5. Niceleyiciler

 5. Niceleyiciler ve Açık Önermeler 

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında;

• Açık önerme kavramını tanımlayabilecek ve değişken sayısına göre ($p(x), q(x, y)$) ifade edebilecek,
• Bir açık önermeyi doğrulayan değerlerin oluşturduğu doğruluk (çözüm) kümesini belirleyebilecek,
• Evrensel niceleyici ("Her" - $\forall$) ile Varlıksal niceleyicinin ("Bazı" / "En az bir" - $\exists$) sembolik anlamlarını açıklayabilecek,
• Niceleyicilerle kurulan açık önermelerin doğruluk değerlerini ($1$ veya $0$) tespit edebilecek,
• Niceleyicili ifadelerin ve eşitsizlik sembollerinin değillerini (olumsuzlarını) kurallara uygun biçimde alabilecek,
• İki veya daha fazla değişkenli niceleyicili önermeleri yorumlayabileceksin.

 📖 Konu Anlatımı

 1. Açık Önerme Nedir?

İçerisinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkene verilen değerlere bağlı olarak doğru ya da yanlış hüküm kazanan ifadelere açık önerme adı verilir.

Açık önermeler kapsadığı değişken sayısına göre adlandırılır ve sembolize edilir:

• Tek değişkenli açık önerme: $p(x)$ (Değişkeni $x$)
• İki değişkenli açık önerme: $q(x, y)$ (Değişkenleri $x$ ve $y$)
• Üç değişkenli açık önerme: $r(x, y, z)$

Örnekler:

• $p(x): "x \in \mathbb{Z}, x + 5 = 12"$ ($x=7$ için doğru, $x=3$ için yanlış)
• $q(x, y): "x, y \in \mathbb{N}, x + y < 5"$ ($x=1, y=2$ için doğru, $x=4, y=3$ için yanlış)

 💡Matematiksel İlişki: Matemafikteki tüm denklemler ve eşitsizlikler birer açık önermedir.

 2. Doğruluk (Çözüm) Kümesi

Bir açık önermeyi geçerli kılan (doğruluk değerini $1$ yapan) tüm elemanların oluşturduğu kümeye o açık önermenin doğruluk kümesi denir. Genellikle $D$ veya $ÇK$ ile gösterilir.

• Bir $a$ değeri açık önermeyi sağlıyorsa: $p(a) \equiv 1$ ve $a \in D$ olur.
  • Bir $b$ değeri açık önermeyi sağlamıyorsa: $p(b) \equiv 0$ ve $b \notin D$ olur.

 Örnek İnceleme

$p(x): "x \in \mathbb{Z}, x^2 \le 4"$ açık önermesinin doğruluk kümesini bulalım:

• $x^2 \le 4$ koşulunu sağlayan tam sayılar ($\mathbb{Z}$): $-2, -1, 0, 1, 2$
  • Doğruluk Kümesi: $D = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

 3. Niceleyiciler ($\forall$ ve $\exists$)

Niceleyiciler, bir açık önermenin evrendeki elemanların kaç tanesi için doğru olduğunu belirten sembollerdir.

 🔹 1. Evrensel Niceleyici ($\forall$)

$\forall x, p(x)$ ifadesinin doğru ($1$) olabilmesi için evrendeki tüm elemanların $p(x)$ koşulunu sağlaması şarttır. Tek bir eleman bile kuralı bozarsa önerme yanlış ($0$) olur.

 Örnek: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0$"

   İnceleme:Tüm reel sayıların karesi 0 veya 0'dan büyüktür. Hiçbir istisna yoktur.

   Doğruluk Değeri: 1

Örnek: "$\forall x \in \mathbb{Z}, x > 0$"

  İnceleme: Örneğin $x = -3$ için $-3 > 0$ yanlış olur.

  Doğruluk Değeri: 0

 🔹 2. Varlıksal Niceleyici ($\exists$)

$\exists x, p(x)$ ifadesinin doğru ($1$) olabilmesi için evrende koşulu sağlayan en az bir tane elemanın bulunması yeterlidir.

 Örnek: "$\exists x \in \mathbb{Z}, x + 4 = 10$"

   İnceleme: $x = 6$ tam sayısı eşitliği sağlar ($6 + 4 = 10$). Bir tane bulunması yeterlidir.

   Doğruluk Değeri: 1

 Örnek: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = -9$"

   İnceleme: Hiçbir reel sayının karesi $-9$ olamaz.

   Doğruluk Değeri: 0

 4. Niceleyicili Önermelerin Olumsuzu (Değili)

Niceleyicili açık önermelerin değili alınırken iki temel kural uygulanır:

1. Niceleyici sembolü zıddına dönüşür: $\forall \leftrightarrow \exists$

2. Hüküm veren açık önermenin / eşitsizliğin değili alınır: $p(x) \leftrightarrow p'(x)$

 🔹 Sembol Dönüşüm Tablosu

 🔹 Sembolik Dönüşüm Kuralları

- $[\forall x, p(x)]' \equiv \exists x, p'(x)$

- $[\exists x, p(x)]' \equiv \forall x, p'(x)$

 Örnekler:

1. Önerme: "$\forall x \in \mathbb{R}, x + 3 > 0$"

   - Değili: "$\exists x \in \mathbb{R}, x + 3 \le 0$"

2. Önerme: "$\exists x \in \mathbb{Z}, x^2 = 16$"

   - Değili: "$\forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \neq 16$"

 5. Çok Değişkenli Niceleyiciler

Birden fazla niceleyicinin aynı önermede kullanıldığı durumdur. Sembollerin sırası okunurken ve yorumlanırken kritik önem taşır.

• $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, x + y = 0$

   Sözel: "Her $x$ reel sayısı için, kendisiyle toplamı 0 olan en az bir $y$ reel sayısı vardır." (Her $x$ için $y = -x$ seçilir $\rightarrow$ Doğru, 1).

• $\exists y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, x + y = 0$

   Sözel: "Öyle bir $y$ reel sayısı vardır ki, tüm $x$ reel sayıları ile toplandığında 0 eder." (Tüm $x$'ler için sabit bir $y$ bulunamaz $\rightarrow$ Yanlış, 0).

 ✏️Çözümlü Örnekler 

 Örnek 1 (Doğruluk Kümesi Bulma)

Soru: $p(x): "x \in \mathbb{N}, 2x + 1 < 11"$ açık önermesinin doğruluk kümesini ($D$) bulunuz ve eleman sayısını belirtiniz.

Çözüm:

• Eşitsizliği çözelim:

  $$2x + 1 < 11 \Rightarrow 2x < 10 \Rightarrow x < 5$$

• Değişken kümesi Doğal Sayılardır ($\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$).
  • $x < 5$ koşulunu sağlayan doğal sayılar: $0, 1, 2, 3, 4$
  • Doğruluk Kümesi: $D = \{0, 1, 2, 3, 4\}$
  • Eleman sayısı: $s(D) = 5$

 Örnek 2 (Bileşik Niceleyici Değili Alma)

Soru: $(\forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \ge 0) \land (\exists y \in \mathbb{R}, y + 2 = 5)$ bileşik önermesinin değilini bulunuz.

Çözüm:

• De Morgan kuralı uygulayalım: $(A \land B)' \equiv A' \lor B'$
  • $A'$ (1. kısım değili): $(\forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \ge 0)' \equiv \exists x \in \mathbb{Z}, x^2 < 0$
  • $B'$ (2. kısım değili): $(\exists y \in \mathbb{R}, y + 2 = 5)' \equiv \forall y \in \mathbb{R}, y + 2 \neq 5$
  • Birleştirilmiş Değil:

  $(\exists x \in \mathbb{Z}, x^2 < 0) \lor (\forall y \in \mathbb{R}, y + 2 \neq 5)$

 Örnek 3 (Sözel İfadeyi Sembolik Mantığa Çevirme)

Soru: "Her gerçek sayının 2 katının 3 fazlası 10'dan büyüktür." ifadesini sembolik mantık diliyle yazınız ve değilini bulunuz.

Çözüm:

• Sembolik Gösterim: $\forall x \in \mathbb{R}, 2x + 3 > 10$
  • Değilini Alma:
  • $\forall \rightarrow \exists$
  • $> \rightarrow \le$
  • Değili: $\exists x \in \mathbb{R}, 2x + 3 \le 0$
  • Sözel Değili: "En az bir gerçek sayının 2 katının 3 fazlası 10'a eşit veya 10'dan küçüktür."

 ⚠️ Sık Yapılan Hatalar

 🔴Eşitsizlik yönünü çevirirken eşittir çizgisini unutmak: $>$ sembolünün değili $<$ değildir, $\le$'dir! Aynı şekilde $\ge$ sembolünün değili $<$'dir.

 🔴$\forall$ içeren önermenin yanlışlığını ispatlamak için tüm elemanları incelemeye çalışmak: $\forall x, p(x)$ iddiasını çürütmek için kuralı bozacak TEK BİR ÖRNEK (Aksine Örnek) bulmak yeterlidir.

 🔴Küme tanımına dikkat etmemek: $x \in \mathbb{N}$ (doğal sayı) ile $x \in \mathbb{R}$ (reel sayı) arasında dağlar kadar fark vardır. Negatif tam sayıların doğal sayı olmadığını unutmayın!