5. Ardışık Sayılar

1.5 Ardışık Sayılar

 🎯Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında:

• Ardışık sayı kavramını ve ortak farkı tanımlayabilecek,
• Ardışık tam sayı, ardışık çift sayı ve ardışık tek sayı dizilerini ayırt edebilecek,
• Herhangi bir ardışık sayı dizisinde terim sayısı, terimler toplamı ve ortanca terimi formüllerle hesaplayabilecek,
• $1$'den $n$'ye, tek sayıların ve çift sayıların toplamına ilişkin pratik formülleri hatasız kullanabileceksin.

 📖Konu Anlatımı

 Ardışık Sayı Nedir?

Bir sayıdan başlayıp her adımda aynı miktarda ilerleyerek elde edilen sayı dizilerine ardışık sayılar denir. İki komşu terim arasındaki bu sabit adım değerine ortak fark adı verilir,  dizinin "karakterini" belirleyen de bu adımdır:

• Ardışık tam sayılarda adım $1$'dir: $\dots,5,6,7,8,\dots$
• Ardışık çift sayılarda adım $2$'dir, çünkü bir çift sayıdan bir sonraki çift sayıya ulaşmak için iki birim ilerlemek gerekir: $\dots,10,12,14,16,\dots$
• Ardışık tek sayılarda da adım yine $2$'dir, aynı mantıkla: $\dots,11,13,15,17,\dots$

 ⚠️Unutma: Ardışık çift ve ardışık tek sayıların ortak farkı aynıdır ($2$) — bu iki türü birbirinden ayıran, ortak fark değil, başlangıç teriminin çift ya da tek olmasıdır.

Genel terim gösterimi şöyledir: ardışık tam sayılar için $n, n+1, n+2,\dots$; ardışık çift sayılar için $2n, 2n+2, 2n+4,\dots$; ardışık tek sayılar için $2n-1, 2n+1, 2n+3,\dots$

 Terim Sayısı, Toplam ve Ortanca Terim

Bir ardışık sayı dizisinde kaç terim olduğunu bulmak için ilk ve son terim arasındaki "adım sayısına" bakılır; bu sayı, terim sayısından bir eksiktir, bu yüzden sonuca $1$ eklenir:

$$\text{Terim Sayısı} = \dfrac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Ortak Fark}} + 1$$

Dizinin toplamını bulmak için tüm terimleri tek tek toplamak yerine, ilk ve son terimin ortalamasını (bu, dizinin ortanca değeridir) terim sayısıyla çarpmak yeterlidir — çünkü ardışık bir dizide terimler ortanca değerin etrafında simetrik dağılır:

$$\text{Toplam} = \dfrac{\text{Son Terim} + \text{İlk Terim}}{2} \times \text{Terim Sayısı}$$

Terim sayısı tek olduğunda, dizinin tam ortasındaki terim yukarıdaki ortalama formülüyle doğrudan bulunur:

$$\text{Ortanca Terim} = \dfrac{\text{Son Terim} + \text{İlk Terim}}{2}$$

Terim sayısı çift olduğunda ise tam ortada tek bir terim yoktur; bu durumda ortadaki iki terimin ortalaması alınır.

 Sık Kullanılan Özel Toplamlar

Yukarıdaki genel toplam formülünden türeyen üç özel durum, sınavda sıkça karşımıza çıkar:

$$1+2+3+\dots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$

$$1+3+5+\dots+(2n-1) = n^2$$

$$2+4+6+\dots+2n = n(n+1)$$

 Pozitif Ardışık Sayılarda Oran Karşılaştırması

$a,b,c,d$ pozitif ardışık sayılar ve $a<b<c<d$ olsun. Bu sayılardan büyüğü paya, küçüğü paydaya gelecek şekilde kurulan ardışık oranlar, azalan bir sıra izler:

$$\dfrac{b}{a} > \dfrac{c}{b} > \dfrac{d}{c}$$

Bunun nedeni, ardışık iki terimin oranının $\dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}$ biçiminde yazılabilmesidir; $n$ büyüdükçe $\dfrac{1}{n}$ küçülür, yani oran $1$'e yaklaşarak küçülür. Aynı ilişki tersine kurulursa — yani küçüğü paya, büyüğü paydaya koyarsak — bu kez sıra artan yönde olur:

$$\dfrac{a}{b} < \dfrac{b}{c} < \dfrac{c}{d}$$

İki gösterim de aynı ilişkinin farklı yönden (biri büyükten küçüğe oran, diğeri küçükten büyüğe oran) ifadesidir; hangisi kullanılırsa kullanılsın payı, ardışık sayılardan büyük olanı taşıyan taraf her zaman $1$'den büyük, küçük olanı taşıyan taraf her zaman $1$'den küçüktür.

 ✏️Örnekler

Örnek 1: $7$'den $43$'e kadar olan ardışık tam sayıların kaç tane olduğunu ve toplamını bulunuz.

Çözüm:

- İlk terim $7$, son terim $43$, ortak fark $1$ (tam sayılar).

- Terim sayısı: $\dfrac{43-7}{1}+1 = 36+1 = 37$ tane sayı.

- Toplam: $\dfrac{43+7}{2}\times 37 = \dfrac{50}{2}\times 37 = 25\times 37 = 925$.

Örnek 2: $15$ ile $75$ arasındaki (uçlar dâhil) çift sayıların toplamını bulunuz.

Çözüm:

• İlk çift sayı $16$, son çift sayı $74$'tür ($15$ ve $75$ tek olduğundan alınmaz.
• Ortak fark $2$.
• Terim sayısı: $\dfrac{74-16}{2}+1 = \dfrac{58}{2}+1 = 29+1 = 30$ tane.
• Toplam: $\dfrac{74+16}{2}\times 30 = \dfrac{90}{2}\times 30 = 45\times 30 = 1350$.

Örnek 3: Ardışık $5$ tek sayının toplamı $75$'tir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Çözüm: $5$ tane ardışık tek sayı $x, x+2, x+4, x+6, x+8$ olsun.

$$5x + (2+4+6+8) = 75 \ \Rightarrow \ 5x+20=75 \ \Rightarrow \ 5x=55 \ \Rightarrow \ x=11$$

En büyük terim: $x+8=19$.

Alternatif (ortanca terim yöntemi): $5$ terim tek sayıda olduğundan, ortanca ($3$.) terim toplamın $5$'e bölümüdür: $75\div5=15$. Sayılar $11,13,15,17,19$ olur; en büyük yine $19$'dur.

Örnek 4: $1$'den $n$'ye kadar olan tam sayıların toplamı $210$ ise $n$ kaçtır?

Çözüm:

$$\dfrac{n(n+1)}{2}=210 \ \Rightarrow \ n(n+1)=420$$

Ardışık iki tam sayının çarpımı $420$'dir. $20\times21=420$ olduğundan $n=20$.

Örnek 5: Ardışık $4$ çift sayının toplamı $108$'dir. Bu sayıların en küçüğü kaçtır?

Çözüm: Sayılar $x, x+2, x+4, x+6$ olsun.

$$4x+12=108 \ \Rightarrow \ 4x=96 \ \Rightarrow \ x=24$$

En küçük sayı $24$'tür.

Örnek 6: $a,b,c$ ardışık tam sayılar ve $a<b<c$ olmak üzere, $a+b+c=3b$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm: $a=b-1$ ve $c=b+1$ yazılırsa:

$$(b-1)+b+(b+1) = 3b$$

Bu eşitlik $b$'nin değerinden bağımsız olarak her zaman doğrudur.

Örnek 7: $n$ pozitif tam sayı olmak üzere, $1$'den $2n$'ye kadar olan sayıların toplamı ile $1$'den $n$'ye kadar olan sayıların toplamı arasındaki farkı bulunuz.

Çözüm:

$$1\text{'den }2n\text{'ye toplam} = \dfrac{2n(2n+1)}{2} = n(2n+1)$$

$$1\text{'den }n\text{'ye toplam} = \dfrac{n(n+1)}{2}$$

Fark:

$$n(2n+1) - \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{2n(2n+1)-n(n+1)}{2} = \dfrac{4n^2+2n-n^2-n}{2} = \dfrac{3n^2+n}{2} = \dfrac{n(3n+1)}{2}$$

 ⚠️Sık Yapılan Hatalar

 🔴Terim sayısı formülünde $+1$'i unutmak: $\dfrac{\text{Son}-\text{İlk}}{\text{Fark}}$ işleminin sonucunu doğrudan terim sayısı sanmak çok yaygındır. Örneğin $1$'den $10$'a kadar $10$ sayı vardır; doğru işlem $\dfrac{10-1}{1}+1=10$'dur, $+1$ eklenmeden $\dfrac{10-1}{1}=9$ bulmak hatalıdır.

 🔴Ardışık çift/tek sayılarda ortak farkı $1$ almak: Bu dizilerde ortak fark $2$'dir; $x,x+1,x+2$ yazmak yanlıştır, doğrusu $x,x+2,x+4$ şeklindedir.

 🔴Pratik formülleri karıştırmak: Tek sayıların toplamı $n^2$, çift sayıların toplamı $n(n+1)$'dir. Bu iki formülü yer değiştirmek sık yapılan bir hatadır, örneğin ilk $10$ tek sayının toplamı $10^2=100$, ilk $10$ çift sayının toplamı $10\times11=110$'dur.

 🟡Negatif ardışık sayılarda ilk/son terimi karıştırmak: Formüller negatif sayılar için de geçerlidir, ama "son terim" ile "ilk terim" büyüklük sırasına göre doğru atanmalıdır. Örneğin $-7,-5,-3,-1$ dizisinde ilk terim $-7$, son terim $-1$'dir; terim sayısı $\dfrac{-1-(-7)}{2}+1=\dfrac{6}{2}+1=4$ olarak doğru bulunur.

 🟡Ortanca terim formülünü çift terimli dizilerde de kullanmaya çalışmak: Bu formül yalnızca terim sayısı tek olduğunda tek bir ortanca terim verir; terim sayısı çift olduğunda ortadaki iki terimin ortalaması alınmalıdır.