3. Tek ve Çift Sayılar
1.3 Tek ve Çift Sayılar
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında:
- Tek ve çift sayıları cebirsel olarak ($2n$, $2n\pm 1$) ifade edebilecek,
- İki veya daha çok tek/çift sayı arasındaki toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonucunun tekliğini/çiftliğini önceden kestirebilecek,
- Tek ve çift sayıların pozitif tam sayı kuvvetlerinin tekliğini/çiftliğini belirleyebileceksin.
📖Konu Anlatımı
Tanımlar
Çift sayılar: $2$ ile kalansız bölünebilen tam sayılardır. $n \in \mathbb{Z}$ olmak üzere genel biçimi $2n$'dir.
$$\{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}$$
Not: $0$ sayısı da çift sayıdır, çünkü $0 = 2\cdot 0$ biçiminde yazılabilir.
Tek sayılar: $2$'ye bölündüğünde $1$ kalanını veren tam sayılardır. $n \in \mathbb{Z}$ olmak üzere genel biçimi $2n-1$ ya da $2n+1$'dir.
$$\{\dots, -3, -1, 1, 3, \dots\}$$
Çözümlerde kısalık sağlamak amacıyla tek sayı T, çift sayı Ç harfiyle gösterilecektir.
Toplama ve Çıkarma İşleminde Teklik-Çiftlik
İşlem | Sonuç |
T ± T | Ç |
T ± Ç | T |
Ç ± T | T |
Ç ± Ç | Ç |
Kural: İki sayı aynı türdense (ikisi de tek ya da ikisi de çift) toplam/fark çifttir; sayılar farklı türdense toplam/fark tektir.
Çarpma İşleminde Teklik-Çiftlik
İşlem | Sonuç |
T · T | T |
T · Ç | Ç |
Ç · T | Ç |
Ç · Ç | Ç |
Kural: Bir çarpımın tek olabilmesi için çarpanların tamamının tek olması gerekir. Çarpanlardan yalnızca biri bile çift ise çarpım daima çifttir.
Pozitif Tam Kuvvetlerde Teklik-Çiftlik
$n \in \mathbb{Z}^+$ olmak üzere:
$$T^n = T \qquad \qquad Ç^n = Ç$$
Bir sayının kuvveti, o sayının kendisiyle tekrarlı çarpımı olduğundan, çarpma kuralı gereği tek sayının her kuvveti tek, çift sayının her kuvveti çift kalır.
✏️Örnekler
Örnek 1: $(-7)^5$ ve $(-6)^4$ ifadelerinin tekliğini/çiftliğini belirleyiniz.
Çözüm: $-7$ tek bir sayıdır, tek sayının her pozitif kuvveti tektir: $(-7)^5$ tektir. $-6$ çift bir sayıdır, çift sayının her pozitif kuvveti çifttir: $(-6)^4$ çifttir.
Örnek 2: $a$ ve $b$ birer tam sayı olmak üzere $a\cdot b$ çarpımı tek sayı olduğuna göre $a+b$ toplamının tekliği/çiftliği hakkında ne söylenebilir?
Çözüm: Çarpımın tek olması için $a$ ve $b$'nin ikisinin de tek olması gerekir (T·T = T). İki tek sayının toplamı çifttir (T+T = Ç). O hâlde $a+b$ çifttir.
Örnek 3: $x$ bir tam sayı olmak üzere $x^2 + x$ ifadesinin her zaman çift olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İki durumu inceleyelim:
- $x$ tek ise: $x^2 = T^2 = T$ olur; $T + T = Ç$.
- $x$ çift ise: $x^2 = Ç^2 = Ç$ olur; $Ç + Ç = Ç$.
Her iki durumda da sonuç çift çıktığından, $x$ hangi tam sayı olursa olsun $x^2+x$ daima çifttir.
Örnek 4: $m$ bir tek sayı, $n$ bir çift sayı olmak üzere $A = m^3 - n^2 + m\cdot n$ ifadesinin tekliğini/çiftliğini bulunuz.
Çözüm: Terimleri tek tek inceleyelim:
- $m^3 = T^3 = T$
- $n^2 = Ç^2 = Ç$
- $m\cdot n = T\cdot Ç = Ç$
$$A = T - Ç + Ç$$
$T - Ç = T$ olduğundan, sırayla $T + Ç = T$ bulunur. $A$ tektir.
Örnek 5: $2x+7$ ifadesinin, $x$ tam sayı olmak üzere her zaman tek sayı verdiğini gösteriniz.
Çözüm: $2x$ ifadesi, herhangi bir tam sayının $2$ katı olduğundan her zaman çifttir ($2x = 2\cdot x$, genel çift sayı biçimi). $7$ sabit bir tek sayıdır.
$$2x + 7 = Ç + T = T$$
$x$ hangi tam sayı değerini alırsa alsın, $2x+7$ her zaman tektir.
Örnek 6: Ardışık iki tam sayının çarpımının her zaman çift olduğunu gösteriniz.
Çözüm: Ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çift, diğeri mutlaka tektir (tek ve çift sayılar sırayla dizilir). Bu nedenle çarpım her zaman
$$T \cdot Ç = Ç$$
biçiminde olur. Ardışık iki tam sayının çarpımı daima çifttir.
Örnek 7: $a, b, c$ birer tam sayı ve $a\cdot b\cdot c$ çarpımı çift sayı olduğuna göre bu üç sayı hakkında kesin olarak ne söylenebilir?
Çözüm: Çarpma kuralına göre bir çarpımın çift çıkması için çarpanlardan en az birinin çift olması yeterlidir; hepsinin çift olması şart değildir. Dolayısıyla kesin olarak söylenebilecek tek şey: $a, b, c$ sayılarından en az biri çifttir. Diğer ikisi hakkında (tek mi çift mi oldukları) kesin bir şey söylenemez.
Örnek 8: $k$ bir tam sayı olmak üzere $(2k-1)^2 + (2k+1)^2$ ifadesinin tekliğini/çiftliğini belirleyiniz.
Çözüm: $2k-1$ ve $2k+1$ ifadelerinin ikisi de tek sayı biçimindedir (tek sayının genel gösterimi). Tek sayının karesi tektir:
$$(2k-1)^2 = T \qquad (2k+1)^2 = T$$
İki tek sayının toplamı çifttir:
$$T + T = Ç$$
İfade, $k$'nin değerinden bağımsız olarak her zaman çifttir.
⚠️Sık Yapılan Hatalar
🔴Çarpımın çift olması için tüm çarpanların çift olması gerektiğini sanmak: Çarpımın çift çıkması için çarpanlardan sadece birinin çift olması yeterlidir (bkz. Örnek 7); bu, çarpımın tek olması için tüm çarpanların tek olması gerektiği kuralıyla karıştırılmamalıdır.
🔴Toplama ve çarpma kurallarını birbirine karıştırmak: Toplamada "aynı tür → çift, farklı tür → tek" kuralı geçerliyken, çarpmada "tümü tek → tek, en az biri çift → çift" kuralı geçerlidir. İki tablo karıştırılırsa ters sonuca ulaşılır.
🟡$0$'ı tek sanmak ya da özel bir sayı olarak görmek: $0$, çift sayı tanımını (2 ile kalansız bölünme) sağladığından sıradan bir çift sayı gibi işlem kurallarına tabidir.
🟡Kuvvet kuralını yalnızca pozitif tabanlar için geçerli sanmak: $T^n=T$ ve $Ç^n=Ç$ kuralları negatif tam sayı tabanlar için de geçerlidir; belirleyici olan tabanın tek/çift oluşu, işareti değildir (bkz. Örnek 1).
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!