (hem tek hem asal): $A \cap B = \{3, 5\} \implies s(A \cap B) = 2$
Ayrık olmayan olaylar birleşimi:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{4}{6} = \frac{2}{3}}$$
Örnek 3 (Bilye ve Denklem Problemi ):
Bir torbadaki kırmızı ($k$), mavi ($m$) ve sarı ($s$) bilyelerle ilgili şu bilgiler veriliyor:
1. Çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı $\frac{3}{8}$'dir.
2. Kırmızı bilye sayısı, mavi ve sarı bilyelerin toplamına eşittir ($k = m + s$).
3. Sarı bilye sayısı $2$ ile $6$ arasındadır ($2 < s < 6$).
Soru: Torbada en az kaç mavi bilye vardır?
Çözüm 3:
Toplam bilye sayısı: $k + m + s = (m+s) + m + s = 2(m+s) = 2k$.
Mavi olasılığı:
$$P(M) = \frac{m}{2k} = \frac{3}{8} \implies 8m = 6k \implies 4m = 3k$$
Buradan $m$, 3'ün katı; $k$, 4'ün katı olmalıdır ($m = 3t$, $k = 4t$).
$s = k - m = 4t - 3t = t$.
$2 < s < 6 \implies 2 < t < 6$ olmalıdır.
En az mavi bilye için en küçük $t = 3$ seçilir.
$m = 3t = 3(3) = \mathbf{9 \text{ mavi bilye}}$. ($k=12, s=3$).
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
🔴"En Az" Sorularında Tümleyeni Unutmak: "En az bir..." sorularını doğrudan hesaplamak yerine tümleyen kuralını ($1 - P(A')$) kullanmak çözümü çok daha kolaylaştırır.
🔴Kesişimi Çıkarmayı Unutmak: Ayrık olmayan olaylarda $P(A \cap B)$ kesişim elemanları çift sayılmamak için mutlaka bir kez düşülmelidir.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!