4. Kombinasyon
Kombinasyon, Kombinasyon Problemleri ve Geometri
🎯Kazanımlar
Bu bölümü tamamladığında;
- Kombinasyon kavramını tanımlayabilecek ve permütasyondan farkını açıklayabilecek,
- $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ formülünü uygulayabilecek,
- Kombinasyonun simetri ($C(n,r)=C(n,n-r)$) ve ardışık toplam ($C(n,r)+C(n,r+1)=C(n+1,r+1)$) özelliklerini kullanabilecek,
- Belirli koşulları sağlayan alt küme ve grup seçimlerini kombinasyonla hesaplayabilecek,
- Düzlemdeki nokta, doğru, üçgen ve kesişim sayılarını kombinasyonla bulabileceksin.
📖Konu Anlatımı
1. Kombinasyon Kavramı
Tanım: Bir $A$ kümesinin $r$ elemanlı alt kümelerinin her birine $A$ kümesinin $r$'li kombinasyonu (seçimi) denir. Kombinasyonda sıralama değil, eleman seçimi esastır.
Gösterim: $C(n, r)$ veya $\binom{n}{r}$ ($n \ge r$)
Formül:
$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \cdot (n - r)!}$$
Permütasyon ile İlişkisi:
$$P(n, r) = C(n, r) \cdot r!$$
2. Kombinasyonun Temel Özellikleri
Özellik | Formül | Açıklama |
Sıfırlı | $\binom{n}{0} = 1$ | Boş küme 1 tanedir. |
Birli | $\binom{n}{1} = n$ | 1 elemanlı alt küme sayısı $n$'dir. |
Kendisi | $\binom{n}{n} = 1$ | Kümenin kendisi 1 tanedir. |
Simetri | $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ | $r$ eleman seçmekle $n-r$ eleman dışarıda bırakmak aynıdır. |
Ardışık Toplam | $\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$ | Pascal üçgeninin temel toplama kuralı. |
Tüm Alt Kümeler | $\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$ | $n$ elemanlı kümenin tüm alt kümelerinin sayısı $2^n$'dir. |
3. Kombinasyon Problemleri (Seçim / Gruplama)
Kombinasyon problemlerinde nesnelerin sıralanışı değil, gruba dahil edilip edilmedikleri önem taşır.
- Belirli eleman bulunur: Eleman gruba sabitlenir, kalan yerler için kalan elemanlardan seçim yapılır.
- Belirli eleman bulunmaz: Eleman kümeden tamamen atılır, kalan elemanlardan seçim yapılır.
- "En az" veya "En fazla" koşulları: Mümkün olan tüm ayrık durumlar ayrı ayrı hesaplanıp toplanır.
4. Kombinasyon ve Geometri
Durum | Formül | Açıklama |
Doğru sayısı | $\binom{n}{2}$ | Herhangi üçü doğrusal olmayan $n$ nokta. |
Üçgen sayısı | $\binom{n}{3}$ | Herhangi üçü doğrusal olmayan $n$ nokta. |
$r$-gen sayısı | $\binom{n}{r}$ | Herhangi üçü doğrusal olmayan $n$ nokta. |
Doğru kesişim | $\binom{n}{2}$ | $n$ farklı doğru en çok bu kadar noktada kesişir. |
Çember kesişim | $2 \cdot \binom{n}{2}$ | $n$ farklı çember en çok bu kadar noktada kesişir. |
Üçgen kesişim | $6 \cdot \binom{n}{2}$ | $n$ farklı üçgen en çok bu kadar noktada kesişir. |
✏️Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (Küme Alt Kümeleri):
$A = \{a, b, c, d, 1, 2, 3\}$ kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin:
a) Kaçında $a$ elemanı bulunur?
b) Kaçında $b$ elemanı bulunmaz?
c) Kaçında $a$ bulunur fakat $b$ bulunmaz?
Çözüm 1:
Kümenin toplam eleman sayısı $s(A) = 7$'dir. 4 eleman seçilecektir: `[ ] [ ] [ ] [ ]`
a) $a$ bulunur: $a$'yı 1 yere koyarız. Kalan 6 elemandan 3 eleman seçilir:
$$\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \mathbf{20}$$
b) $b$ bulunmaz: $b$'yi kümeden atarız. Kalan 6 elemandan 4 eleman seçilir:
$$\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \mathbf{15}$$
c) $a$ bulunur, $b$ bulunmaz: $a$'yı seçip koyarız, $b$'yi eleriz. Kalan 5 elemandan 3 yer için seçim yapılır:
$$\binom{5}{3} = \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \mathbf{10}$$
Örnek 2 (Komisyon Seçimi):
5 matematik, 4 fizik ve 3 kimya öğretmeni arasından, en az 2 matematik öğretmeninin bulunduğu 5 kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm 2:
Matematik öğretmenleri hariç geriye kalan öğretmen sayısı: $4 + 3 = 7$'dir. Komisyonda 2, 3, 4 veya 5 matematik öğretmeni olabilir:
1. 2 Matematik + 3 Diğer: $\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{3} = 10 \cdot 35 = 350$
2. 3 Matematik + 2 Diğer: $\binom{5}{3} \cdot \binom{7}{2} = 10 \cdot 21 = 210$
3. 4 Matematik + 1 Diğer: $\binom{5}{4} \cdot \binom{7}{1} = 5 \cdot 7 = 35$
4. 5 Matematik + 0 Diğer: $\binom{5}{5} \cdot \binom{7}{0} = 1 \cdot 1 = 1$
Toplam Komisyon Sayısı: $350 + 210 + 35 + 1 = \mathbf{596 \text{ farklı şekilde}}$.
Örnek 3 (Geometri - Doğru ve Üçgen Sayısı):
Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 nokta ile:
a) Kaç farklı doğru çizilebilir?
b) Kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözüm 3:
a) Doğru sayısı: İki nokta bir doğru belirtir $\rightarrow \binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = \mathbf{21 \text{ doğru}}$.
b) Üçgen sayısı: Üç nokta bir üçgen belirtir $\rightarrow \binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \mathbf{35 \text{ üçgen}}$.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
🔴Seçme ile Sıralamayı Çarpmak: Komisyon sorularında kişileri seçtikten sonra tekrar sıralamak yanlıştır. Sadece seçim isteniyorsa kombinasyon yeterlidir.
🔴Kesişim Noktalarında Doğrusal Noktaları Düşmemek: Doğru ve üçgen sorularında noktalar bir doğru üzerindeyse ($\text{doğrusal}$), bu noktalardan üçgen oluşmaz ($\binom{k}{3}$ düşülür).
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!