2. Faktöriyel
Faktöriyel Kavramı ve Özellikleri
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Faktöriyel kavramını ($n!$) tanımlayabilecek ve $0! = 1$, $1! = 1$ özel kabullerini açıklayabilecek,
- $n! = n \cdot (n-1)!$ ve $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$ dönüşümlerini uygulayabilecek,
- Faktöriyel içeren toplama ve çıkarma işlemlerinde en küçük faktöriyeli ortak paranteze alarak sadeleştirme yapabilecek,
- $n!$ içindeki belirli bir asal çarpanın üssünü (en büyük $k$ değerini) sürekli bölme yöntemiyle bulabilecek,
- Faktöriyel içeren denklemleri ve sadeleştirme problemlerini çözebileceksin.
📖Konu Anlatımı
1. Faktöriyel Nedir?
$n \in \mathbb{N}$ olmak üzere, $1$'den $n$'ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımına $n$ faktöriyel (çarpansal) denir ve $n!$ ile gösterilir.
$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n$$
Örnek: $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$
2. Özel Kabuller
Matematiksel işlemlerde tutarlılık sağlamak için:
$$0! = 1 \quad \text{ve} \quad 1! = 1$$
3. Faktöriyel Değerleri (İlk 6)
$n$ | $n!$ Gösterimi | Değeri |
0 | $0!$ | 1 |
1 | $1!$ | 1 |
2 | $2!$ | 2 |
3 | $3!$ | 6 |
4 | $4!$ | 24 |
5 | $5!$ | 120 |
💡Hatırlatma: Faktöriyel değerleri çok hızlı büyür. $6! = 720$, $7! = 5040$.
4. Önemli Özellikler ve Dönüşümler
🔹 Ardışık Azaltma
Faktöriyel ifadesi, kendisinden küçük faktöriyeller cinsinden açılabilir:
$$n! = n \cdot (n-1)!$$
$$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$$
Örnek: $8! = 8 \cdot 7! = 8 \cdot 7 \cdot 6!$
🔹 Ortak Paranteze Alma Stratejisi
Faktöriyel içeren toplama ve çıkarma işlemlerinde:
1. Tüm terimler en küçük faktöriyele benzetilir.
2. Ortak paranteze alınır.
3. Sadeleştirme yapılır.
5. Faktöriyel İçinde Asal Çarpan Sayısını Bulma (Legendre Formülü)
$n!$ ifadesi içindeki $a$ asal çarpanının en büyük üssünü ($k$) bulmak için:
1. $n$ sayısı sürekli olarak $a$ asal sayısına bölünür.
2. Bölüm $a$'dan küçük olana kadar bölme işlemine devam edilir.
3. Elde edilen tüm bölümler toplanır.
Örnek: $35! = A \cdot 5^k$ eşitliğinde $k$ en çok kaçtır?
- $35 \div 5 = 7$ (bölüm)
- $7 \div 5 = 1$ (bölüm)
- $1 \div 5 = 0$ (dur)
- Toplam bölüm: $7 + 1 = \mathbf{8}$. Demek ki $k$ en çok $8$ olabilir.
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (Sadeleştirme):
$$\frac{11! - 10!}{11! + 12!}$$
işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm 1:
- En küçük faktöriyel $10!$'dir. Tüm ifadeleri $10!$ cinsinden yazalım:
- $11! = 11 \cdot 10!$
- $12! = 12 \cdot 11 \cdot 10! = 132 \cdot 10!$
- Yerine koyalım ve $10!$ ortak parantezine alalım:
$$\frac{10! \cdot (11 - 1)}{10! \cdot (11 + 132)} = \frac{10! \cdot 10}{10! \cdot 143} = \mathbf{\frac{10}{143}}$$
Örnek 2 (Faktöriyel Toplamı):
$A = 7! + 8! + 9!$ ifadesini en küçük faktöriyel cinsinden yazınız.
Çözüm 2:
- En küçük faktöriyel $7!$'dir.
- $8! = 8 \cdot 7!$
- $9! = 9 \cdot 8 \cdot 7! = 72 \cdot 7!$
- $A = 7! \cdot (1 + 8 + 72) = \mathbf{81 \cdot 7!}$
Örnek 3 (Asal Çarpan Üssü):
$x$ ve $A$ doğal sayılar olmak üzere $42! = A \cdot 3^x$ eşitliğinde $x$'in en büyük değeri kaçtır?
Çözüm 3:
- $42$'yi sürekli $3$'e bölelim:
- $42 \div 3 = 14$
- $14 \div 3 = 4$
- $4 \div 3 = 1$
Bölümler toplamı: $14 + 4 + 1 = \mathbf{19}$. $x$'in en büyük değeri $19$'dur.
Örnek 4 (Sıralama İlişkisi):
Birbirinden farklı 6 kitap bir rafa yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?
Çözüm 4:
$n$ farklı nesnenin yan yana düz bir sıraya diziliş sayısı $n!$'dir.
6 farklı kitap: $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \mathbf{720 \text{ farklı şekilde}}$.
⚠️Sık Yapılan Hatalar
🔴$0! = 0$ Sanmak: $0! = 1$'dir! Matematiksel işlemlerde en sık yapılan hatadır.
🔴Asal Olmayan Çarpanlarda Doğrudan Bölme Yapmak: Örneğin $n! = A \cdot 6^k$ sorusunda 6 asal değildir. $6 = 2 \cdot 3$ açılır ve büyük olan asal çarpan ($3$) üzerinden bölme yapılır.
🔴Bölme İşlemini Tek Adımda Bırakmak: Sürekli bölmede bölümleri tekrar bölmeyi unutmamak gerekir ($35/5 = 7$, $7/5 = 1$).
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!